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Lei de composição interna. GRUPÓIDE. SUBGRUPÓIDE. SEMIGRUPO SEMIGRUPO COMUTATIVO. Prop. associativa Prop. comutativa. Elemento neutro Elementos opostos. GRUPO GRUPO COMUTATIVO. SUBGRUPO. ANEL ANEL COMUTATIVO. Prop. distributiva. CORPO. Estruturas Algébricas. 1.
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Lei de composição interna GRUPÓIDE SUBGRUPÓIDE SEMIGRUPO SEMIGRUPO COMUTATIVO Prop. associativa Prop. comutativa Elemento neutro Elementos opostos GRUPO GRUPO COMUTATIVO SUBGRUPO ANEL ANEL COMUTATIVO Prop. distributiva CORPO Estruturas Algébricas 1
Lei de Composição Interna Nota: Lei de composição interna ou operação binária
Grupóide Exemplos: (even , +) é grupóide (odd ,+) não é grupóide
Propriedades Associativa e Comutativa Num conjunto E diz-se que:
Semigrupo eSemigrupo Comutativo Nota: comutativo ou Abeliano
Elemento Neutro Teorema: • zero = el. neutro da adição exs: (, +), (even , +), (,+) • unidade = el. neutro da multiplicação exs: (, ·), (, ·)
Elementos Opostos • simétricos = els. opostos da adição • inversos = els. opostos da multiplicação exemplos semigrupo (, ·) - apenas os elementos 1 e –1 têm inverso (oposto) semigrupo (, ·) - todos os elementos têm inverso excepto o zero. Teoremas
Grupo e Grupo Comutativo exemplo (, ·) não é grupo porque o elemento 0 não tem oposto (e não é o el. neutro!) Propriedades Nota: comutativo ou Abeliano
Grupos (Propriedades) Exemplo ( \{0}, ·) a·x = bx·a = b x = b/ax = b/a coincidentes porque o grupo é comutativo Nota: Esta propriedade estabeleçe a existência de duas operações inversas de que serão coincidentes se o grupo for comutativo.
Anel eAnel Comutativo • Exemplos de Anéis Comutativos: • (, +, ·) (, +) é grupo comutativo, (, ·) é semigrupo e · é distributiva em relação a + • (, +, ·), (, +, ·), (, +, ·) têm el. unidade (el. neutro da 2ª operação) • (even , +, ·) não têm el. unidade Propriedades
Conceito de Corpo elemento neutro da 2ª operação elementos opostos da 2ª operação elemento neutro da 1ª operação Exemplos: (, +, ·) e (, +, ·) são corpos (, +, ·) é subcorpo de (, +, ·) (, +, ·) (, +, ·) Propriedades
Isabel Milho,ISEL-DEETC, Out.2001 Apresentação sobre Estruturas Algébricas Referências [1] M. Neves, M. Vieira, A. Alves, Matemática - 12º ano, 5ª ed., Porto Editora, 1991. [2] C. Ribeiro, Sebenta de Álgebra Linear e Geometria Analítica, AEISEL, 1985. [3] S. Wicker, Error Control Systems for Digital Communication and Storage, Prentice Hall, 1995.