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CÁLCULO DE LÍMITES (I)

CÁLCULO DE LÍMITES (I). Bloque III * Tema 112. De funciones continuas. Una función polinómica, f(x)=P(x), es continua en todo su dominio, en R. En ellas siempre ocurrirá que: Lím f(x) = f(a) x  a EJEMPLOS Lím x – 3 = 2 – 3 = – 1 x  2 Lím x 2 + x = 3 2 + 3 = 9+3 = 12 x  3

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CÁLCULO DE LÍMITES (I)

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  1. CÁLCULO DE LÍMITES(I) Bloque III * Tema 112 Matemáticas Acceso a CFGS

  2. De funciones continuas • Una función polinómica, f(x)=P(x), es continua en todo su dominio, en R. • En ellas siempre ocurrirá que: • Lím f(x) = f(a) • x  a • EJEMPLOS • Lím x – 3 = 2 – 3 = – 1 • x  2 • Lím x2 + x = 32 + 3 = 9+3 = 12 • x  3 • Lím x3 +1 = (-1)3 + 1 = – 1 + 1 = 0 • x (-1) • Lím 5 + x2 – 3x = 5 + 02 – 3.0 = 5 + 0 – 0 = 5 • x 0 Matemáticas Acceso a CFGS

  3. De funciones continuas • Una función radical f(x)= √ P(x), es continua en todo su dominio. • Pero no tiene sentido hallar el límite en un punto ajeno a su dominio. • En ellas siempre ocurrirá que: • Lím f(x) = f(a) • x  a • EJEMPLOS • Lím √ x – 3 = √ 2 – 3 = √– 1  Mal, pues x= 2 no pertenece al dominio de la función. • x  2 • Lím √ (x2 – 5) = √ 32 – 5 = √ 4 = 2 • x  3 • Lím √ (x3 + 9) = √(-8+9) = √1 = 1 • x (-2) • Lím √ (5 + x2) = √ (5 + 02 ) = √ 5 • x 0 Matemáticas Acceso a CFGS

  4. De funciones troceadas • x – 4 , si x < 2  Función lineal • Sea f(x) = • - 2 , si x ≥ 2  Función constante • Miramos si presenta límite en el punto de ruptura, en x=2 • Límite por la izquierda de x=2 • Lím f(x) = x – 4 = 2 – 4 = – 2 • x2- • Límite por la derecha de x=2 • Lím f(x) = – 2 • x2+ • El límite por la izquierda coincide con el límite por la derecha, luego en x=2 existe dicho límite y vale - 2. Matemáticas Acceso a CFGS

  5. De funciones troceadas • x2 – 4 , si x < 1  Función cuadrática • Sea f(x) = • x - 2 , si x ≥ 1 Función lineal • Miramos si presenta límite en el punto de ruptura, en x=1 • Límite por la izquierda de x=1 • Lím f(x) = x2 – 4 = 12 – 4 = – 3 • x1- • Límite por la derecha de x=1 • Lím f(x) = x – 2 = 1 – 2 = – 1 • x1+ • El límite por la izquierda no coincide con el límite por la derecha, luego en x=1 no existe límite de la función. Matemáticas Acceso a CFGS

  6. De funciones troceadas • x – 2 , si x < - 1  Función lineal • Sea f(x) = • 1 / x , si x ≥ - 1 Función racional • Miramos si presenta límite en el punto de ruptura, en x = -1 • Límite por la izquierda de x= -1 • Lím f(x) = x – 2 = (– 1) – 2 = – 2 • x-1- • Límite por la derecha de x= -1 • Lím f(x) = 1 / x = 1 /(– 1) = – 1 • x-1+ • El límite por la izquierda no coincide con el límite por la derecha, luego en x=-1 no existe límite de la función. • Nota: En x=0, al no pertenecer al dominio, podría no haber límite. Matemáticas Acceso a CFGS

  7. De cociente de funciones • Una función racional, f(x)= P(x) / Q(x), es continua en todo su dominio, excepto en los puntos en que el denominador, Q(x), vale cero. • Sin embargo, en dichos puntos la función puede tener límite, aunque sea discontinua. • En ellas siempre ocurrirá que: • Lím f(x) = f(a) , simplificando la expresión. • x  a • EJEMPLOS • x2 - x x . (x -1) • Lím ------------ = Lím -------------- = Lím x – 1 = 0 – 1 = - 1 • x  0 x x  0 x x  0 • x2 - 9 (x + 3) . (x – 3) • Lím ------------ = Lím ---------------------- = Lím x + 3 = 3+3 = 6 • x  3 x – 3 x  3 (x – 3) x  3 Matemáticas Acceso a CFGS

  8. Indeterminada [0 / 0] • Sabemos que 0 / k = 0 siempre. • Sabemos que k / 0 = oo siempre. • Pero si al calcular un límite nos encontramos con el cociente 0 / 0, no podemos saber a priori si el resultado es 0, oo u otro valor distinto. • Decimos que es una INDETERMINACIÓN, y se denota así [0 / 0] • Hay que resolver dicha indeterminación. Para ello se factoriza numerador y denominador [ Por Ruffini si hace falta ] y se simplifica la expresión resultante. • (x-a) . C1(x) C2(x) • Lím f(x) = [ 0 / 0 ] = Lím ------------------ = Lím --------- • xa xa (x-a). C2(x) xa C2(x) • Nota: Si el límite último vuelve a dar indeterminación, se volvería a realizar lo mismo. Observar que siempre “a” es una raíz de los polinomios a factorizar. Matemáticas Acceso a CFGS

  9. Ejemplo 1 • x3 - 8 8-8 0 • lím ------‑‑‑‑‑‑ = ‑----- = [---] = [ Factorizando por Rufinni…] • x2 x - 2 2-2 0 • 1 0 0 - 8 • 2 2 4 8 • 1 2 4 0 • (x -2) (x2 + 2x + 4 ) 22 + 2.2 + 4 12 • lím ------‑‑‑‑‑‑‑‑----------- = ---------------- = ----- = 12 • x2 (x- 2) 1 1 Matemáticas Acceso a CFGS

  10. Ejemplo 2 • x3 - 2 √ 2 2 √ 2 - 2 √ 2 0 • lím ------‑‑‑‑‑---‑ = ‑----------------- = [---] = [ Factorizando ..] • x √ 2 x2 - 2 2 – 2 0 • 1 0 0 - 2 √ 2 • √ 2 √ 2 2 2 √ 2 • 1 √ 2 2 0 • (x - √ 2) (x2 + √ 2x + 2 ) 2 + 2 + 2 6 3 • lím ------‑‑‑‑‑‑‑‑------------------ = ---------------- = --------- = ---- = • x √ 2 (x- √ 2) (x + √ 2 ) 2 √ 2 2 √ 2 √2 • = 3. √2 / 2 Matemáticas Acceso a CFGS

  11. Ejemplo 3 • x2 - 1 1 – 1 0 • lím ----------‑‑‑‑‑‑ = ‑-------- = [---] = [ Factorizando …] • x1 x2 – 2x + 1 1-2+1 0 • 1 - 2 1 • 1 1 - 1 • 1 - 1 0 • (x – 1 ).(x + 1) 1 + 1 2 • lím ------‑‑‑‑‑‑‑‑------- = ---------- = ----- = oo • x1 (x – 1).(x – 1 1 – 1 0 • No existe límite en x=1 Matemáticas Acceso a CFGS

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