Mathematik 10. Jahrgang „Satz des Pythagoras“ Die Quadratur des Kreises

1. Mathematik 10. Jahrgang „Satz des Pythagoras“Die Quadratur des Kreises HIPPOKRATES VON CHIOS ( griechischer Mathematiker, um 440 v. Chr.) war der berühmteste Geometer des 5. Jh. v. Chr. Von ihm stammt nach Überlieferung die erste zusammenfassende Darstellung geometrischen Wissens seiner Zeit unter dem Titel "Elemente" nach dem Schema Voraussetzung, Satz und Beweis. Darin verwendet er für die Bezeichnung geometrischer Figuren Buchstaben. Er beschrieb den Zusammenhang von Peripheriewinkel (Umfangswinkel) und Bogen, die Konstruktion des Sechsecks und des Umkreises des Dreiecks, Verallgemeinerungen des pythagoräischen Lehrsatzes für ähnliche Figuren über den Dreieckseiten sowie für das stumpfwinklige Dreieck. Er zeigte Umwandlungen von Polygonen in flächengleiche Quadrate. Verdrängt wurde diese Darstellung durch die umfangreicheren späteren "Elemente" des EUKLID. Doch dürfte der Inhalt der ersten vier Bücher der euklidischen "Elemente" auf die Vorlage von HIPPOKRATES zurückgehen. Eng verbunden ist der Name HIPPOKRATES auch mit zwei berühmten Problemen der Mathematik, den an anderer Stelle behandelten Möndchenund der so genannten QuadraturdesKreises, über die hier berichtet wird.

2. Mathematik 10. Jahrgang „Satz des Pythagoras“Die Quadratur des Kreises Man spricht von der „Quadratur des Kreises“ wenn auf jede Seite eines Quadrates ein passender Halbkreis gesetzt wird.

3. Mathematik 10. Jahrgang „Satz des Pythagoras“Die Quadratur des Kreises Wir füllen die Halbkreise und können viel besser erkennen, was gemein ist:

4. Mathematik 10. Jahrgang „Satz des Pythagoras“Die Quadratur des Kreises Ein weiterer blauer Kreis führt um das Quadrat herum und verläuft durch alle vier Ecken.

5. Mathematik 10. Jahrgang „Satz des Pythagoras“Die Quadratur des Kreises Der blaue Kreis schneidet aus den Halbkreisen Monde heraus.

6. Mathematik 10. Jahrgang „Satz des Pythagoras“Die Quadratur des Kreises Herr Euklid hat nun herausgefunden, dass die Fläche dieser vier Monde genauso groß ist wie die Fläche des Quadrats. GRÜN = ROT

7. Mathematik 10. Jahrgang „Satz des Pythagoras“Die Quadratur des Kreises Wir müssen wieder rechnen. Am einfachsten ist es mit dem Quadrat. Wir nennen es Q. Die Quadratseite heißt im allgemeinen a. Also gilt: Q = a² Die Halbkreise sind ebenfalls relativ einfach. Ihr Radius beträgt jeweils die Hälfte von a. Die Kreisflächenformel ist bekannt. Also können wir sogleich die gesamte Fläche aller vier Halbkreise zusammen aufschreiben: HK = 4 * 0,5 * π * (0,5*a)² = 4 * 0,5 * π * 0,25 * a² = 0,5 * π * a² . Kurz: HK = 0,5 * π * a² Allerdings ist nicht von den Halbkreisen die Rede sondern von den Monden. Wir müssen also von den Halbkreisen noch etwas abziehen: M = HK - (BLAUER KREIS - Q) Auf der nächsten Folie beschäftigen wir uns mit der Fläche des BLAUEN KREISES (BK).

8. Mathematik 10. Jahrgang „Satz des Pythagoras“Die Quadratur des Kreises

9. Mathematik 10. Jahrgang „Satz des Pythagoras“Die Quadratur des Kreises Zurück zur vorletzten Folie: M = HK - (BLAUER KREIS - Q) Q = a² HK = 0,5 * π * a² BK = 0,5 * π * a² M = 0,5 * π * a² - (0,5 * π * a² - a²) Auflösen der Klammer M = 0,5 * π * a² - 0,5 * π * a² + a² Führt sofort zum Ergebnis M = a² In Worten Die Fläche der vier Monde ist genauso groß wie die Fläche des Quadrats.