Pythagoræiske Læresætning

1. PythagoræiskeLæresætning Forhistorie (Hvem var han?)… Hvad siger Pythagoras? Hvordan bruges læresætningen? Pythagoras i koordinatsystemet… Bevis for den Pythagoræiske læresætning

2. Forhistorie… Pythagoras blev født omkring 569 f.kr. på øen Samos (i Grækenland), men flyttede senere til Crotone (en græsk koloni i Syditalien), hvor han virkede til sin død i ca. 475 f.kr. Han var filosof, matematiker og astronom. Den pythagoræiske læresætning, som han lagde navn til, blev anvendt allerede 1000 år tidligere, men han var den første, den beviste dens almene gyldighed: a2 + b2 = c2.

3. Forhistorie… Pythagoras var meget produktiv og stod fadder til flere matematiske beviser og læresætninger: Han var den første, der konstruerede de 5 regulære polyedre. Dodekaeder Heksaeder Ikosaeder Oktaeder Tetraeder

4. √2 √23 Forhistorie… Pythagoras var meget produktiv og stod fadder til flere matematiske beviser og læresætninger: Han var den første, der konstruerede de 5 regulære polyedre. Han opdagede de irrationale tal.

5. Forhistorie… Pythagoras var meget produktiv og stod fadder til flere matematiske beviser og læresætninger: Han var den første, der konstruerede de 5 regulære polyedre. Han opdagede de irrationale tal. Han beregnede vinkelsummen i en trekant. 180o

6. Forhistorie… Pythagoras var meget produktiv og stod fadder til flere matematiske beviser og læresætninger: Han var den første, der konstruerede de 5 regulære polyedre. Han opdagede de irrationale tal. Han beregnede vinkelsummen i en trekant. … og han var den første, der ved konstruktion kunne løse andengradsligningen.

7. Hvad siger Pythagoras? Pythagoras udtaler sig om retvinklede trekanter. Den Pythagoræiske læresætning siger: ”I en retvinklet trekant er hypotenusens kvadrat lig summen af kateternes kvadrater”. (a2 + b2 = c2)

8. Hvad siger Pythagoras? Pythagoras udtaler sig om retvinklede trekanter. Den Pythagoræiske læresætning siger: ”I en retvinklet trekant er hypotenusens kvadrat lig summen af kateternes kvadrater”. (a2 + b2 = c2) Den omvendte Pythagoræiske læresætning siger: ”Når i en trekant kvadratet på en af siderne er lig summen af de to andres siders kvadrater, er trekanten retvinklet”.

9. Hvad siger Pythagoras? Den Pythagoræiske læresætning siger: ”I en retvinklet trekant er hypotenusens kvadrat lig summen af kateternes kvadrater”. c a De 2 korteste sider, a og b, kaldes kateter b

10. Hvad siger Pythagoras? Den Pythagoræiske læresætning siger: ”I en retvinklet trekant er hypotenusens kvadrat lig summen af kateternes kvadrater”. Den længste side, c, kaldes hypotenusen c a b

11. Hvad siger Pythagoras? Den Pythagoræiske læresætning siger: ”I en retvinklet trekant er hypotenusens kvadrat lig summen af kateternes kvadrater”. c a Kateterne ligger altidhos den rette vinkel! b Hypotenusen ligger altidover for den rette vinkel!

12. Hvad siger Pythagoras? Den Pythagoræiske læresætning siger: ”I en retvinklet trekant er hypotenusens kvadrat lig summen af kateternes kvadrater”. Den længste side, c, kaldes hypotenusen c a a2 + b2 = c2 De 2 korteste sider, a og b, kaldes kateter b

13. Hvad siger Pythagoras? Eksempel: a=3, b=4, c=5: 5 3 4

14. Hvad siger Pythagoras? Eksempel: a=3, b=4, c=5: a2 + b2 = c2 32 + 42 = c2 9 + 16 = c2 25 = c2 5 = c 5 3 4

15. Hvad siger Pythagoras? Eksempel: a=3, b=4, c=5: a2 + b2 = c2 32 + 42 = c2 9 + 16 = c2 25 = c2 5 = c 5 3 4 Man siger, at talsættet (3,4,5) er et pythagoræisk talsæt

16. Hvordan bruges Pythagoras? Der er 3-4 opgavetyper, når der regnes med Pythagoras: (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder

17. Hvordan bruges Pythagoras? Der er 3-4 opgavetyper, når der regnes med Pythagoras: (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder (1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde.

18. Hvordan bruges Pythagoras? Der er 3-4 opgavetyper, når der regnes med Pythagoras: (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder (1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde. (2) Undersøge om en trekant er retvinklet, når man kender de 3 siders længder (omvendt Pythagoras)

19. Hvordan bruges Pythagoras? Der er 3-4 opgavetyper, når der regnes med Pythagoras: (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder (1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypotenusens længde. (2) Undersøge om en trekant er retvinklet, når man kender de 3 siders længder (omvendt Pythagoras) (3) Bruge pythagoras i rummet/på rumfigurer (dobbelt Pythagoras)

20. Hvordan bruges Pythagoras? (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Type 1

21. Hvordan bruges Pythagoras? (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Teoretisk eksempel 1: Find længden af hypotenusen i en retvinklet trekant med katetelængder på 7 cm og 24 cm a2 + b2 = c2 ? 7 24

22. Hvordan bruges Pythagoras? (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Teoretisk eksempel 1: Find længden af hypotenusen i en retvinklet trekant med katetelængder på 7 cm og 24 cm a2 + b2 = c2 72 + 242 = c2 ? 7 24

23. Hvordan bruges Pythagoras? (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Teoretisk eksempel 1: Find længden af hypotenusen i en retvinklet trekant med katetelængder på 7 cm og 24 cm a2 + b2 = c2 72 + 242 = c2 49 + 576 = c2 ? 7 24

24. Hvordan bruges Pythagoras? (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Teoretisk eksempel 1: Find længden af hypotenusen i en retvinklet trekant med katetelængder på 7 cm og 24 cm a2 + b2 = c2 72 + 242 = c2 49 + 576 = c2 625 = c2 ? 7 24

25. Hvordan bruges Pythagoras? (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Teoretisk eksempel 1: Find længden af hypotenusen i en retvinklet trekant med katetelængder på 7 cm og 24 cm a2 + b2 = c2 72 + 242 = c2 49 + 576 = c2 625 = c2 √625 = c ? 7 24

26. Hvordan bruges Pythagoras? (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Teoretisk eksempel 1: Find længden af hypotenusen i en retvinklet trekant med katetelængder på 7 cm og 24 cm a2 + b2 = c2 72 + 242 = c2 49 + 576 = c2 625 = c2 √625 = c 25 = c 25 7 Hypotenusen er 25 cm 24

27. Hvordan bruges Pythagoras? (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Teoretisk eksempel 2: Find længden af hypotenusen i en retvinklet trekant med katetelængder på 28 cm og 45 cm a2 + b2 = c2 ? 28 45

28. Hvordan bruges Pythagoras? (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Teoretisk eksempel 2: Find længden af hypotenusen i en retvinklet trekant med katetelængder på 28 cm og 45 cm a2 + b2 = c2 282 + 452 = c2 ? 28 45

29. Hvordan bruges Pythagoras? (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Teoretisk eksempel 2: Find længden af hypotenusen i en retvinklet trekant med katetelængder på 28 cm og 45 cm a2 + b2 = c2 282 + 452 = c2 784 + 2025 = c2 ? 28 45

30. Hvordan bruges Pythagoras? (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Teoretisk eksempel 2: Find længden af hypotenusen i en retvinklet trekant med katetelængder på 28 cm og 45 cm a2 + b2 = c2 282 + 452 = c2 784 + 2025 = c2 2809 = c2 ? 28 45

31. Hvordan bruges Pythagoras? (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Teoretisk eksempel 2: Find længden af hypotenusen i en retvinklet trekant med katetelængder på 28 cm og 45 cm a2 + b2 = c2 282 + 452 = c2 784 + 2025 = c2 2809 = c2 √2809 = c ? 28 45

32. Hvordan bruges Pythagoras? (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Teoretisk eksempel 2: Find længden af hypotenusen i en retvinklet trekant med katetelængder på 28 cm og 45 cm a2 + b2 = c2 282 + 452 = c2 784 + 2025 = c2 2809 = c2 √2809 = c 53 = c 53 28 Hypotenusen er 53 cm 45

33. Hvordan bruges Pythagoras? (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Praktisk eksempel 1: Hvor langt går man, hvis man går tværs over en rektangulær mark, der er 80 m lang og 84 m bred? a2 + b2 = c2 ? 80 m 84 m

34. Hvordan bruges Pythagoras? (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Praktisk eksempel 1: Hvor langt går man, hvis man går tværs over en rektangulær mark, der er 80 m lang og 84 m bred? a2 + b2 = c2 802 + 842 = c2 ? 80 m 84 m

35. Hvordan bruges Pythagoras? (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Praktisk eksempel 1: Hvor langt går man, hvis man går tværs over en rektangulær mark, der er 80 m lang og 84 m bred? a2 + b2 = c2 802 + 842 = c2 6400 + 7056 = c2 ? 80 m 84 m

36. Hvordan bruges Pythagoras? (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Praktisk eksempel 1: Hvor langt går man, hvis man går tværs over en rektangulær mark, der er 80 m lang og 84 m bred? a2 + b2 = c2 802 + 842 = c2 6400 + 7056 = c2 13456 = c2 ? 80 m 84 m

37. Hvordan bruges Pythagoras? (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Praktisk eksempel 1: Hvor langt går man, hvis man går tværs over en rektangulær mark, der er 80 m lang og 84 m bred? a2 + b2 = c2 802 + 842 = c2 6400 + 7056 = c2 13456 = c2 √13456 = c ? 80 m 84 m

38. Hvordan bruges Pythagoras? (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Praktisk eksempel 1: Hvor langt går man, hvis man går tværs over en rektangulær mark, der er 80 m lang og 84 m bred? a2 + b2 = c2 802 + 842 = c2 6400 + 7056 = c2 13456 = c2 √13456 = c 116 = c 116 m 80 m 84 m

39. Hvordan bruges Pythagoras? (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Praktisk eksempel 2: Fra toppen af et 4 m højt livreddertårn kan Per spytte hen i vandkanten, der er 4,2 meter fra tårnets fod. Hvor langt kan Per spytte? a2 + b2 = c2 ? 4 m 4,2 m

40. Hvordan bruges Pythagoras? (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Praktisk eksempel 2: Fra toppen af et 4 m højt livreddertårn kan Per spytte hen i vandkanten, der er 4,2 meter fra tårnets fod. Hvor langt kan Per spytte? a2 + b2 = c2 42 + 4,22 = c2 ? 4 m 4,2 m

41. Hvordan bruges Pythagoras? (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Praktisk eksempel 2: Fra toppen af et 4 m højt livreddertårn kan Per spytte hen i vandkanten, der er 4,2 meter fra tårnets fod. Hvor langt kan Per spytte? a2 + b2 = c2 42 + 4,22 = c2 16 + 17,64 = c2 ? 4 m 4,2 m

42. Hvordan bruges Pythagoras? (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Praktisk eksempel 2: Fra toppen af et 4 m højt livreddertårn kan Per spytte hen i vandkanten, der er 4,2 meter fra tårnets fod. Hvor langt kan Per spytte? a2 + b2 = c2 42 + 4,22 = c2 16 + 17,64 = c2 33,64 = c2 ? 4 m 4,2 m

43. Hvordan bruges Pythagoras? (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Praktisk eksempel 2: Fra toppen af et 4 m højt livreddertårn kan Per spytte hen i vandkanten, der er 4,2 meter fra tårnets fod. Hvor langt kan Per spytte? a2 + b2 = c2 42 + 4,22 = c2 16 + 17,64 = c2 33,64 = c2 √33,64 = c ? 4 m 4,2 m

44. Hvordan bruges Pythagoras? (1) Finde hypotenusen, når man kender kateternes længder Praktisk eksempel 2: Fra toppen af et 4 m højt livreddertårn kan Per spytte hen i vandkanten, der er 4,2 meter fra tårnets fod. Hvor langt kan Per spytte? a2 + b2 = c2 42 + 4,22 = c2 16 + 17,64 = c2 33,64 = c2 √33,64 = c 5,8 = c 5,8 m 4 m 4,2 m

45. Hvordan bruges Pythagoras? (1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Type 1a

46. Hvordan bruges Pythagoras? (1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Teoretisk eksempel 1: Find længden af kateten i en retvinklet trekant, hvor hypotenusen er 17 cm og den anden katete 8 cm. a2 + b2 = c2 17 8 ?

47. Hvordan bruges Pythagoras? (1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Teoretisk eksempel 1: Find længden af kateten i en retvinklet trekant, hvor hypotenusen er 17 cm og den anden katete 8 cm. a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 17 8 ?

48. Hvordan bruges Pythagoras? (1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Teoretisk eksempel 1: Find længden af kateten i en retvinklet trekant, hvor hypotenusen er 17 cm og den anden katete 8 cm. a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 172–82 17 8 ?

49. Hvordan bruges Pythagoras? (1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Teoretisk eksempel 1: Find længden af kateten i en retvinklet trekant, hvor hypotenusen er 17 cm og den anden katete 8 cm. a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 172–82 a2 = 289 – 64 17 8 ?

50. Hvordan bruges Pythagoras? (1a) Finde en katete, når man kender den anden katetes og hypote-nusens længde Teoretisk eksempel 1: Find længden af kateten i en retvinklet trekant, hvor hypotenusen er 17 cm og den anden katete 8 cm. a2 + b2 = c2 a2 = c2 – b2 a2 = 172–82 a2 = 289 – 64 a2 = 225 17 8 ?