Áreas de figuras

1. 15 Áreas de figuras Matemáticas 1º ESO 1 Área de una superficie El área de una figura es la cantidad de superficie que ocupa. Estos dos figuras, aunque diferentes, están formadas por el mismo número de cuadrados: 10 cada una. La unidad de superficie que hemos empleado ha sido el cuadrado. Medir una superficie es hallar su área. Para ello se compara con otra superficie elegida como unidad, y se averigua el número de unidades que contiene.

2. 15 Áreas de figuras Matemáticas 1º ESO 2 Unidades de superficie La unidad fundamental se superficie es el metro cuadrado (m2). Un metro cuadrado es la superficie de un cuadrado de un metro de lado. La niña esta sentada dentro de un metro cuadrado. Un decímetro cuadrado es la superficie de un cuadrado de 1 dm de lado. Se escribe dm2 Un centímetro cuadrado es la superficie de un cuadrado de 1 cm de lado. Se escribe cm2 Un milímetro cuadrado es la superficie de un cuadrado de 1 mm de lado. Se escribe mm2 También pueden definirse el decámetro cuadrado (dam2), el hectómetro cuadrado (hm2) y el kilómetro cuadrado (km2).

3. 1 m = 10 dm 1 m = 10 dm 15 Áreas de figuras Matemáticas 1º ESO 3 Relaciones entre las unidades de superficie Observa: 1 m2 = (10 · 10 ) dm2 = 100 dm2 1 m2 En general, una unidad de superficie es 100 veces mayor que la de orden inmediato inferior, y 100 veces menor que la del orden inmediato superior. 100 dm2 10 · 10 = 100 Para pasar de una unidad a otra se sigue el esquema: De mayor a menor: Se multiplica por 100 x 100 x 100 x 100 x 100 x 100 x 100 km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 : 100 : 100 : 100 : 100 : 100 : 100 De menor a mayor: Se divide entre 100

4. 15 Áreas de figuras Matemáticas 1º ESO 4 Unidades agrarias Son las unidades que utilizan agrónomos, agrimensores y agricultores. El área (a) es la superficie de un cuadrado de 10 m de lado. Un piso mediano tiene, aproximadamente, una superficie de un área. El hectárea (ha) equivale a 100 áreas. La superficie de un campo de fútbol es, aproximadamente, una hectárea. El centiárea (ca) es la unidad más pequeña: 1 área es igual a 100 ca La relación entre las unidades agrarias y las del SMD es: 1 ha = 10.000 m2 = 1 hm2 1 a = 100 m2 = 1 dam2 1 ca = 1 m2 8 ha = 800 a = 80.000 ca = 800 dam2 = 80.000 m2 Ejemplo:

5. 4 cm 8 cm h b l l 15 Áreas de figuras Matemáticas 1º ESO 5 Área del rectángulo y del cuadrado El largo del rectángulo de la figura es 8 cm, y el ancho es 4 cm. ¿Cuántos cm2 tiene este rectángulo? Como cada cuadrado es 1 cm2, en total habrá 8 · 4 = 32 cm2. El número de centímetros cuadrados es el área del rectángulo. A = b · h El área de un rectángulo es igual al producto de su base por su altura: A = b · h Como un cuadrado es un rectángulo con la altura igual que la base: A = l2 El área de un cuadrado es igual al producto del lado por sí mismo. Es decir, es igual al lado cuadrado: A = l2

6. C C B B P A A D D h h b b 2 7 15 Áreas de figuras Matemáticas 1º ESO 6 Área del paralelogramo Al trazar la altura en el paralelogramo ABCD se obtienen dos partes. R Unidas de otra manera podemos formar el rectángulo PBCR. Observa: La base y la altura del rectángulo son las mismas que las del paralelogramo. Además, el área de ambas figuras es la misma, luego: Aparalelogramo = Arectángulo = b · h Ejemplo: El área del paralelogramo de la figura, cuyas medidas vienen dadas en cm, es: A = 7 · 2 = 14 cm2

7. B B D h h A A C C b b 7 · 2 2 2 A = = 7 cm2 7 15 Áreas de figuras Matemáticas 1º ESO 7 Área del triángulo A partir del triángulo ABC podemos dibujar el paralelogramo ABDC. D La base y la altura del triángulo son las mismas que las del paralelogramo. Pero en el paralelogramo hay dos triángulos, luego el área del triángulo será la mitad que la del paralelogramo: Ejemplo: El área del triángulo de la figura, cuyas medidas vienen dadas en cm, es:

8. F R F G b b h h E P E H B B 4,5 m 2,6 3,1 3,1 + 2,6 A = · 4,5 = 12,8 m2 2 15 Áreas de figuras Matemáticas 1º ESO 8 Área del trapecio Partiendo del trapecio EHGF, dibujamos el paralelogramo EPRF. R P La base del paralelogramo es la suma de las base del trapecio (B + b), y la altura h es la misma. Pero en el paralelogramo hay dos trapecios, luego el área del trapecio será la mitad que la del paralelogramo: Ejemplo: El área del trapecio de la figura, cuyas medidas vienen dadas en m, es:

9. h b 15 Áreas de figuras Matemáticas 1º ESO 9 Área de los polígonos no regulares Para hallar el área de un polígono se descompone en triángulos, uniendo un vértice con los demás: T3 El área del pentágono de la figura es la suma de las áreas de los triángulos T1, T2 y T3. T1 T2 El área del cuadrilátero es la suma de las áreas de los triángulos T1 y T2. En cada caso, las áreas de los triángulos se hallarán aproximadamente, midiendo su base y altura. T2 T1 Para T2, por ejemplo, midiendo b y h.

10. a a a l 15 Áreas de figuras Matemáticas 1º ESO 10 Área de los polígonos regulares A partir de un polígono regular podemos obtener un paralelogramo de igual área, como indican las figuras: (el pentágono se descompone en 5 triángulos) La base b del paralelogramo es la mitad del perímetro del polígono y la altura coincide con la apotema del mismo, luego:

11. A´ A 15 Áreas de figuras Matemáticas 1º ESO 11 Área de prismas Las caras laterales de este prisma son rectángulos, y las bases son hexágonos. Vamos a calcular su área lateral y su área total. Área lateral: C1C1 = 4,8 cm C1C´1 = 2,7 cm Al = 4,8 × 2,7 = 12,96 cm2 Área de las base: Lado = 0,8 cm Apotema= 0,7 cm Perímetro: 0,8 cm × 6 = 4,8 cm Área total: Al + Ab = 12,96 cm2 + 3,36 cm2 = 16,32 cm2 Para calcular el área total del prisma se suma el área lateral al área de las bases.

12. 0,7 cm base apotema 15 Áreas de figuras Matemáticas 1º ESO 12 Área de pirámides Las caras laterales de una pirámide son triángulos, y la base un polígono. Vamos a calcular el área lateral y total de la pirámide de la figura. Área lateral: Es la de cinco triángulos iguales. Base = 1 cm Altura = 3,1 cm Al = 1,55 cm2 × 5 = 7,75 cm2 Área de las base: Perímetro: 1 cm × 5 = 5 cm Apotema= 0,7 cm Área total: Al + Ab = 7,75 cm2 + 1,75 cm2 = 9,5 cm2 Para calcular el área total de la pirámide se suma al área lateral el área de la base.

13. r Si se divide el círculo en un número muy grande de sectores circulares, la figura de la derecha se aproxima a un paralelogramo de base la mitad de la longitud de la circunferencia ( ) y de altura el radio r. 15 30 15 Áreas de figuras Matemáticas 1º ESO 13 Área de un círculo Se descompone el círculo en sectores circulares y se colocan como indica la figura: Luego: Ejercicio: El diámetro de un disco es 30 cm. Calcula su área. Si el diámetro vale 30, el radio será 15 cm. Luego: A = 3,14 · 152 = 3,14 · 225 = 706,5 cm2

14. r R O O 1,6 cm 1,2 cm 15 Áreas de figuras Matemáticas 1º ESO 14 Área de la corona circular Si de un círculo con centro O y radio R recortamos otro círculo más pequeño de radio r y con el mismo centro, se obtiene una figura que se llama corona circular. El área de la corona circular es igual a la diferencia del área del círculo mayor y del círculo menor: El área de la corona circular de la figura adjunta es: Ejemplo: A = 3,14 ·(1,62 – 1,22) = 3,14 · 1,12 = 3,52 cm2

15. Si a 360º le corresponde 15 Áreas de figuras Matemáticas 1º ESO 15 Área del sector circular El área del sector circular depende de su ángulo. Sector circular de de n grados: nº Sector circular completo: 360º Su área se calcula haciendo una regla de tres: a nº le corresponderá x El área del sector circular de la figura adjunta será: Ejemplo: