The World of Matrix Uvod u linearnu algebru

1. The World of MatrixUvod u linearnu algebru Erna Oklapi Elektrotehnički fakultet, Beograd ernaoklapi@gmail.com

2. Njeno Visočanstvo: Matrica • Matematička definicija • Definicija u programskim jezicima • Matrica je niz nizova • Pascal: type MATRICA = ARRAY[1..40, 1..40] of integer; • C: int mat1[40][40]; int * mat2[40]; int** mat3; Za pravougaonu šemu brojeva predstavljenu u obliku: kažemo da je matrica tipanad poljem , a za brojeve kažemo da su elementi matrice

3. Njeno Visočanstvo: Matrica • Oznaka i tip • Odgovarajući elementi • Jednakost

4. Vrste matrica • Nula matrica • Matrica vrsta • Matrica kolona (vektor kolona) • Kvadratna matrica • Dijagonalna matrica

5. Vrste matrica • Jedinična matrica • Trougaone matrice

6. Operacije sa matricama • Sabiranje • važi komutativnost • važi asocijativnost • Množenje skalarom

7. Operacije sa matricama • Množenje dve matrice • broj kolona matrice A jednak broju vrsta u matrici B • broj vrsta u matrici C jednak broju vrsta u matrici A • broj kolona u matrici C jednak je broju kolona u matrici B • Komutativnost ne važi

8. Algebarske strukture na vidiku?! • Neka je skup svih matrica tipa (m x n). Struktura je Abelova grupa. • Neka je skup svih kvadratnih matrica reda n, snabdeven operacijom sabiranja + i operacijom množenja *. Tada je struktura prsten sa jedinicom.

9. Transponovana matrica • Ako u matrici zamenimo vrste kolonama i obrnuto dobijamo matricu koja se zove transponovana matrica matrice A. • Transponovanjem vektora dobija se vrsta matrica i obrnuto.

10. Transponovana matrica • Za operaciju transponovanja važe sledeće teoreme: • T1: i • T2: Ako su A i B matrice istog tipa tada je • T3: Za matrice A i B, za koje je definisan proizvod AB, definisan je i proizvod i važi:

11. Transponovana matrica • T4: Za m matrica , za koje je definisan proizvod , važi jednakost

12. Stepenovanje kvadratne matrice • Neka je A kvadratna matrica. Stepen matrice A definiše se pomoću • Ako su k i m nenegativni celi brojevi, važe formule

13. Stepenovanje kvadratne matrice • Ako je za neko tada za matricu A kažemo da je nilpotentna. Najmanji broj za koji je naziva se stepen nilpotentnosti. • Ako je za matricu A kažemo da je idempotentna. • Ako je za matricu A kažemo da je involutivna.

14. Determinanta matrice • Neka je matrica A data sa Preslikavanje definisaćemo pomoću

15. Determinanta matrice • Broj D=det A se naziva determinanta matrice A. • Neka je data matrica A. Tada se det A može izraziti u obliku Gde se sumiranje izvodi preko svih permutacija prvih (drugih) indeksa elemenata, dok su drugi (prvi) indeksi elemenata fiksirani

16. Osobine determinanti • T1: • T2: Ako se svi elementi jedne vrste matrice A pomnože nekim brojem c i dobijenu matricu obeležimo sa B, tada je det B=c det A. • T3: Ako su elementi jedne vrste matrice A jednaki nuli, tada je detA=0.

17. Osobine determinanti • T3: Ako su u matrici A elementi jedne vrste jednaki odgovarajućim elementim neke druge vrste, tada je detA=0. • T4: Ako su u matrici A elementi jedne vrste proporcionalni odgovarajućim elementima neke druge vrste, tada je det A=0.

18. Osobine determinanti • T5: Determinanta ne menja vrednost ako se elementima jedne vrste dodaju odgovarajući elementi neke druge vrste, prethodni pomniženi istim skalarom. • T6: Ako je u matrici A jedna vrsta linearna kombinacija ostalih vrsta, tada je det A=0

19. Osobine determinanti • T7: Ako odgovarajući elementi dve vrste matrice A promene svoja mesta i dobijenu matricu obeležimo sa B, tada važi jednakost det B=-det A. • T8: Neka su date kvadratne matrice A i B. Tada je det(AB)=(det A)(det B)

20. Razlaganje determinante • Minor • Kofaktor • Razvoj determinante po vrsti • Razvoj determinante po koloni

21. Adjungovana i inverzna matrica • Matrica kofaktora matrice A je adjungovana matrica. • Neka je . Za matricu kažemo da je inverzna matrica matrice A ako je:

22. Inverzna matrica - teorema • Ako je det A≠0, tada inverzna matrica postoji, jedinstvena je i može se predstaviti u obliku • Dokaz...

23. Literatura • Gradimir V. Milovanović – Linearna algebra • Tatomir P. Anđelić - Matrice

24. Hvala na pažnji! Pitanja? Ili zauvek ćutite... :-)