SUJETS SPÉCIAUX EN INFORMATIQUE I

1. SUJETS SPÉCIAUX EN INFORMATIQUE I PIF-6003

2. Approximation de fonctions (cas non-linéaire • Approximation linéaire multivariée • Méthode du moindre carré • Approximation non-linéaire • Exemple pratique

3. Approximation linéaire multivariée • Cherchons une droite d’approximation de la forme y = b0 + b1 x1 + b2 x2 + .... + bp xp • Posons Yi valeurs expérimentales faisant référence aux valeurs des variables xij, i1,N, j0,p, ou N est le nombre de points et p le nombre de variables • Et yi une valeur calculée (approximation) par: où xij représente les valeurs des variables

4. Approximation linéaire multivariée • Cherchons le polynôme d’approximation qui appro-xime le mieux les données expérimentales • Définissons un terme d’erreur de la forme: ei = Yi - yi • Le critère de moindre carré exige que: soit minimum (N est le nombre points de contrôle)

5. Approximation linéaire multivariée • Cherchons les valeurs de bj qui minimise S

6. Approximation linéaire multivariée • En divisant par -2 et en distribuant la  nous obtenons

7. Approximation non-linéaire • Nous pouvons effectuer l’approximation de N points de contrôle (mesures) à l’aide de polynômes de de-gré n • SI N = n + 1 => polynôme d’interpolation • SI N > n + 1 => polynôme d ’approximation • Les polynômes d’approximation prennent alors la forme: y = b0 + b1 x + b2 x2 + .... + bn xn

8. Approximation non-linéaire • Cherchons le polynôme d’approximation qui appro-xime le mieux les données expérimentales • Définissons un terme d’erreur de la forme: ei = Yi - yi • Le critère de moindre carré exige que: soit minimum (N est le nombre points de contrôle)

9. Approximation non-linéaire • Cherchons les valeurs de bj qui minimise S

10. Approximation non-linéaire • Après simplifications

11. Approximation non-linéaire • Sous forme matricielle nous avons:

12. Approximation non-linéaire • Exemple avec N = 11 et n = 2, nous cherchons le polynôme d’approximation de la fonction bruitée y = 1 - x + 0.2 x2

13. Approximation non-linéaire

14. Approximation non-linéaire • Nous avons sous forme matricielle

15. Approximation non-linéaire • Après avoir résolu ce système d’équations nous obtenons comme solution: b0 = 0.998 b1 = -1.018 b2 = 0.225 • Ce qui permet de déduire le polynôme d’approxima-tion: y = 0.998 - 1.018 x + 0.225 X2

16. Approximation non-linéaire • Le degré du meilleur polynôme d’approximation est déterminé en évaluant le critère suivant: • Nous cherchons alors le polynôme de degré n pour lequel • 2 est minimal

17. Approximation non-linéaire • Dans le cas de notre exemple

18. Exemple pratique • Approximation d’un ensemble de données portant sur les cotes boursières (XXM)

19. Exemple pratique (cas linéaire) • Résultats attendus

20. Exemple pratique (cas non-linéaire) • Résultats attendus