Superficies Mínimas

1. Superficies Mínimas U n a M i r a d a C u r v a d e l a A r q u i t e c t u r a Alfonso Ordosgoitia Maria Juliana Poveda Diseño Industrial Pontificia Universidad Javeriana Sistemas Complejos

2. Glosario • Geometría descriptiva: Es un conjunto de técnicas de carácter geométrico que permite representar el espacio tridimensional sobre una superficie bidimensional, y por tanto, resolver en dos dimensiones los problemas espaciales, garantizando la reversibilidad del proceso a través de la adecuada lectura. • Paraboloide hiperbólico: El paraboloide hiperbólico también se lo denomina silla de montar por su gráfica.. Tiene la peculiaridad de contener rectas en su superficie. • Línea recta: es un lugar geométrico de sucesión alineada de puntos en una misma dirección sin desviarse. • Plano:Superficie reglada generada por el movimiento de una generatriz (g), que se mantiene en contacto con una directriz (d) recta, siendo paralelas todas las posiciones de la generatriz. • Superficie:Configuración geométrica que posee solo dos dimensiones. • Parábolas:son las curvas que se forman al cortar un cono con un plano paralelo a una de sus aristas.

3. Estas superficies, conocidas en geometría desde el siglo XVII, tienen la propiedad de ser, entre todas las que tienen la misma frontera, las que tienen área mínima. La propiedad de minimizar el área es la que aprovechó su arquitecto, el alemán Frei Otto, para levantar, mediante un sistema de apoyos y cables, una estructura sorprendentemente ligera donde las tensiones interiores se anulaban, permitiendo a la vez una economía de material y una forma atrevida.

4. paraboloide hiperbólico. Una de las superficies que más se han aplicado en arquitectura es el paraboloide hiperbólico.Gaudí fue uno de los que la emplearon, pero quien más la ha trabajado ha sido Félix Candela. Lo que las curvas cónicas (la elipse, la parábola y la hipérbole) son para la dimensión dos, en dimensión tres lo son las superficies cuádricas. Los nombres de estas superficies tienen que ver con las curvas que aparecen como secciones con planos.

5. Gaudí Sin embargo la propiedad realmente importante, la que motivó el interés tanto de Gaudí como de Candela, es el hecho de que el paraboloide hiperbólico, aun siendo una superficie curvada, se puede construir con líneas rectas. Lo único que se tiene que hacer es ir variando el ángulo de inclinación de una recta que se mueve encima de otra curva. Este tipo de superficies son denominadas superficies regladas.

6. Veamos exactamente cómo construir un paraboloide hiperbólico. Dados cuatro puntos en el espacio que no estén en un mismo plano, hay un único paraboloide hiperbólico que pasa precisamente por estos cuatro puntos. Ésta es la misma propiedad que dice que dos puntos determinan una única recta. Lo que tenían que hacer los obreros era unir con sendas barras uno de los pares de puntos de una parte, y el otro par opuesto por la otra. Después sólo se tiene que dejar resbalar otra barra sobre las dos anteriores manteniendo una velocidad constante en los extremos.

7. Tipos deparaboloide hiperbólico restaurante Los Manantiales en la ciudad de México. L’Oceanográfic, fotografiado durante su construcción, muestra su estructura.

8. Comprobación Matemática Hiperboloide hiperbólico ( a > 0 ) ( a > 0 ) ( a > 0 ) ( a > 0 ) ( a > 0 ) ( a > 0 ) ( a > 0 ) Cortes • La cuádrica tiene signatura 1 y los autovalores de la matriz A00 son dos positivos y uno negativo.Los cortes del hiperboloide por planos paralelos a los coordenados son curvas cónicas (en lo siguiente se supone que el hiperboloide esta centrado en el origen de coordenadas y tiene la pimera de las ecuaciones reducidas dadas arriba): • Cortes por planos  z = a • La curva de corte es una elipse de • ecuación                              • donde                                  ( a > 0 ) ( a = 0, elipse de garganta )

9. Superficies Mínimasretrato de un sistema las superficies mínimas funcionan como un sistema complejo, en cuanto que es por medio de la relación e interacción de varios elementos (líneas rectas), que todas en su unión y distribución organizada logran componer una superficie que denota curvas y un estilo orgánico, pero en realidad están construidas a partir de un entramado de líneas rectas, las cuales llamamos superficies regladas. De la misma manera que observábamos como el motor de un carro funciona a partir de la colaboración interactiva de todos sus componentes, las superficies mínimas necesitan de una gran cantidad de líneas rectas organizadas (componentes) para materializarse como superficie, formando en su sucesión la idea de curva, un modelo funcional que podrá ser utilizado como una silla para montar a caballo, o para cubrirse de la intemperie por medio de un techo, una materialidad que satisface necesidades humanas a partir de lógicas y estructuras geométricas.

10. El modelado de una Superficie Modelado Desde un punto de vista arquitectónico, podríamos observar que para generar este tipo de superficies, inicialmente el arquitecto genera un boceto que posteriormente será reproducido a menor escala por medio de una maqueta generada a partir de líneas rectas. Este primer acercamiento a la materialización de la superficie, es desarrollado a partir de un proceso de modelado(construir dentro), que paralelo a este proceso también podría ser generado a partir de programas interactivos de 3D. Este proceso de modelado servirá en la creación de la superficie, como una oportunidad de generar correcciones sobre la misma, al igual que entregar ciertas pautas sobre el modelo final. Materialización

11. El lado creativo de la Geometría • las superficies mínimas funcionan como un sistema complejo, en cuanto que es por medio de la relación e interacción de varios elementos (líneas rectas), que todas en su unión y distribución organizada logran componer una superficie que denota curvas y un estilo orgánico, pero en realidad están construidas a partir de un entramado de líneas rectas, las cuales llamamos superficies regladas. De la misma manera que observábamos como el motor de un carro funciona a partir de la colaboración interactiva de todos sus componentes, las superficies mínimas necesitan de una gran cantidad de líneas rectas organizadas (componentes) para materializarse como superficie, formando en su sucesión la idea de curva, un modelo funcional que podrá ser utilizado como una silla para montar a caballo, o para cubrirse de la intemperie por medio de un techo, una materialidad que satisface necesidades humanas a partir de lógicas y estructuras geométricas.

12. Bibliografía • laboratoriomatematicas.uniandes.edu.co/bioing/cuadernillo.pdf • www.upc.es/ • www.fi.uba.ar/ • cursandomatematicas.galeon.com/ • es.wikipedia.org/wiki/Paraboloide • www.uv.es/metode/