Enrique González y Julio Pozo Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería

1. ENSEÑANDO ALGUNOS ASPECTOS DE LA TEORÍA DEL CAOS EN EL LABORATORIO DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO Enrique González y Julio Pozo Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Diego Portales Casilla 298-V, Santiago e-mail: enrique.gonzalez@udp.cl

2. Resumen Durante este último tiempo, el desarrollo de este trabajo ha pasado a formar parte de una de las experiencias de laboratorio más innovadoras en las carreras de Ingeniería de la Universidad Diego Portales y está basado en investigar el diseño, la simulación del funcionamiento de un circuito de Chua que consiste en un circuito RLC no lineal forzado en donde se utiliza un transformador de frecuencia intermedia como inductor L, y la posterior construcción del circuito. Se utiliza este circuito para realizar una caracterización experimental con verificación en el osciloscopio de su comportamiento, como asimismo una simulación mediante el uso del Multisim 2001 para comparar los resultados obtenidos. Se puede observar claramente la ruta al caos y el comportamiento caótico del sistema, obteniéndose el atractor doble Scroll tanto en el sistema construido experimentalmente como en la simulación respectiva. El ajuste de parámetros físicos como la resistencia del circuito, permite tener un control sobre la magnitud del caos observado, logrando de esta forma realizar el estudio correspondiente, sólo con materiales que están presentes en cualquier laboratorio de electricidad dispuesto para la enseñanza. Cabe destacar también que la realización de este trabajo genera una motivación especial en los estudiantes por investigar y familiarizarse con algunos aspectos de la teoría del caos….

3. 1.- Introducción La motivación para desarrollar este trabajo está centrada en construir y trabajar con un sistema caótico, como forma de disponer de una herramienta en el ámbito de la física experimental, que permita a los estudiantes visualizar e interactuar con algunos aspectos caóticos como: alta sensibilidad a parámetros físicos, bifurcaciones, atractores y en general la ruta al caos. El sistema caótico está representado por un circuito RLC no lineal (circuito Chua) el cual permite verificar y mostrar mediante simulación, y experimentalmente en el laboratorio que su comportamiento puede ser caótico. Prof. EGL

4. 1.1 Importancia del circuito Chua • El circuito Chua es uno de los más simples circuitos autónomos que puede llegar a ser caótico. • Puede presentar cada tipo de bifurcación y atractores que han sido reportados a la fecha en los sistemas dinámicos de tercer orden. • Presenta una gran variedad de comportamientos dinámicos complejos: puntos de equilibrio, órbitas periódicas, bifurcación y “ruta al caos”. • Fácil implementación, bajo costo

5. Considerando como base circuito Chua 1.2 Objetivos del trabajo realizado Investigar el diseño, construir, simular y comparar el funcionamiento de un circuito RLC no lineal forzado, como forma de verificar y mostrar experimentalmente en el laboratorio que su comportamiento puede ser caótico. • El Trabajo realizado consistió en : • Construir • Medir • Simular • Comparar

6. 2.- Modelo y teoría Circuito Chua R + + L C V2 C1 V1 2 NR I - -

7. 2.1 Parámetros de bifurcación • La resistencia R del circuito RLC. • El Condensador C1. Prof. EGL

8. 2.2 Curva característica V - I del diodo Chua. I(R) m0 m1 Bp -Bp V(R) m0

9. 2.3 Ecuaciones para el circuito. (1) (2) (3)

10. 3.1 Esquema Circuito práctico y simulado R1 R3 22k 5% 220 5% R7 8 U1B 8 5 U1A 3 Key = a 7 88% 2K_LIN 1 6 2 TL082CD 4 V1 TL082CD 4 C2 9V C1 L1 R2 100nF R4 10nF 18mH 22k 5% 220 5% R5 R6 3.3k 5% 2.2k 5% V2 9V XSC1 G T A B

11. 3.2 Prototipo

12. 3.3 Circuito Chua en funcionamiento

13. 3.4 Amplificación Pantalla

14. Lista de Materiales

15. Secuencia de bifurcaciones variando R Reduciendo la resistencia variable R desde 2K hasta 0  el circuito Chua exhibe una secuencia continua de bifurcaciones desde el equilibrio una bifurcación Hopf y secuencia de doble período a un atractor tipo Rossler y el extraño atractor Doble Scroll. Una proyección bidimensional del atractor se obtiene conectando VC1 y VC2 a los canales X e Y de un osciloscopio X e Y.

16. Tamaño de los atractores Nótese que variando R de ésta manera hacemos que el tamaño de los atractores cambie. La órbita de un período es grande, la de dos período es pequeña, la del atractor tipo Rossler es también pequeña y la del atractor Double-Scroll se reduce considerablemente antes de extinguirse.

17. 3.5 Secuencia de bifurcaciones R=1775  R=1732  R=1718  R=1673  R=1709  R=1703  R=1450  R=1637  R=1100 

18. 3.6 Atractor doble Scroll (simulado) Multisim2001

19. Secuencia de bifurcación variando C1 Una manera alternativa de visualizar la secuencia de bifurcación es ajustando C1. en este caso se deja fijo el valor de R en unos 1800 W y se varía C1 desde 12.0 nF hasta 6 nF. Monitoreando VC1 y VC2 igual que antes, pudiendo visualizarse el rango total de bifurcaciones a partir del equilibrio pasando por Hopf, doble período, Rossler y Doble Scroll al variar C1 en el rango ya indicado.

20. 4.1 Resultados finales yConclusiones Al disponer de la información y de los materiales necesarios, fue posible armar el circuito Chua autónomo, cuyo esquema de circuito está representado en diapositiva 10, mediante el cual se obtuvo un comportamiento caótico experimental y simulado, tal como se muestra en las diapositivas 13 y 18 respectivamente

21. 4.2 Resultados finales yConclusiones El comportamiento caótico queda descrito mediante la sensibilidad respecto del parámetro R, el cual está representado por la resistencia determinada por el potenciómetro de ajuste R7. Se encuentra un sorprendente acuerdo entre los resultados experimentales y los simulados mediante el software Multisim 2001, lo que se visualiza al comparar las diapositivas 15 y 21 .

22. Bibliografía • N. Carlinet al, Comportamento caótico emum circuito RLC não-linear, Revista Bralileira de Ensino de Física, vol. 27, n. 2, p. 225-230 (2005) • 2. C. von Bilderling y E. HerscovichRamoneda, Caos en un circuito R-L-Diodo, UBA (2004). • A. Razminia, M-Ali. Sadarnia, “Chua`s Circuit Regulation using a Nonlinear Adaptive Feedback Technique”. Volume 25 November 2007 ISSN 1307-6884. • 4. MaleshMulukutta and CherifAissi, “Implementation of the Chua´s circuit and • its application”. Proceedings of the 2002 ASEE Gulf-Southwest Annual Conference, The University of Louisiana at Lafayette, March 20-22, 2002. • 5. Enrique González y Julio Pozo, Actas SOCHEDI 2008. 22

23. Muchas Gracias

24. ENSEÑANDO ALGUNOS ASPECTOS DE LA TEORÍA DEL CAOS EN EL LABORATORIO DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO Enrique González y Julio Pozo Instituto de Ciencias Básicas Facultad de Ingeniería Universidad Diego Portales Casilla 298-V, Santiago e-mail: enrique.gonzalez@udp.cl