Statistik och sannolikhetslära i undervisning och utvärdering

1. Statistik och sannolikhetslära i undervisning och utvärdering Lars Burman

2. Föreläsningens innehåll * En liten jämförelse mellan Norge och Finland: gymnasiekurserna i Statistik och Sannolikhetslära * Exempel och erfarenheter från ett försök med problemuppgifter och projektarbete i matematikundervisn. * Kompletterande tankar ... om utvärdering m.m.

3. När det gäller ramar och miljö ...(metadiskussion) Det som jag presenterar är säkert en funktion av den miljö där de uppstått och förklaras delvis av de ramar som gäller där ... => Antagligen kan det inte direkt appliceras i en annan miljö där det finns andra ramar men ev. kan det modifieras ... eller ge idéer ...

4. EN LITEN JÄMFÖRELSE ...

5. Gymnasiematematiken i Finland • Gymnasiet är en teoretisk skola med stark betoning på språk • Matematiken är indelad i lång och kort kurs Lång kurs 10 kurser (30-35 h) + ev. tilläggskurser (3-4 språk) Kort kurs 6 kurser (30-35 h) + ev. tilläggskurser (4-6 språk)

6. Kurs 6: Sannolikhet och statistik 1. Tabeller och diagram 2. Lägesmått och spridningsmått 3. Mängdlära och kombinatorik 4. Sannolikheter, räkneregler 5. Statistisk, klassisk, geometrisk sann. 6. Fördelningsteori, karakteristikor 7. Kontinuerlig, normal fördeln. Fördj.: Korrelation och regression

7. Om kort kurs i Finland ... En obligatorisk kurs i Sann. och Stat.: 1. Sannolikheter: addit. och multipl. 2. Kombinatorik: produktprincipen, antalet delmängder o. binomialsann. 3. Statistik: frekvenser, spridningsmått, normalfördelning och samvariation

8. Om kort kurs i Finland ... (forts.) En tilläggskurs i Sann. och Stat.: 1. Behandling av statistiskt material 2. Sannolikhetsfördelningar: binomial-, geometrisk-, exponential- och normalfördelningen 3. Statistist slutledning: konfidens- intervall och medelvärdestest

9. En liten jämförelse 1. Norge betonar sannolikhetslära och Finland betonar statistik 2. Binomialsannolikheter centrala 3. Finland betonar fördelningarna 4. Norge har mera om matematiska modeller, regression o. prognos 5. De som har kort mat. har mera S o S än de som har lång mat. (F)

10. ETT FÖRSÖK I VASA ...

11. EMU-projektetvid Vasa övningsskola Lärarutbildningen på svenska i Finland handhas av Pedagogiska fakulteten vid Åbo Akademi, Vasa. Vid Vasa övningsskola sker den största delen av övningsundervisningen Effektiv Matematik Undervisning - utvecklings- och forskningsprojekt

12. Hur göra undervisningen mera effektiv? • Utöka elevernas engagemang och det ansvar de tar för sin egen inlärning • Analysera stoffet och de grundläggande metoder som kurserna innehåller • Utveckla arbetsmetoderna, främst med problemlösning och projektarbete • Gör elevutvärderingen mer mångsidig

13. Försökets huvudidéer 1. Minitest 2. Projektarbete Med ett utökat inslag av problemlösning ...

14. 1. Minitest • kräver 20 – 30 minuter • innehåller två (eller tre) uppgifter • en basuppgift (eller två) • en litet mer krävande uppgift • en metodbeskrivning • en problemlösningsuppgift • ger eleverna övning • ger en försmak av kursprovet

15. Exempel: sannolikhetslära, statistik Talen m och n väljspå måfå ur mängden {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Bestäm sannolikheten att ekvationen x2 + mx + n2 = 0 har åtminstone en reell lösning. Medelvärdet av sju olika stora positiva hela tal är 23 och medianen är 20. Hur stort kan det största av de sju talen vara? Ett lag i ”Fångarna på fortet” måste för att befria en lagmed-lem fördela tio vita kulor och tio svarta kulor i två askar. Sedan väljer fångvaktaren på måfå ut en av askarna och drar en kula ur den asken. Om kulan är vit blir fången fri annars inte. Hur skall laget fördela kulorna så att sanno-likheten att befria lagmedlemmen blir så stor som möjligt?

16. Några exempel till ... • En dator får slumpmässigt välja ut ett tal i intervallet 1 – 2000. Bestäm sannolikheten att talet är delbart med 2 eller 5. • Fröken Jeanne d’Art kastar en pil som träffar en vanlig (numrerad från 1 till 10) piltavla. Vi är intresserade av med vilken sannolikhet hon a) får minst 5 b) får precis 5 Rita två bilder som hjälper oss att uppfatta problemen rätt och beskriv med ord hur man skall göra för att beräkna sannolikheterna.

17. 2. Projektarbete Modelleringsprojekt med fem stadier: 1. Idealisering 2. Matematisering 3. Arbete inom den matematiska modellen 4. Tolkning 5. Validering Elevgrupperna utökar sin rapport efter varje stadium efter att ha fått feedback.

18. Projektarbetets roll • projektrubrikerna kan väljas från ele-vernas intresseområden och från det ”verkliga livet” • projektet ger möjlighet att lösa problem som inte går att lösa på några minuter • projektarbetet ger träning i hela modelleringsprocessen • projektarbetet ger träning i att lösa problem i grupp (jämför arbetsgrupper!)

19. Exempel på projektrubriker * Formel 1 * Nivåbyten i mat. * Går rökande i arv (statistisk analys) * Vem ser på TV? * Vem far med bussen? * Vem går mot rött ljus? * Vem köper chips? * Hur ofta äter man? * Har pojkar större skor? * Sommarjobb?! (beskrivande statistik) * Börskurser * Ishockeymål * Födelsetider (extremvärden)

20. Statistisk analys (fördjupning för el.) • anpassning av en regressionslinje med minsta-kvadratmetoden (vid en utveckling i tiden) • undersökning om två stickprov är tagna från samma (normal)fördelning med t-test • undersökning av samband i korstabell (t. ex. en fyrfältstabell) med 2-metoden OBS! Eleverna kunde inte själva välja lämplig analysmetod, utan typen blev en konsekvens av det tema elevgruppen hade valt! Jag hade lovat att de skulle klara sig med två sidor A4.

21. I vilka kurser passar det att ta in modelleringsprojekt ? • Matematiska modeller • Statistik • Beskrivande statistik • Statistisk analys • Specialkurser • Differentialkalkyl Varje gymnasist borde få delta i åtminstone ett modelleringspro-jekt under sin gymnasietid ...

22. Vad sa eleverna om problem och projekt? (minitest och projekt)

23. Elevernas respons på minitest • Man tvingas följa med i kursen bättre • Bra att minitesten kan höja kursvitsordet • Det blir lättare att klara kursprovet • Bra att på förhand få se vad man kan • Minitesten är bra för självförtroendet • Bra tillfälle att få öva (inför kursprovet)

24. Elevernas respons på projekt roligt omväxling stressigt utmaning annorlunda lärorikt svårt fick ta ansvar intressant nyttigt

25. TANKAR OM UTVÄRDERING M.M. I FÖRENING MED S O S

26. Om utvärdering av eleverna ... • Utvärdering inom matematikkurserna i Finland styrs (alltför) mycket av den traditionella studentexamen där man skall välja 10 uppgifter av 15 och klara av dem inom 6 timmar • Inom EMU-projektet ville jag pröva en breddning av underlaget för bedömningen av eleverna (två vitsord) • Inom S o S lyckades breddningen bäst

27. Varför mera problemlösning? • Inom de ramar jag gjorde EMU-försöket kunde jag inte göra stora förändringar utan ”tog små steg i rätt riktning” och ... • Breddning av underlaget för utvärdering och en satsning på mera ”higher-order thinking” gjordes bäst genom att jag tog in ”mera element av problemlösning”

28. Det som utvärderas är viktigt ... • Minitesten, kanske 4 x 2 uppgifter per kurs, kan vägas in i elevernas kursvitsord på olika sätt men den indirekta effekten var kanske större • Projektarbetet kan jämställas med 1-2 provuppgifter i kursprovet • Tack vare att båda hade betydelse för kursvitsordet jobbade eleverna • Det som utvärderas upplevs viktigt

29. Standards for School Mathematics • Students should leave secondary school with the ability to judge the validity of arguments that are based on data, such as those that appear in the press.

30. Standards for School Mathematics • The idea that individual events are not predictable but that a pattern of outcomes can be predicted is an important concept that serves as a foundation for the study of inferential statistics.

31. Idé från senaste ProMath-konferens • Fermi-questions: ett exempel Hur många människor sitter det och väntar i en 6 km lång bilkö på en trefilig motorväg?