Kolmé hranoly - povrch a objem

1. Základní škola Jakuba Jana Ryby Rožmitál pod Třemšínem Efektivní výuka pro rozvoj potenciálu žáka projekt v rámci Operačního programu VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST Kolmé hranoly- povrch a objem Matematika – 7. ročník

2. Tělesa kolem nás Kvádr a krychle – opakování (5) základní pojmy objem povrch síť Kolmé hranoly (11) základní pojmy sítě Povrch hranolu (20) odvození vzorce zápis trojboký s podstavou lichoběžník příklady na procvičení Objem hranolu (27) odvození vzorce zápis trojboký s podstavou lichoběžník příklady na procvičení Hmotnost tělesa (37) příklady na procvičení Přehled vzorců Obsah:

3. Vyhledej tělesa na obrázku

4. Tělesa kolem nás

5. Kvádr ABCDA´B´C´D´ - základní pojmy (opakování) D´ C´ • 8 vrcholů: • A,B,C,D, A´,B´,C´,D´ • 6 stěn: • 2 podstavy • dolní ABCD • horní A´B´C´D´ A´ B´ c=v • 4 boční stěny • ABB´A´ • DCC´D´ • BCC´A´ • ADD´A´ D C b A a B • 12 hran • podstavné: AB, BC, CD, AD, A´B´, B´C´,C´D´, A´D´ • boční: AA´, BB´, CC´,DD´ • 12 stěnových úhlopříček • 4 tělesové úhlopříčky: AC´, BD´, CA´, DB´ a délka podstavné hrany b šířka podstavné hrany c = v výška kvádru = délka bočních hran (vzdálenost podstav)

6. Objem kvádru a krychle - opakování • Kvádr • Krychle 1 cm3 c = 6 cm a = 3 cm V = 4.2.6 V = 48 cm3 a = 3 cm a = 3 cm V = 3.3.3 V = 27 cm3 b = 2 cm a = 4 cm V = a.a.a V = a.b.c

7. Krychle - opakování a D´ C´ • 8 vrcholů • 6 stěn • 12 hran A´ B´ a a D C a a a a a A a B • stěnové úhlopříčky • tělesové úhlopříčky a délka hrany krychle a Vypočti objem a povrch, je-li a= 2 cm. • povrch S = 6.a.a S = 6.2.2 S = 24 cm2 • objem V = a.a.a V = 2.2.2 V = 8 cm3

8. Kvádr má rozměry 7,5 cm, 4 cm a 12 cm. Narýsuj síť, vypočti objem a povrch. síť S=a.b • objem V = a.b.c S=b.c S=b.c c=v = 12 cm S=a.c S=a.c 12 cm c=v = 12 cm b=4 cm a=7,5 b=4 cm a=7,5 b=4 cm a=7,5 cm S=a.b b=4 cm • povrch S = 2.(a.b + b.c + a.c) S = 2.(7,5.4+4.12+7,5.12) S = 2.(30+48+90) S = 336 cm2 V = 7,5.4.12 V = 360 cm3

9. Pojmenuj toto těleso. • Co tvoří povrch a jak ho vypočítáš? Uveď vzorec. • Jak vypočítáš objem? Uveď vzorec. • Krychle. • 6 stěn tvaru čtverce. S = 6.a.a V = a.a.a

10. Pojmenuj toto těleso. • Co tvoří povrch a jak ho vypočítáš? Uveď vzorec. • Jak vypočítáš objem? Uveď vzorec. • Kvádr • 6 stěn – 3 dvojice různých obdélníků. S = 2.(a.b + b.c + a.c) V = a.b.c • Vynásobíme všechny 3 rozměry.

11. podstavy hranolu jsou 2 shodné mnohoúhelníky boční stěny jsou obdélníky nebo čtverce výška = délka kterékoliv boční hrany těleso, které má 2 shodné podstavy a ostatní stěny (boční) jsou kolmé na obě podstavy. Kolmé hranoly Kolmý hranol Pravidelný hranol • podstavy - pravidelné shodné mnohoúhelníky • boční stěny - shodné obdélníky

12. dolní podstava horní podstava Trojboký kolmý hranol s podstavou kolmý hranol • těleso, které má 2 shodné podstavy a ostatní stěny (boční) jsou kolmé na obě podstavy. vlastnosti kolmého hranolu: • podstavy hranolu jsou 2 shodné pravoúhlé trojúhelníky ABC a A´B´C´ C´ b a B´ A´ c v • boční stěny tvoří 3 obdélníky = plášť C A B v v v c b a • výška = délka kterékoliv boční hrany

13. 9 11 15 Které z těles nepatří mezi kolmé hranoly? 1 2 4 5 3 9 7 6 8 10 13 15 12 11

14. Pojmenuj těleso s touto sítí čtyřboký hranol s podstavou kosodélník

15. Pojmenuj těleso s touto sítí pravidelný šestiboký hranol

16. Pojmenuj těleso s touto sítí pravidelný trojboký hranol (podstava rovnostranný trojúhelník)

17. Pojmenuj těleso s touto sítí čtyřboký hranol s podstavou pravoúhlý lichoběžník

18. Vypočti povrch kvádru jiným způsobem. Využij sítě a vypočti obsah bočních stěn (4 obdélníků) najednou jako obsah velkého obdélníku, který tvoří plášť. podstava op=23 cm c=v = 12 cm c=v = 12 cm plášť b=4 cm a=7,5 b=4 cm a=7,5 b=4 cm a=7,5 cm b=4 cm podstava povrch = obsah 2 podstav + obsah pláště Porovnej: S = 2.(7,5.4) + 23.12 S = 2.30+ 276 S = 336 cm2 S = 2.(7,5.4+4.12+7,5.12) S = 2.(30+48+90) S = 336 cm2

19. Povrch pravidelného čtyřbokého hranolu, odvození vzorce na výpočet povrchu hranolů Sp a Sp =a.a Sp Povrch = součet obsahů všech stěn (obsah sítě) v Spl = op.v = 4.a.v v v Sp a a a a a a a Sp Povrch hranolu = obsah 2 podstav + obsah pláště S = 2.Sp + Spl Sp...... obsah podstavy Spl...... obsah pláště Spl= op.v S = 2.a.a + 4.a.v

20. Sp Sp Sp Sp Spl Spl Spl Sp Sp Sp Sp Spl Sp Spl Sp Spl Sp Povrch hranolu = obsah 2 podstav + obsah pláště Sp...... obsah podstavy S = 2.Sp + Spl Spl...... obsah pláště (obvod podstavy vynásobíme výškou hranolu) Spl = op.v

21. Sp= Povrch trojbokého hranolu s podstavou C´ a b podstava b a Sp Povrch hranolu = součet obsahů všech jeho stěn (obsah sítě). B´ A´ c a b c plášť v v C Spl= op.v A B Sp podstava Povrch hranolu = obsah 2 podstav + obsah pláště S = 2.Sp + Spl Spl = op.v Spl= (a+b+c).v S = a.b + (a+b+c).v

22. Př.: Vypočti povrch trojbokého hranolu s podstavou pravoúhlý trojúhelník o rozměrech a=3 cm, b=4 cm a c=5 cm. Výška tělesa je 6 cm. b=4 a=3 Sp podstava b=4 cm a=3 cm c=5 a=3 b=4 c=5 cm plášť v=6 Spl v=6 cm Sp podstava Spl = op.v S = 2.Sp + Spl Spl = (a+b+c).v Sp = a.b:2 S = 2.6 + 72 S = 84 cm2 Spl= (3+4+5).6 Spl =12.6 Spl = 72 cm2 Sp= 3.4:2 Sp= 6 cm2 Povrch trojbokého hranolu je 84 cm2.

23. Př.: Vypočti povrch čtyřbokého hranolu s podstavou lichoběžník (základna a=2,5 cm a c=1 cm, ramena b=d=1,5 cm a výška va=1,4 cm). Výška tělesa je 2,6 cm. podstava a=2,5 cm plášť va=1,4 cm b=1,5 cm Spl= (a+b+c+d).v d=1,5 cm v=2,6 c=1 cm a=2,5 c=1 b=1,5 d=1,5 v=2,6 cm podstava S = 2.Sp + Spl Sp = (a+c).va : 2 Spl = op.v Spl= (2,5+1,5+1+1,5).2,6 Spl =6,5.2,6 Spl = 16,9 cm2 Sp= (2,5+1).1,4:2 Sp= 4,9:2 Sp= 2,45 cm2 S = 2.2,45 + 16,9 S = 4,9 + 16,9 S = 21,8 cm2 Povrch hranolu je 21,8 cm2.

24. Př.:Ptačí budka má tvar kolmého čtyřbokého hranolu s podstavou pravoúhlého lichoběžníku. Vypočítej povrch. Rozměry jsou uvedené na obrázku. Sp = (a+c).va : 2 S = 2.Sp + Spl Sp= (46+34).24:2 Sp= 80.24:2 Sp= 1920:2 Sp= 960 cm2 S = 2.960 + 3144 S = 1920 + 3144 S = 5064 cm2 b=27 cm a=46 cm c=34 cm Spl = op.v d=v=24 cm Spl= (46+27+34+24).24 Spl =131.24 Spl = 3 144 cm2 d=24 cm Povrch budky je 50,64 dm2.

25. Slovní úlohy na procvičení S = 1600 cm2 řešení • Vypočítej povrch hranolu, který má výšku 21 cm a jehož podstavou je kosočtverec s délkou strany 16 cm a výškou 8 cm. • Hranol má výšku 9 cm, jeho podstavou je rovnoramenný trojúhelník se základnou c = 16 cm, vc = 6 cm a délkou ramen a =b = 10 cm. Vypočti povrch hranolu. • Vypočítej povrch hranolu, který má výšku 21 cm a jehož podstavou je rovnoramenný lichoběžník s délkami základen 25 cm a 13 cm, délkou ramene 10 cm a výškou 8 cm. S = 2.48 + 324 S = 420 cm2 Sp= 16.6:2 Sp= 48 cm2 Spl= (16+10+10).9 Spl =324 cm2 S = 2.152 + 1218 S = 1522 cm2 Sp= (25+13).8:2 Sp= 152 cm2 Spl= (25+13+10+10).21 Spl =1218 cm2

26. Vypočítej povrch hranolu, který má výšku 21 cm a jehož podstavou je kosočtverec s délkou strany 16 cm a výškou 8 cm. 1. zpět Sp = a.va v=21 cm Sp= 16.8 Sp= 128 cm2 va=8 cm a=16 cm Spl = op.v S = 2.Sp + Spl Spl = 4.a.v S = 2.128 + 1344 S = 256 cm2 S = 1600 cm2 Spl= 4.16.21 Spl =1 344 cm2 Povrch hranolu je 1 600 cm2.

27. Sp v Sp Objem hranolu 1 cm3 v1 = v2 = = 6 cm b2 = 2 cm a2 = 4 cm a1 = 4 cm b1 = 3 cm Sp = 4.3 + 4.2 Sp = 12 + 8 Sp= 20 cm2 V = Sp . v V = V1 + V2 V = 4.3.6 +4.2.6 V = 72 + 48 V = 120 cm3 V = 20 cm2 . 6 cm V = 120 cm3

28. Objem hranolu V = Sp . v - obsah podstavy vynásobíme výškou hranolu Sp Sp v v v v Sp Sp Sp .... obsah podstavy v Sp v .... výška (délka boční hrany) Sp v

29. V = .v va v a V = .v Objem trojbokého hranolu V = Sp . v s podstavou pravoúhlý trojúhelník s podstavou rovnoramenný trojúhelník a b v

30. V = .v V = . 10 72/1 Vypočti objem trojbokého hranolu s tělesovou výškou v = 10 cm a s podstavou tvaru trojúhelníku se stranou a = 7 cm a příslušnou výškou va = 4,6 cm. V = Sp . v v=10 cm va=4,6 cm a=7 cm V = 7.2,3 . 10 V = 161 cm3 Objem trojbokého hranolu je 161 cm3.

31. V = .v V = .15 Kůň potřebuje za rok 42 q sena. K jeho uskladnění je potřeba asi 80 m3 prostoru. Vešlo by se seno na půdu pod sedlovou střechou, která je široká 5 m a od podlahy k hřebenu měří 4 m. Domek je dlouhý 15 m. V = Sp . v va=4 m v=15 m a=5 m V = 10.15 V = 150 m3 Na půdu se vejde seno pro koně, protože objem půdy je 150 m3.

32. V = . v Objem čtyřbokého hranolu s podstavou lichoběžník a V = Sp . v va c v c v c va va a v a

33. 80 cm 1,5 m V =. 15 50 cm V = . v 60 cm PS 56/5 Kolik litrů vody se vejde do nádrže na dešťovou vodu znázorněnou na obrázku? V = Sp . v V = 35 .15 V = 525 dm3 V = 525 l Do nádrže se vejde 525 litrů vody.

34. řešení -1.příklad Slovní úlohy na procvičení V = (2,3+1,7).0,8:2.0,2 V = 1,6.0,2 V =0,32 m3 = 320 dm3 • Vypočítej objem hranolu, který má výšku 2 dm a jehož podstavou je lichoběžník s délkami základen 2,3 m a 1,7 m a výškou 0,8 m. • Hranol má výšku 4 dm, jeho podstavou je rovnoběžník s délkou strany 30 cm a výškou k této straně 20 cm. Vypočti objem hranolu. • Přes zaplavovanou oblast povede cesta po náspu. Násep bude dlouhý 1,5 km a bude mít v příčném řezu tvar rovno-ramenného lichoběžníku s délkami základen 12 m a 8 m a výškou 2 m. Vypočítej objem materiálu potřebného ke stavbě náspu. řešení -2.příklad V = 3.2.4 V =24 dm3 řešení -3.příklad V = (12+8).2:2.1500 V = 20.1500 V =30 000 m3

35. 73/3 Vypočítej povrch (v dm2) a objem (v litrech) pravidelného čtyřbokého hranolu s tělesovou výškou v = 12 cm a s podstavou tvaru kosočtverce s délkou strany a = 10 cm a výškou k ní příslušnou va = 9,4 cm. S = 2.Sp + Spl Sp = a.va Sp= 10.9,4 Sp= 94 cm2 S = 2.94 + 480 S = 668 cm2 S = 6,68 dm2 v=12 cm va=9,4 cm Spl = op.v a=10 cm Spl = 4.a.v V = a.va.v Spl= 4.10.12 Spl =480 cm2 V = 10.9,4.12 V = 1128cm3 = 1,128 dm3 Povrch hranolu je 6,68 dm2 a objem 1,128litrů.

36. V = .v • Pojmenuj toto těleso. • Co tvoří povrch a jak ho vypočítáš? Uveď vzorec. • Jak vypočítáš objem? Uveď vzorec. • Trojboký kolmý hranol. • Obsah 2 podstav a pláště. S = 2.Sp + Spl • Obsah podstavy vynásobíme výškou tělesa. V = Sp . v

37. m = V . ρ Hmotnost tělesa • objem tělesa vynásobíme hustotou látky tělesa m .... hmotnost tělesa V ..... objem tělesa ρ ..... hustota látky tělesa

38. Slovní úlohy na procvičení • Skleněná tabule výlohy o rozměrech 120 cm, 140 cm a tloušťce skla 5 mm se rozbila. Jakou hmotnost mají střepy, když hustota skla ρ = 2 600 kg/m3? • Skleněný optický hranol je pravidelný trojboký hranol. Délka podstavné hrany je 3 cm a k ní příslušná výška 2,6 cm. Výška hranolu je 4 cm. Sklo, ze kterého je vyroben, má hustotu 3,6 g/cm3. Vypočti jeho hmotnost. • Betonový obrubník má dole šířku 20 cm, nahoře 15 cm a je vysoký 20 cm. Kolik si jich můžeme naložit na přívěsný vozík za auto, když vozík má nosnost 400 kg? (Hustota betonu je 2 100 kg/m3.) řešení PS 56/4 řešení řešení PS 57/7

39. zpět Příklad 1 Skleněná tabule výlohy o rozměrech 120 cm, 140 cm a tloušťce skla 5 mm se rozbila. Jakou hmotnost mají střepy, když hustota skla ρ = 2 600 kg/m3? V = a.b.c rozměry vyjádříme v m m = V . ρ V = 1,2.1,4.0,005 V = 0,0084 m3 m = 0,0084.2600 b=1,4 m m = 21,84 kg t=v=0,005 m a=1,2 m Střepy mají hmotnost 21,84 kg.

40. V = . v V =.4 PS 56/4 Příklad 2 Skleněný optický hranol je pravidelný trojboký hranol. Délka podstavné hrany je 3 cm a k ní příslušná výška 2,6 cm. Výška hranolu je 4 cm. Sklo, ze kterého je vy-roben, má hustotu 3,6 g/cm3. Vypočti jeho hmotnost. zpět V = Sp . v m = V . ρ 4 cm m = 15,6 . 3,6 3 cm 3 cm 2,6 cm m = 56,16 g V = 3.1,3. 4 3 cm V = 15,6 cm3 Skleněný hranol má hmotnost 56,16 g.

41. V =.0,8 V = . v PS 57/7 Příklad 3 Betonový obrubník má dole šířku 20 cm, nahoře 15 cm a je vysoký 20 cm. Jeho délka je 80 cm. Kolik jich můžeme naložit na přívěsný vozík za auto, když vozík má nosnost 400 kg? (Hustota betonu je 2 100 kg/m3.) zpět V = Sp . v m = V . ρ m = 0,028 . 2100 m = 58,8 kg 15 cm 80 cm 20 cm x = 400:58,8 V = 0,35 .0,1.0,8 20 cm x = 6,8 V = 0,028 m3 x = 6 obrubníků Na přívěsný vozík můžeme naložit 6 obrubníků.

42. v Sp v Sp Pravidelný čtyřboký hranol povrch objem S = 2.Sp + Spl V = Sp . v s podstavou čtverec Spl= op.v V = a.a.v Sp= a.a Spl= 4.a.v S = 2.a.a + 4.a.v s podstavou kosočtverec Sp= a.va Spl= 4.a.v V = a.va.v S = 2.a.va + 4.a.v

43. Sp = Sp v v V = .v Sp V = .v objem povrch Hranoly V = Sp . v S = 2.Sp + Spl s podstavou trojúhelník Spl= op.v Spl= (a+b+c).v S = a.va + (a+b+c).v s podstavou lichoběžník Sp= (a+c).va : 2 Spl= (a+b+c+d).v S = (a+c).va + (a+b+c+d).v

44. Kolmé hranoly- povrch a objem: matematika 7. ročník ZŠ Použitý software: držitel licence - ZŠ J. J. Ryby v Rožmitále p.Tř. • Windows XP Professional • MS Office • učebnice matematiky pro 7. ročník • Zoner - České kliparty 1, 2, 3 Autor: Mgr. Bohumila Zajíčková ZŠ J. J. Ryby v Rožmitále p.Tř. (www.zsrozmital.cz)