Numeryczne całkowanie układów dynamicznych metodą Rungego-Kutty

1. Numeryczne całkowanie układów dynamicznych metodą Rungego-Kutty dr Joanna Napiórkowska Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet Opolski

2. W wielu dziedzinach nauki pojawiają się problemy natury dynamicznej, zmienne w czasie: • w naukach społecznych, np. problemy dotyczące zbiorowisk ludzkich, • w naukach ekonomicznych np. mechanizmy cyklu ekonomicznego, • w naukach przyrodniczych, np. podukłady takie jak serce i jego neurologiczny system sterowania, • w naukach fizycznych, np. zagadnienie trzech ciał.

3. W modelowaniu takich układów dynamicznych często stosuje się numeryczne całkowanie równań różniczkowych zwyczajnych. Rozwój metod numerycznych: I. praca Adamsa i Bashfortha (1883 r.) praca C.Rungego (1895 r.) praca M.W.Kutty (1901 r.) • zastosowanie elektronicznych maszyn cyfrowych (od początku lat 60-tych XX w.)

4. Martin Wilhelm Kutta (1867-1944) Carl Runge (1856-1927)

5. Rozważmy zagadnienie początkowe Niech będą punktami przedziału oraz i . Niech każdemu punktowi odpowiada liczba będąca przybliżeniem wartości rozwiązania dokładnego . Obliczenia mogą być wykonywane ze stałą lub ze zmienną długością kroku całkowania .

6. Metody Rungego-Kutty określamy ogólnie wzorem (1) gdzie (2) przy czym (3) Liczba m określa ilość etapów metody.

7. Współczynniki wygodnie jest przedstawić w postaci tablicy

8. Jeżeli macierz kwadratowa ma zerowe elementy na głównej przekątnej oraz nad nią, to metoda Rungego-Kutty jest jawna. Wtedy współczynniki redukują się do postaci

9. Załóżmy, że zamiast wstawiamy do wzoru (1) wartość dokładną . Wówczas dla wartości dokładnej , dla prawdziwa jest następująca zależność gdzie jest błędem spełnienia wzoru (1) przez wartości rozwiązania dokładnego oraz . Wielkość błędu aproksymacji określa dokładność metody.

10. Metoda Rungego-Kutty jest rzędu , jeżeli dla każdego zagadnienia początkowego oraz Metoda Rungego-Kutty rzędu wymaga ustanowienia warunków wiążących współczynniki .

11. Dla metody rzędu pierwszego mamy warunek Dla metody rzędu drugiego, oprócz warunku poprzedniego, mamy . Dla metody rzędu trzeciego dodajemy warunki

12. Dla metody rzędu czwartego dodatkowo mamy Liczba warunków rośnie wraz ze wzrostem rzędu aproksymacji

13. Zależność między ilością etapów m a rzędem aproksymacji p: dla dla dla

14. Dla (metoda jednoetapowa): , gdzie . W tym przypadku jedyną możliwością jest rząd aproksymacji . Z warunku gwarantującego, że metoda jest rzędu pierwszego wynika, że . Wówczas dostajemy metoda Eulera Postać tabelaryczna: 0 0 1

15. Początek Podaj Drukuj Algorytm metody Eulera Koniec

16. Istnieje nieskończenie wiele dwuetapowych metod Rungego-Kutty rzędu drugiego (dowód: A. Krupowicz, Metody numeryczne...) Przykład 1: ulepszona metoda Eulera gdzie 0 0 0 ½ ½ 0 0 1

17. Przykład 2: metoda Eulera-Cauchy’ego gdzie 0 0 0 1 1 0 ½ ½ Podobnie istnieje nieskończenie wiele metod trójetapowych rzędu trzeciego oraz metod czteroetapowych rzędu czwartego.

18. Popularna metoda czteroetapowa rzędu czwartego najczęściej kojarzona z nazwiskami Rungego i Kutty gdzie 0 0 0 0 0 ½ ½ 0 0 0 ½ 0 ½ 0 0 1 0 0 1 0

19. Początek Algorytm Podaj Drukuj Koniec

20. Zastosowanie metody Rungego-Kutty: Rozwiązanie równania różniczkowego z warunkiem początkowym 1. Metoda Rungego-Kutty Obliczamy kolejno dla kroku

21. ... Następne przybliżenia obliczamy analogicznie.

22. 2. Metoda analityczna

23. Po uwzględnieniu warunku początkowego Stąd ... Dla uzyskania większej dokładności wyników można zastosować mniejszy krok całkowania.

24. Przykład jednoetapowej metody niejawnej rzędu drugiego ( ) Przykład dwuetapowej metody niejawnej rzędu czwartego ( )

25. W przypadku układów równań różniczkowych wzory określające metodę Rungego-Kutty mają tę samą postać, ale odpowiednie wielkości skalarne zastępuje się wielkościami wektorowymi

26. Do rozwiązania układu równań stosujemy zasadę jednej trzeciej Kutty-Simpsona gdzie współczynniki są określone analogicznie jak w metodzie Rungego- Kutty czwartego rzędu dla pojedynczego równania.

27. Zastosowanie metody Rungego-Kutty: Zagadnienie trzech ciał w mechanice nieba Rozważmy układ równań opisujących ruch satelity między Ziemią a Księżycem gdzie

28. Współrzędne opisują położenie satelity względem środka masy układu Księżyc-Ziemia. Ziemia znajduje się w punkcie , a Księżyc w punkcie . Dla dostatecznie małych i warunków początkowych zagadnienia tego typu mają rozwiązania okresowe z okresem .

29. Obliczenia numeryczne wykonano • metodą Eulera (24000 kroków, ), • metodą Rungego-Kutty rzędu czwartego (6000 kroków, ), • metodą rzędu czwartego ze zmiennym krokiem z dokładnością 10-3. Wynik obliczeń metodą Rungego-Kutty był dokładniejszy niż metodą Eulera. Najdokładniejszy wynik uzyskano w trzecim przypadku. Ta metoda była też najszybsza (74 kroki obliczeń) (rys.).

31. Podsumowanie: Metody Rungego-Kutty - mają prostą formułę je określającą, - są metodami jednokrokowymi, • są metodami samostartującymi, • dla dużej aproksymacji mają duży koszt obliczeń, - są pracochłonne, zakres ich stosowalności jest ograniczony.

32. Literatura: K.E. Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis, John Wiley & Sons. J.C. Butcher, Numerical methods for ordinary differential equations (wersja elektroniczna). E. Hairer, S.P. Nørsett, G. Wanner, Solving Ordinary Differential Equations, Springer. A. Krupowicz, Metody numeryczne zagadnień początkowych równań różniczkowych, PWN. A. Ralston, Wstęp do analizy numerycznej, PWN.