1.1. CONTROLADOR DIGITAL

1. 1.1. CONTROLADOR DIGITAL CONCEITO: sistema de dados amostrados, implementado por um hardware que executa uma lei de controle. LEI DE CONTROLE: programa (software) onde se atua nos parâmetros adequados a fim de cumprir as especificações estipuladas para a malha a ser controlada. SISTEMAS II

2. 1.2. CONTROLADOR DIGITAL DIAGRAMA DE BLOCOS DE UM SISTEMA DE CONTROLE DIGITAL: SISTEMAS II

3. 1.3. CONTROLADOR DIGITAL PROCESSO DE CONTROLE DIGITAL: 1) AMOSTRAR UM SINAL: ler a função em tempos definidos pelo período T (conversor A/D). 2) RECONSTRUIR UM SINAL: transformar o sinal amostrado em sinal contínuo (conversor D/A). SISTEMAS II

4. 2.1. LEI DE CONTROLE PID DIGITAL LEI DE CONTROLE PID: Saída = Kpr.e(t) + Ki.e(t)dt + Kd.(d e(t) / dt) FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO CONTROLADOR PID: Gc(s) = U(s)/E(s) = Kpr + (Ki/s) + Kds SISTEMAS II

5. 2.2. LEI DE CONTROLE PID DIGITAL a) INTEGRAÇÃO DIGITAL: Termo e(t)dt , na equação da lei de controle PID, representa a área sob a curva do erro pelo tempo, entre (t = 0) e (t = t). Pode ser obtida de forma aproximada dividindo-se a área em faixas retangulares e somando-se as áreas destas faixas. Ki.e(t)dt = Ki.∑(das áreas das faixas, no intervalo de 0 a K), onde K = número de faixas entre (t=0) e (t=t) SISTEMAS II

6. 2.2. LEI DE CONTROLE PID DIGITAL Como cada faixa tem largura T (período de integração), a faixa imediatamente precedente ao instante KT tem uma área que é aproximadamente o valor do erro no começo do intervalo de tempo da faixa. Isto é: e(KT – 1) x T Ki.e(t)dt = Ki.∑ e(KT – 1).T (para o intervalo de 0 a K) Uma aproximação melhor é dada tomando-se, como altura da faixa, o valor médio dos valores do erro no início e no fim da faixa. Daí: Ki.e(t)dt = Ki.∑ ½ [e(KT – 1) – e(KT)].T (para o intervalo de 0 a K) SISTEMAS II

7. 2.3. LEI DE CONTROLE PID DIGITAL b) DERIVAÇÃO DIGITAL: Termo [Kd.(d e(t) / dt)] pode ser considerado como a inclinação da curva do erro pelo tempo, em um determinado instante de tempo. Kd.(d e(t) / dt) = Kd.(inclinação da curva do erro pelo tempo) Para um sinal que é uma série de pulsos, uma aproximação razoável para a inclinação da curva do erro é dada pela inclinação da linha que une dois pulsos consecutivos → pulsos em KT e (KT – 1). Se esses pulsos tem amplitude e(KT) e e(KT – 1) e o intervalo entre os pulsos é de 1 período de amostragem T, podemos dizer que: Kd.(d e(t) / dt) = (Kd / T).[e(KT) – e(KT – 1)] SISTEMAS II

8. 2.4. LEI DE CONTROLE PID DIGITAL c) EQUAÇÃO DO CONTROLE PID DIGITAL: Saída = { Kpr.e(KT) } + { Ki.∑ ½ [e(KT – 1) – e(KT)].T } + { (Kd / T).[e(KT) – e(KT – 1)] } SISTEMAS II

9. 3. CONTROLE DIGITAL DIRETO EQUAÇÃO DO CONTROLE PID DIGITAL, APLICANDO A TRANSFORMADA Z: Saída (z) = { Kpr.E(z) } + { (Ki. T / 2).[(z + 1) / (z - 1)].E(z) } + { Kd.[(z - 1) / z].E(z) } SISTEMAS II

10. 4.1. ESTABILIDADE Sistema linear realimentado com sinais contínuos → é estável se todos os pólos da FTMF estão no SPE → ou seja, todas as raízes do denominador da T(s)[equação característica q(s)] devem ter parte real σ = negativo. Pela definição de Z: z = eTs = eT(σ+jw) = eσT.ejwT Para a estabilidade: σ = negativo → σT = negativo eσT = valor entre 0 e 1 Módulo de z = |z| = eσT → CONDIÇÃO DE ESTABILIDADE SISTEMAS II

11. 4.2. ESTABILIDADE CONDIÇÃO DE ESTABILIDADE PARA UM SISTEMA AMOSTRADO: todos os pólos da transformada Z da FTMF = T(s) devem estar dentro de um círculo de raio unitário. SISTEMAS II

12. 5.1. RESPOSTA A UM IMPULSO UNITÁRIO EM FUNÇÃO DA LOCALIZAÇÃO DAS RAÍZES: Raízes que estão dentro do círculo de raio unitário: uma entrada impulso leva a uma resposta que amortece com o tempo → figura 1 (a, b, c). Raízes que estão fora do círculo de raio unitário: a resposta aumenta com o tempo → figura 1 (d, e). SISTEMAS II

13. 5.2. RESPOSTA A UM IMPULSO UNITÁRIO EM FUNÇÃO DO TIPO DAS RAÍZES: Raízes reais dentro do círculo de raio unitário: a resposta tem um amortecimento progressico com o tempo → figura 1 (a, b). Raízes complexas dentro do círculo de raio unitário: a resposta apresenta oscilações amortecidas → figura 1 (c). Raízes reais sobre o círculo de raio unitário: a resposta à entrada impulso unitário é uma resposta constante → figura 1 (f, g). Raízes complexas sobre o círculo de raio unitário: a resposta é uma oscilação de amplitude constante → figura 1 (h). SISTEMAS II

14. 6. CRITÉRIO DE ROUTH HURWITZ SUBSTITUIÇÃO DE Z: técnica é baseada na transformação do plano z em um novo plano v, por meio de transformação bilinear. z = (1 + v)/(1 – v) → v = (z -1)/(z + 1) Coloca-se v na forma cartesiana (v = σ + jw): Quando σ < 0, |σ + 1| < |σ – 1| → resulta: |z| = √ {[(σ + 1)2 – w2] / [(σ – 1)2 – w2]} < 1 O interior do círculo de raio unitário do plano z é mapeado no SPE do plano v. SISTEMAS II

15. 7.1. PROJETO PELO LUGAR DAS RAÍZES EM Z SISTEMA REALIMENTADO NO PLANO Z Sistema genérico: FTMA = G(z).H(z) Se H(z) = 1 → FTMA = G(z) = Z { Ghoz(s).Gp(s) } No plano z, a FTMA de um sistema realimentado sem controlador pode ser escrito como uma relação de polinômios: G(z) = K [(z – z1)(z – z2)...(z – zn)] / [(z – p1)(z – p2)...(z – pm)] SISTEMAS II

16. 7.2. PROJETO PELO LUGAR DAS RAÍZES EM Z Equação característica do sistema no plano z: 1 + G(z) = 0 O módulo e a fase serão: |G(z)| = 1 Fase de G(z) = K.(+ 180°); K = 1, 2, 3, … Os pólos da malha fechada estarão dentro do círculo de raio unitário para um sistema estável → O Lugar das Raízes pode ser traçado e, no ponto de encontro do LR com o círculo, pode-se obter o valor máximo do ganho K. SISTEMAS II

17. 7.3. PROJETO PELO LUGAR DAS RAÍZES EM Z LUGAR DAS RAÍZES NO PLANO Z: é traçado de modo similar ao plano s G(z) = Z { Ghoz(s).Gp(s) } = (1 – e-Ts) Z { Gp(s) / s } = [1 – (1/z)] Z { Gp(s) / s } Relação entre entrada e saída, incluindo comparador em cascata: [C(z) / R(z)] = [K.D(z).Gp(z)] / [1 + K.D(z).Gp(z)] Onde: D(z) = compensador digital [1 + K.D(z).Gp(z)] = 0 → fornece os valores dos pólos do sistema de malha fechada SISTEMAS II

18. 8. PROJETO POR BODE NO PLANO V PROJETO PELO MÉTODO DOS DIAGRAMAS DE BODE: torna-se complicado no plano z → as funções de z são tipicamente não racionais, onde a freqüência aparece na forma z = ejwT. PLANO V: transformação bilinear do plano z → projeto discreto pode ser realizado com as mesmas técnicas do plano s, em sistemas contínuos. O plano v é similar so plano s, exceto pelo fato de que é definido para sistemas discretos. Cuidado: a transformação pode distorcer a resposta em freqüência. SISTEMAS II

19. 9.1. PROJETO NO PLANO V PASSOS PARA PROJETO NO PLANO V: Dada uma instalação contínua, transforma-se o conjunto dessa instalação Gp(s) e o Reconstrutor de Ordem de Zero Ghoz(s) para o plano Z para obter G(z), usando-se uma das técnicas conhecidas; Transforma-se G(z) em uma função da variável v = +j, aplicando-se a transformação bilinear, isto é G(v) = G(z), onde z = (1+v)/(1-v) SISTEMAS II

20. 9.2. PROJETO NO PLANO V 3) Seleciona-se T e projeta-se o compensador D(v) usando-se o Diagrama de Bode ou então o Lugar das Raízes, no plano V; Quando a resposta em freqüência é usada, convém traçar também o Lugar das Raízes, pois pode ocorrer alguma ambigüidade com a fase ( a transformação bilinear distorce a resposta em freqüência de fase, mas não de módulo), devendo ser tomadas precauções para não compensar a fase na direção errada. Nesta transformação o eixo das freqüências está distorcido. Se Z e V são dados por z = esT = ejwT v = ejvT = (z-1)/(z+1) = (ejwT – 1)/(ejwT + 1) então, para uma faixa de passagem wc prevista, o projeto deve ser realizado para vc = tan ((wc T) / 2) No traçado do diagrama de Bode no plano V, a freqüência  será usada como eixo das abscissas. O módulo do ganho |G(j)| e o ângulo de fase  de G(j) serão traçados como funções de log . De modo análogo ao modo como se expressa G(jw), pode-se expressar G(j) como uma função de pólos e zeros. SISTEMAS II

21. 9.3. PROJETO NO PLANO V 4) Uma vez obtida a expressão do compensador D(v), transforma-se D(v) para o plano Z, usando-se a transformação inversa bilinear: D(z) = D(v), onde v = (z-1)/(z+1) Pelas razões já explicadas, convém traçar o Lugar das Raízes no plano Z e verificar a posição dos pólos dominantes (se for o caso). 5) Transforma-se D(z) em um algoritmo adequado para implementação por software. SISTEMAS II

22. 10.1. IMPLEMENTAÇÃO DE ALGORITMOS Representação genérica da função de transferência de um controlador digital D(z): D(z) = U(z) / E(z) Forma de relação de polinômios: D(z) = [a0 + a1z-1 + a2z-2 + ...] / [1 + b1z-1 + b2z-1 + ...] D(z) = [j=0n aj z-j ] / [1 + j=1n bj z-j ] SISTEMAS II

23. 10.2. IMPLEMENTAÇÃO DE ALGORITMOS Implementação do software  usa-se a representação através da equação de diferenças  cada atraso z-1 pode ser representado como uma entrada ei-1 (numerador) ou uma saída ui-1 (denominador). ui = a0ei + a1ei-1 + a2ei-2 + ... - b1ui-1 - b2ui-1 - ... ui = j=0n ajei-j - j=1n bj ui-j SISTEMAS II