Optimización:

1. Introducción a la Optimización matemáticaAntonio H. Escobar ZuluagaUniversidad Tecnológica de Pereira - Colombia2014

2. Optimización: • La optimización es un proceso espontáneo que se encuentra presente en todas partes y que hace parte integral del día a día de nuestras vidas. • Es el arte de seleccionar la mejor alternativa entre un conjunto de opciones válidas. • En las ciencias aplicadas es la búsqueda de los valores de un conjunto de variables limitadas que maximizan o minimizan un objetivo.

3. Que es optimizar en las ciencias y la ingeniería?

4. Los procesos de optimización intentan responder los siguientes interrogantes: • Puede obtenerse un diseño más económico? • Puede obtenerse una operación más económica? • Se están utilizando eficientemente recursos que son escasos o limitados o no renovables? • Se están utilizando eficientemente recursos que son costosos?

5. Porque Optimizar? • Porque existen recursos en las organizaciones que no están siendo aprovechados adecuadamente. • Porque no se alcanzan los resultados deseados con los recursos disponibles. • Porque se tienen recursos ineficientes o que no se necesitan y que frenan el desarrollo. • Porque se requiere aumentar la competividad a costos eficientes de inversión, operación y mantenimiento. • Porque existe una exigencia creciente de sistemas y procedimientos más eficientes.

6. El desarrollo de la optimización en las distintas disciplinas está asociado a: • Nivel de conocimiento científico acumulado en los grupos de investigación que la estudian. • Nivel de tecnología que los miembros del grupo dominan. • Nivel y calidad de los desarrollos realizados. • Capacidad de incorporar nuevas ideas (innovación). • Variabilidad de los aspectos que se pueden resolver.

7. El desarrollo de la optimización en las distintas disciplinas está asociado a: • Desarrollo de la infraestructura tecnológica que se usa. • Adecuada valoración de resultados. • Flujo de ideas entre los miembros del grupo. • Calidad de los insumos. • Cantidad y calidad de los recursos mal aprovechados. • Estrategias utilizadas.

8. La optimización requiere de: • Técnicas de modelamiento matemático que permitan representar y simular adecuadamente el sistema que se optimiza. • Sistemas de cómputo que realicen los cálculos de manera eficiente. • Técnicas de solución de los modelos resultantes (métodos de optimización).

9. La optimización genera nuevas exigencias: • El desarrollo de nuevas técnicas de modelamiento y de optimización, y el desarrollo de nuevos sistemas de cómputo es el motor que impulsa la investigación en nuevos modelos que incluyan: • Más aspectos del problema. • Más interrelaciones con los sistemas externos que afectan su comportamiento.

10. Investigación de Operaciones: • Abarca un conjunto de métodos científicos que apoyan la toma de decisiones y que permiten determinar la mejor forma de diseñar y operar un sistema bajo condiciones que exigen el uso de recursos escasos o costosos. • Provee un conjunto de algoritmos que pueden ser implementados en sistemas de cómputo y que se constituyen en herramientas efectivas para resolver problemas con soluciones alternativas y tomar decisiones. • Se aplica en todas las disciplinas.

11. Definición de optimización:

12. Se optimiza:

13. Se minimiza:

14. Se maximiza:

15. Áreas de aplicación:

16. Mínimos y máximos globales y locales, puntos de inflexión:

17. Multimodalidad:

18. Mínimos y máximos globales y locales, puntos de inflexión: Problema multidimensional

19. Componentes de un problema de optimización: • Función Objetivo: Medida de la efectividad buscada expresada en función de las variables de decisión. Es lo que se minimiza o se maximiza. • Variables de decisión: Decisiones Cuantificables sobre las que se ejerce control. Por ejemplo: calibre del conductor. • Restricciones: Factores que limitan los valores que pueden asumir las variables de decisión. Por ejemplo: corriente máxima del conductor. • Parámetros: Datos o recursos que asumen valores constantes y que forman los coeficientes de las variables. Por ejemplo: reactancia del conductor por unidad de longitud.

20. Que es el modelado? • Los procesos y sistemas en ingeniería son generalmente complicados y deben ser simplificados mediante idealizaciones y aproximaciones para poder resolver el problema planteado. • El proceso de simplificación del problema, para que pueda ser representado en términos de un sistema de ecuaciones (para el análisis, diseño y optimización) es lo que se conoce como modelado.

21. Modelo matemático: • El modelo matemático representa el desempeño y comportamiento de un sistema dado en términos de ecuaciones matemáticas, ofreciendo resultados cuantitativos. • Los modelos matemáticos pueden estar basados en el entendimiento físico de un sistema ó pueden construirse a partir de datos (e.g., ajuste de curvas a datos experimentales). • Las ecuaciones que gobiernan el sistema pueden ser algebraicas, ecuaciones diferenciales ordinarias y/o parciales, ecuaciones integrales ó combinación de varias de ellas.

22. Mundo Real

23. Mundo Real

24. Mundo Real

25. Min St Sj Sh CTt(GTjth) sujeto a: GDzth - SueTN(z) LDuzth = 0 GDzth + GHAzth + DEFzth = DEMzth ENuth - SjeL1(u) GTEjuth - SveL2(u) LLvuth = 0 Mundo Real

26. Mundo Virtual Min St Sj Sh CTt(GTjth) sujeto a: GDzth - SueTN(z) LDuzth = 0 GDzth + GHAzth + DEFzth = DEMzth ENuth - SjeL1(u) GTEjuth - SveL2(u) LLvuth = 0

27. Mundo Virtual Inflación = 10% PIB 5.2% Min St Sj Sh CTt(GTjth) sujeto a: GDzth - SueTN(z) LDuzth = 0 GDzth + GHAzth + DEFzth = DEMzth ENuth - SjeL1(u) GTEjuth - SveL2(u) LLvuth = 0 Costo de transporte Costo de combustibles Costo de oportunidad Hidrología Devaluación 12%

28. Representación matemática de un problema de optimización:

29. Clasificación de los problemas de Optimización

30. Clasificación de los problemas:

31. Clasificación de los problemas:

32. Clasificación de los problemas:

33. Clasificación de los problemas:

34. Clasificación de los problemas:

35. Proceso de optimización: Modelo Matemático de la parte que deseo controlar Técnicas de modelamiento Problema de la Vida real El modelo puede no existir Técnicas de solución Solución Matemática Realimentación o ajustes para la implementación

36. Encadenamiento de modelos: Planes de Inversión Políticas Estratégicas Planes Operativos Diseños Información OPTIMIZACION SIMULACION IDENTIFICACION Definición de Objetivos y adición de metas Modelo de optimización Verificación de la Bondad de las Decisiones Funciones de Respuesta Parámetros Caracterización SIMULACION Evaluación del Funcionamiento del Sistema Modelo de operación

37. Características de los algoritmos de optimización:

38. Cualidades deseables en todo algoritmo de optimización:

39. Dificultades de la optimización:

40. Dificultades de la optimización: • Complejidad Descriptiva: cantidad de información que debe suministrarse para tener una descripción adecuada del sistema. • Complejidad Generativa: cantidad de instrucciones que se deben dar para construir el sistema bajo estudio. • Complejidad Computacional: cantidad de tiempo y esfuerzo implicado en la solución del problema. Generalmente asociada con el tamaño del problema (variables y restricciones). • Complejidad Organizacional: variedad de formas de ordenamiento de los componentes del sistema. • Complejidad Operativa: variedad de modos de operación de los componentes del sistema y del propio sistema.

41. Supuestos del modelamiento: • Independencia entre variables: La contribución de una variable de decisión a la función objetivo, o al uso de recursos, es independiente de los valores que se asignen a otras variables de decisión. • Certeza o determinismo: Se asume que no hay aleatoriedad en los coeficientes que definen a las variables de decisión del problema. No existe realimentación en la cadena: información → decisión → información → decisión → …

42. Enfoques respecto a las metodologías de solución: Respecto a los objetivos Multiobjetivo Mono-objetivo Respecto a la complejidad Exacta Metaheurística Sin incertidumbre Con incertidumbre Respecto a los datos