Repaso de clase anterior

1. Repaso de clase anterior • Distribución de Poisson como aproximación de la Bin(n,p) cuando n es muy grande y p es muy chico. • Propiedades función de distribución • Distribuciones AC. Gonzalo Perera

2. Ejemplos de distribuciones AC a) Distribución normal o gaussiana. Una variable X se dice normal (gaussiana) standard (típica) ( X~N(0,1)) cuando la densidad de X es la “campana de Gauss” φ(t)=exp(-t2/2) / ((2π)(1/2)) Llamaremos Φ a la distribución asociada Gonzalo Perera

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5. Se dice que X~N(μ,σ2) si (X- μ)/σ ~N(0,1) Gonzalo Perera

6. b) Distribución de Cauchy Una variable X se dice Cauchy standard (típica) ( X~C(0,1)) cuando la densidad de X es f(t)= ( π(1+ t2))(-1) Se dice que X~C(μ,σ2) si (X- μ)/σ ~C(0,1). Es interesante comparar la Cauchy con la gaussiana Gonzalo Perera

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8. t P(|X|>t) N(0,1) C(0,1) 2 0.045 0.148 3 0.003 0.102 5 6E-07 0.063 En la Cauchy son mucho más probables que en la normal los “outliers” o “valores raros” Por ejemplo: Valores “raros” pueden ser indicio de que es preferible un modelo Cauchy a uno gaussiano. Gonzalo Perera

9. c) Distribución Uniforme. Una variable X se dice Uniforme en [0,1] ( X~U([0,1]) ) cuando la densidad de X es f(t)= 1 si t [0,1]; 0 si no Se dice que X es Uniforme en [a,b] ( X~U([a,b])) si (X- a)/(b-a) ~U([0,1]). Las U([a,b]) coresponden, intuitivamente, a “sortear con equiprobabilidad un número real entre a y b”. Gonzalo Perera

10. Sumamente importante: en todos los programas • de cálculo y paquetes estadísticos, hay una función • que genera “números aleatorios”. Al ejecutar esa función lo • que se obtienen son (en una razonable aproximación) • variables U([0,1]) independientes entre sí. • Este hecho jugará un rol crucial para una herramienta • muy valiosa que veremos más adelante: la Simulación de • experimentos y el Método de Monte Carlo. • Por ejemplo, en el EXCEL 2000 esta función (volátil) es : • RAND()(en las versiones en español, ALEAT(); en algunas • versiones es RANDOM() y ALEATORIO()) Gonzalo Perera

11. La siguiente es una lista de 10 números aleatorios generada • por el EXCEL. Gonzalo Perera

12. Un modelo de “no-envejecimiento”: La distribución exponencial (o de Mirtha Legrand) Si T es el tiempo de vida de un aparato o sistema donde el “envejecimiento” no es significativo como causa de muerte o ruptura, entonces T debe cumplir que para todo t y s>0, (Si duró hasta t, que dure s instantes más, es como durar desde el principio s) P(T>t+s/T>t)=P(T>s) Gonzalo Perera

13. Esto se traduce en que P(T>t+s)=P(T>t)P(T>s) para todo t, s>0 y de aquí puede deducirse que P(T>t)= exp(-λ t) para todo t>0, donde λ >o es un parámetro a determinar Gonzalo Perera

14. O sea que T tiene distribución y densidad Una tal distribución se llama Exponencial de parámetro λ. FT(t)=0 si t≤0, FT(t)=1- exp(-λ t)si t>0 fT(t)=0 si t≤0, fT(t)= λ exp(-λ t)si t>0 Gonzalo Perera

15. Pronto veremos como estimar el parámetro desconocido λ a partir de datos empíricos y seremos capaces de manejar de manera completa un tal modelo. Gonzalo Perera