Alfred Stach Instytut Paleogeografii i Geoekologii

1. GEOSTATYSTYKAWykłady dla III roku Geografiispecjalność – geoinformacjaEstymacja na podstawie danych jednej zmiennejI Alfred Stach Instytut Paleogeografii i Geoekologii Wydział Nauk Geograficznych i Geologicznych UAM

2. Podstawy krigingu Problem: Estymacja wartości ciągłej cechy z w dowolnej lokalizacji u z wykorzystaniem jedynie istniejących n danych z na obszarze badań A : {z(ua), a=1, ...., n} Rozwiązanie: Kriging to nazwa własna grupy algorytmów opartych na uogólnionej regresji metodą najmniejszych kwadratów, przyjęta przez geostatystyków dla uhonorowania pionierskich prac południowoafrykańskiego geologa Danie Krige (1951)

3. Podstawy krigingu • Wszystkie estymatory krigingowe są wariantami podstawowej formuły regresji liniowej zgodnie z poniższym wzorem: gdzie: (u) jest wagą przypisaną do danej z(u), która jest interpretowana jako realizacja Zmiennej Losowej Z(u). Wartości m(u) i m(u) to oczekiwane wartości ZLZ(u) i Z(u).

4. Interpretacja nieznanej wartości z(u) i wartosci danych z(u) jako realizacji ZLZ(u) i Z(u) pozwala na zdefiniowanie błędu estymacji jako zmiennej losowej Z*(u) – Z(u). Wszystkie zalety krigingu wynikają z tego samego założenia minimalizacji wariancji (błędu) estymacji przy respektowaniu warunku nieobciążenia estymatora, czyli: Podstawy krigingu Ilość danych używanych do estymacji oraz ich wagi mogą się zmieniać przy kolejnych lokalizacjach. W praktyce używane jest jedynie n(u) danych leżących najbliżej lokalizacji punktu estymacji, to jest dane znajdujące się w określonym sąsiedztwie/oknie W(u) mający swoje centrum w u.

5. jest minimalizowany przy uwzględnieniu ograniczenia, że: Estymacja za pomocą krigingu może się różnić ze względu na przyjęty model Funkcji Losowej Z(u). Przyjmuje się zazwyczaj, że FLZ(u) można rozłożyć na dwa komponenty: trend m(u) i resztę R(u): Podstawy krigingu

6. Składowa resztowa jest modelowana jako stacjonarna FL o średniej równej zero i kowariancji CR(h): Oczekiwana wartość ZLZ w lokalizacji u jest zatem równa wartości składowej trendu w tej lokalizacji: Podstawy krigingu

7. 1. Prosty kriging (Simple Kriging) zakłada że średnia m(u) jest znana i stała na całym analizowanym obszarze A: 2. Zwykły kriging (Ordinary Kriging) uwzględnia lokalne fluktuacje średniej, ograniczając domenę stacjonarności średniej do lokalnego sąsiedztwa (ruchomego okna) W(u): w przeciwieństwie do SK w tym przypadku średnia jest traktowana jako nieznana. Podstawy krigingu W zależności od przyjętego modelu trendu m(u) możemy wyróżnić trzy warianty krigingu:

8. Próbka losowa, zmienna b3n_03b Próbka losowa, zmienna b1_03b Czy lokalna średnia jest w przypadku danych satelitarnych ze Spitsbergenu stała?

9. 3. Kriging z trendem (Kriging with a Trend model) zakłada że nieznana lokalna średnia m(u´) zmienia się stopniowo wewnątrz każdego lokalnego sąsiedztwa (okna) W(u), a zatem również w całym obszarze A. Składowa trendu jest modelowana jako liniowa funkcja współrzędnych fk(u): Podstawy krigingu Współczynniki ak(u´) są nieznane, lecz zakłada się, że są one stałe w obrębie każdego lokalnego sąsiedztwa W(u). Przyjęto, że f0(u´) = 1, tak więc przypadek gdzie K = 0 jest odpowiednikiem zwykłego krigingu (stała lecz nieznana średnia a0).

10. n(u) wag jest w taki sposób wyznaczane, aby zminimalizować wariancję błędów uwzględnia-jąc kryterium nieobciążenia estymatora. Prosty kriging (SK) Modelowanie składowej trendu (-owej) m(u) jako znanej stacjonarnej średniej m pozwala na zapisanie formuły estymatora jako liniowej kombinacji (n(u)+1) danych: n(u) ZL Z(u) i wartości średniej m:

11. Estymator prostego krigingu (SK) jest z góry nieobciążony ponieważ średni błąd jest równy 0. Używając pierwszej formy zapisu estymatora SK możemy stwierdzić, że: Estymacja metodą prostego krigingu wykonywana jest za pomocą układu n(u) równań liniowych znanych pod nazwą układu zwykłych równań, które można zapisać używając kowariancji zmiennej zw postaci: Prosty kriging

12. Wariancja błędu – wariancja SK: Układ równań SK można również zapisać w postaci macierzowej: Gdzie KSK jest macierzą kowariancji danych o wymiarach n(u) n(u), SK jest wektorem wag SK, a kSK jest wektorem kowariancji dane-do-nieznanej Prosty kriging Prosty kriging – notacja macierzowa

13. Prosty kriging – notacja macierzowa

14. Wagi krigingowe wymagane do estymacji SK są obliczane przez mnożenie odwrotności macierzy kowariancji danych przez wektor kowariancji dane-do-nieznanej: Odpowiedni zapis macierzowy wariancji krigingowej SK jest następujący: Prosty kriging – notacja macierzowa

15. Prosty kriging • System równań SK ma jednoznaczne rozwiązanie i wynikowa wariancja krigingowa jest dodatnia, jeżeli macierz kowariancji KSK = [C(u - u)] jest pozytywnie określona, czyli w praktyce: • żadna para danych nie ma takiej samej lokalizacji: u  u dla    • zastosowano dopuszczalny model kowariancji C(h) Podstawowe cechy estymatora SK • Jest to estymator wierny – to znaczy, że wartość estymowana w lokalizacji punktu danych jest jemu równa, • Jeśli lokalizacja estymacji znajduje się poza zasięgiem autokorelacji w stosunku najbliższego punktu danych wartość estymowana jest równa stacjonarnej średniej m

16. Prosty kriging – przykłady Estymacja cechy w punkcie 0 za pomocą danych pomiarowych z punktów 1,2 i 3. Korzystając z relacji: C(h) = C(0) - (h)

17. Prosty kriging – przykłady Prosty kriging dla modelu z zerowym efektem nuggetowym i izotropowym wariogramem sferycznym o trzech różnych zasięgach.

18. Prosty kriging – przykłady Prosty kriging dla modelu z izotropowym wariogramem sferycznym o zasięgu 10 jednostek odległości i trzech różnych względnych udziałach wariancji nuggetowej

19. Prosty kriging – przykłady Prosty kriging dla sferycznego modelu z 25% nuggetem i zasięgiem głównej osi wynoszącym 10 jednostek odległości w przypadku trzech różnych stosunków anizotropii

20. Dane jednowymiarowe: profil 7 punktów b1_03b przy Y = 240 m Izotropowy model semiwariancji obliczony dla wszystkich 256 danych Prosty przykład estymacji SK

21. Prosty przykład estymacji SK Dane jednowymiarowe: profil dla Y = 240 m

22. Prosty kriging – zmienna b1_03b

23. Prosty kriging – zmienna b1_03b

24. Prosty kriging – zmienna b1_03b

25. Weryfikacja jakości modelu -kroswalidacja

26. Weryfikacja jakości modelu -kroswalidacja

27. Weryfikacja jakości modelu – walidacja podzbioru