Chapitre 2 : La fonction de transfert

1. Chapitre 2 : La fonction de transfert

2. 2.1 Rappels sur la Transformée de Laplace

3. Définition • La transformée de Laplace F(p) = L (f(t)) est la fonction de la variable complexe p définie par : • Opérateur de Laplace : • p : littérature francophone s : littérature anglophone • Convention d ’écriture : • fonc. temporelle = minusc. fonc. de L. = majusc.

4. Principaux théorèmes - linéarité • Changement d ’échelle : • Superposition : par contre :

5. f(t-t) f(t) t Principaux théorèmes - translations • Translation (théorème du retard) : • Translation dans le domaine complexe :

6. Principaux théorèmes - équa. diff. • Dérivation : • Intégration:

7. Principaux théorèmes - extrema • Valeur initiale : • Valeur finale:

8. 2.2 Fonction de transfert

9. Système e(t) y(t) Equation différentielle de départ • Soit un système décrit par une équation différentielle :

10. Utilisation de la Transf. de Laplace • On suppose les cond. init. nulles ; l ’application de la TL conduit à : • d ’où la fonction de transfert (FT) :

11. H(p) e(t) y(t) Un paradoxe apparent • Cette égalité pourrait être considérée comme un paradoxe, en effet : • son premier membre est le rapport des transformées de Laplace des signaux d ’entrée-sortie • son deuxième membre est une fraction rationnelle ne dépendant pas des signaux

12. La fonction de transfert • La fonction de transfert caractérise le système et lui seul • Généralisation du concept d'impédance complexe z(jw) d’un circuit • L'ordre du système est le degré du dénominateur de la fonction de transfert • Attention à respecter le principe de causalité :

13. Le gain d ’une fonction de transfert • Dans H(p), on peut factoriser a0 et b0 : • K représente le gain statique • G(p) représente le régime transitoire

14. R L u(t) i(t) Exemple : circuit RL • Equation différentielle : • Transfor. de Laplace : • Fonction de transfert : • Ordre du système : • Gain :

15. 2.3 Caractéristiques statique et dynamique

16. Point de fonctionnement Système e(t) = e0 + de(t) y(t) = y0 + dy(t) Variations autour du point de fonctionnement Les conditions initiales • Très souvent : • les conditions initiales ne sont pas nulles • le système évolue autour d ’un point de fonctionnement qui correspond à ces conditions initiales

17. ystatique y0 Point de fonctionnement Caractéristique statique estatique e0 Caractéristique statique • Le point de fonctionnement est déterminé par une caractéristique statique qui n ’a aucun rapport avec la fonction de transfert

18. H(p) y Zone de validité du modèle dynamique (FT) dy(t) de(t) Point de fonctionnement Caractéristique statique e Caractéristique dynamique • le modèle utilisé pour représenter le système n ’est valable qu ’autour du point de fonctionnement ; la FT relie les variations de sortie à celles d ’entrée

19. Moteur CC n(t) = n0 + dn(t) u(t) = u0 + du(t) Tension d ’induit Vitesse de l ’arbre Exemple : moteur à courant continu • Point de fonctionnement : • u0 = 100 V ; n0 = 735 tr/mn • Fonction de transfert :

20. Convention d ’écriture • Sauf dispositions particulières, toutes les variables manipulées correspondent à des variations autour d ’un point de fonctionnement • Aussi, pour simplifier l ’écriture, les « d » seront omis :

21. 2.4 Signaux d ’entrée

22. Signaux d ’entrée • Pour définir les caractéristiques (le modèle) d ’un système, on étudie sa réponse à des signaux d ’entrée particuliers • Approche temporelle • entrée = échelon, rampe ou impulsion • Approche fréquentielle • entrée = sinusoïde à fréquence variable

23. e(t) A t e(t) At t Approche temporelle • Echelon • caractérise le gain et le régime transitoire du système • utilisé comme entrée de test d ’une régulation • Rampe • détermine l ’erreur de traînage d ’un asservissement

24. e(t) t e(t) Aire impulsion = 1 t Approche temporelle • Impulsion • mathématiquement, impulsion de Dirac : • physiquement :

25. Approche fréquentielle • Sinusoïde • on fait varier la fréquence de la sinusoïde d ’entrée de « 0 » (basse fréquence) à « l ’infini » (haute fréquence) • permet de construire le diagramme de Bode

26. 2.5 Schémas fonctionnels

27. H1(p) H2(p) H1(p) + H2(p) e(t) e(t) H1(p) y(t) y(t) e(t) y(t) H2(p) H1(p) + e(t) y(t) + H2(p) Association série et parallèle • Série : • Parallèle :

28. + H(p) s(t) e1(t) + + H(p) e1(t) s(t) e2(t) + H(p) e2(t) Factorisation

29. e2(t) H2(p) + + H1(p) H3(p) s(t) e1(t) Principe de superposition • Quand un système a plusieurs entrées (commande et perturbations) pour calculer la FT entre une entrée particulière et la sortie, on suppose que les autres entrées sont nulles • Ex :

30. + KG(p) y(t) e(t) - e Mesure Consigne Système à retour unitaire • Cas d ’une régulation où K G(p) représente l ’ensemble {correcteur+actionneur+procédé +capteur} :

31. + e KG(p) y(t) Mesure e(t) Consigne - F(p) Système à retour non unitaire • Cas précédent avec un correcteur en plus dans la boucle de retour :

32. 2.6 Détermination de la réponse d ’un système

33. Principe • Pour évaluer le comportement d ’un système, il faut pouvoir déterminer sa réponse temporelle à une entrée particulière • Méthode : • Détermination de la FT H(p) du système • Détermination de l’entrée e(t) et de sa TL E(p) • Calcul de Y(p) = H(p) E(p) • Recherche de l ’original de Y(p) : y(t) = L-1(Y(p))

34. Quelques originaux

35. R u(t) A L u(t) i(t) ? t Exemple : circuit RL • Fonction de transfert : • Entrée : • Sortie : • Original de la sortie :

36. Fin du chapitre 2