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MATEMÁTICAS A. CS II

MATEMÁTICAS A. CS II. Tema VII Derivadas. FUNCIÓN DERIVADA. Tema 7.3 * 2º BCS. FUNCIÓN DERIVADA. FUNCIÓN DERIVADA Si f es una función derivable en un intervalo (a,b) є R, la función derivada de f es la que a cada x ε (a,b) le hace corresponder la derivada de f en dicho punto.

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Presentation Transcript

  1. MATEMÁTICAS A. CS II Tema VII Derivadas Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  2. FUNCIÓN DERIVADA Tema 7.3 * 2º BCS Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  3. FUNCIÓN DERIVADA • FUNCIÓN DERIVADA • Si f es una función derivable en un intervalo (a,b) є R, la función derivada de f es la que a cada x ε (a,b) le hace corresponder la derivada de f en dicho punto. • Esta función se designa por • f ’(x) o D f(x) • f (x + h) – f (x) • f `(x) = lím -------------------- • h  0 h • La función derivada es una función y por tanto una expresión algebraica Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  4. EJEMPLO 1 • Sea la función y = - x2 + 4x • Hallar la función derivada. • f(x+h) – f(x) • f ’(x) = lím ----------------- = • h0 h • - (x+h)2 + 4.(x+h) – ( - x2+ 4x) • = lím ---------------------------------------- = • h0 h • - x2 -2hx -h2 + 4x + 4h + x2 - 4x • = lím ---------------------------------------- = • h0 h • - 2hx + 4h - h2 • = lím --------------------- = - 2.x + 4 • h0 h • f ’(x) = - 2.x + 4 m<0 m=0 m>0 0 2 4 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  5. APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN DERIVADA PARA HALLAR LA DERIVADA EN UN PUNTO • Sea la función y = - x2 + 4x • Su función derivada es: • f ’(x) = - 2.x + 4 • Comprobemos: • f ’(1) = - 2.1 + 4 = + 2 > 0 • f ’(2) = - 2.2 + 4 = 0 • f ’(3) = - 2.3 + 4 = - 2 < 0 • Efectivamente la función derivada es tal que nos proporciona el valor de la derivada (pendiente) de la función en cualquier punto de la misma. m<0 m=0 m>0 0 2 4 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  6. EJEMPLO 2 • Sea f(x) = x2 • Calculemos la función derivada. • f ‘ (x) = 2.x , que es otra función. • La función derivada es otra función. • Calculemos la derivada de la función en un punto, en x=2 • f ‘ (x) = 2.x ,, f ‘ (2) = 2.2 = 4 • La derivada de la función en un punto es un cardinal ( un número ). • La derivada de una función cuadrática es una función lineal: y la derivada de una función lineal es una función constante. f(x) = x2 y=4 f ‘ (x) = 2.x x=2 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  7. DERIVADAS DE FUNCIONES POLINÓMICAS. • Sea f(x) = k • Aplicando la definición de derivada de una función: • f (x + ▲x) - f(x) k - k 0 • f ‘ (x) = lím ---------------------- = --------- = ------- = 0 • ▲x 0 ▲x ▲x ▲x • Sea f(x) = x • Aplicando la definición de derivada de una función: • f (x + ▲x) - f(x) x + ▲x - x ▲x • f ‘ (x) = lím ---------------------- = ----------------- = ------- = 1 • ▲x 0 ▲x ▲x ▲x • Sea f(x) = k.x • Aplicando la definición de derivada de una función: • f (x + ▲x) - f(x) k.x + k▲x - kx k▲x • f ‘ (x) = lím ---------------------- = ----------------------- = --------- = k • ▲x 0 ▲x ▲x ▲x Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  8. Sea f(x) = x2 • Aplicando la definición de derivada de una función: • f (x +▲x) - f(x) (x +▲x) 2 - x 2 x 2 + 2.x.▲x +▲x 2 - x 2 • f ‘ (x) = lím --------------------- = ------------------- = -------------------------------- = • ▲x 0 ▲x ▲x ▲x • 2.x.▲x + ▲x 2 • = lím ---------------------- = 2.x + ▲x = 2.x + 0 = 2.x • ▲x 0 ▲x • Sea f(x) = x3 De igual manera se llegaría a que f ‘ (x) = 3. x2 • Generalizando: • f (x) = x n f ‘ (x) = n. x n – 1 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  9. ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE EN UN PUNTO • Sea la función y = f(x) • Gráficamente, la derivada de la función en un punto P(xo,yo) de su dominio, es la pendiente, m, de la recta tangente a la curva que pasa por dicho punto. • f ´(xo) = m • Conocida la pendiente m y un punto P(xo,yo) por donde pasa ( el punto de tangencia con la curva), aplicamos la ecuación punto-pendiente: • y – yo = m.(x – xo) • Asimismo en aquellos puntos cuya derivada sea negativa (m<0), la función será DECRECIENTE. Y si su derivada es positiva (m>0), la función será CRECIENTE. m<0 m=0 m>0 0 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  10. EJEMPLO 1 • Hallar la ecuación de la recta tangente a la función y = - x2 + 4x • En x=1,5 • x=1,5  y = – 2,25 + 6 = 3,75 • Punto de tangencia  P(1,5 , 3,75) • La función derivada es: • f ’ (x) = – 2.x + 4 • (Ya realizada anteriormente) • La derivada en x=1,5 vale: • f ’ (1,5) = – 2.1,5 + 4 = 1 • Por la ecuación punto-pendiente: • y – yo = m.(x – xo) • y – 3,75 = 1.(x – 1,5) • y = x + 2,25 • Y además podemos deducir: • f ’(1) = m = 2 > 0  Creciente m<0 m=0 m>0 0 1,5 2 3 4 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  11. EJEMPLO 2 • Hallar la ecuación de la recta tangente a la función y = - x2 + 4x • En x=3 • x=3  y = – 9 + 12 = 3  • Punto de tangencia  P(3, 3) • La función derivada es: • f ’ (x) = – 2.x + 4 • (Ya realizada anteriormente) • La derivada en x=3 vale: • f ’ (3) = – 2.3 + 4 = – 2 • Por la ecuación punto-pendiente: • y – yo = m.(x – xo) • y – 3 = – 2.(x – 3) • y = – 2.x + 9 • Y además podemos deducir: • f ’(3) = m = – 2 < 0  Decreciente m<0 m=0 m>0 0 1,5 2 3 4 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  12. EJEMPLO 3 • Sea la función: • a) Calcula la función derivada. • b) ¿En qué punto de gráfica de f la derivada vale 10?. • c) ¿En qué punto de gráfica de f la tangente es horizontal?. • d) ¿Hay algún punto de la gráfica en que la tangente sea paralela a la recta y = - 3.x + 2 ? Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  13. RESOLUCIÓN • a) Hallamos la función derivada. • f(x+h) – f(x) • f ’(x) = lím ----------------- = • h0 h • 0,33.(x+h)3 + 0,50.(x+h)2 – 6.(x+h) – 0,33.x3 – 0,50.x2 + 6.x • = lím ------------------------------------------------------------------------------- = • h0 h • 0,33.(x3 +3.x2 .h+3.x.h2 +h3) +0,50.(x2 +2.x.h+h2) – 6.x – 6.h – 0,33.x3 – 0,50.x2 + 6.x • = lím ------------------------------------------------------------------------------- = • h0 h • x2.h + x.h2 + 0,33.h3 + 0,50.h2 – 6.h • = lím ---------------------------------------------------------------- = • h0 h • = lím ( x2 + x.h + 0,33.h2 + 0,50.h – 6 ) = x2 + x – 6 • h0 Apuntes 2º Bachillerato C.S.

  14. RESOLUCIÓN • b) Punto en que f´(x) vale 14. • f ’(x) = x2 + x – 6  x2 + x – 6 =14  x2 + x – 20 = 0 • Resolviendo la ecuación: x = [ – 1±√(1+80)]/2 = 4 y – 5 • c) Tangente horizontal • La pendiente de la recta tangente debe ser cero. • m = f ’(x) = x2 + x – 6  x2 + x – 6 =0 • Resolviendo la ecuación: x = [ – 1±√(1+24)]/2 = 2 y – 3 • d) Tangente paralela a la recta y = - 3.x + 2 • Al ser paralela debe tener la misma pendiente. • m = f ’(x) = x2 + x – 6  x2 + x – 6 = – 3  x2 + x – 3 = 0 • Resolviendo la ecuación: x = [ – 1±√(1+12)]/2 = 1,30 y – 2,30 • Importante: Aquí hemos hallado las abscisas (valores de x) de los puntos de tangencia pedidos. Hay que hallar también las correspondientes ordenadas o imágenes (valores de y) Apuntes 2º Bachillerato C.S.

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