1 / 22

ALJABAR MATRIKS pertemuan 10 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom

ALJABAR MATRIKS pertemuan 10 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom. Hasil kali skalar di dalam Rn Hasil kali x T y disebut hasil kali skalar dari x dan y. secara khusus , jika x = {x1,…, xn } dan y = {y1,…, yn } , maka Contoh : Jika x = dan y = maka

newton
Download Presentation

ALJABAR MATRIKS pertemuan 10 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. ALJABAR MATRIKSpertemuan 10 Oleh :L1153Halim Agung,S.Kom

  2. Hasil kali skalardidalamRn Hasil kali xTydisebuthasil kali skalardari x dan y. secarakhusus , jika x = {x1,…,xn} dan y = {y1,…,yn} , maka Contoh : Jika x = dan y = maka Hasil kali skalardidalam R2 dan R3 Jikadiberikansebuahvektor x di R2 dan R3 , makapanjangEuclidisnyadapatdidefinisikandalambentukhasil kali skalar Jikadiberikanduavektortaknol x dan y , makakitadapatmenganggapkeduanyasebagaisegmen-segmengarisberarah yang berawaldititik yang sama. Sudutantara 2 vektoratausegmengarisberarahtersebutkemudiandidefinisikansebagaisudutϴ

  3. Teorema : Jika x dan y adalahduavektortaknoldidalamsalahsatu R2 atau R3 danϴadalahsudutdiantaranya , maka Jika x dan y adalahduavektortaknolmakakitadapatmenyebutkanarah – arahmerekadenganmembentukvektor – vektorsatuan , dan Jikaϴadalahsudutantara x dan y , maka cosinusdarisudutantaravektor – vektor x dan y adalahhasil kali skalardarivektor-vektorarah yang bersesuiandengan u dan v

  4. Akibat : (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) jika x dan y adalahvektor – vektordidalamsalahsatu R2 atau R3 , makadengankesamaanakanberlakujikadanhanyajikasalahsatudarivektor-vektortersebutadalah 0 atauvektor yang satuadalahkelipatandarivektor yang satunyalagijikadanhanyajikacosϴ = ±1 Definisi : Vektor – vektor x dan y didalam R2 (atau R3) dikatakanortogonaljikaxTy = 0 Vektor 0 adalahortogonaldengansetiapvektordi R2 Vektor – vektor (3,2) dan (-4,6) adalahortogonaldi R2 Vektor – vektor (2,3,-1) dan (1,1,1) adalahortogonaldi R3 , dll

  5. Proyeksiskalardari x pada y : Proyeksivektordari x dan y : Contoh : Titik Q adalahtitikpadagaris y = x/3 yang terdekatketitik (1,4). Tentukankoordinat Q. Jawab : Ambilvektor w = (3,1)Tadalahsebuahvektordalamarahgaris y = x/3. misalkan v = (1,4)T. jika Q adalahtitik yang diinginkan , maka QTadalahproyeksivektordari v pada w Jadi Q = (2,1;0,7) adalahtitikterdekat.

  6. Notasi : Jika P1 dan P2 adalahduatitikdalamruang 3 dimensi , kitaakanmelambangkanvektordari P1 dan P2 dengan Jika N adalahvektortaknoldan Po adalah yang tertentu , makahimpunantitik – titik P sedemikiansehinggaadalahortogonalterhadap N akanmembentuksebuahbidangΠdidalamruang 3 dimensi yang melalui Po. Vektor N danbidangΠdikatakannormalsatusama lain. Sebuahtitik P = (x1,y1,z1) akanterletakpadaΠjikadanhanyajika Jika N = (a,b,c)T dan Po = (xo,yo,zo) , persamaaninidapatditulisdalambentuk : a(x – xo) + b(y – yo) + c(z – zo) = 0

  7. Contoh 1: Tentukanpersamaandarisebuahbidang yang melewatititik (2,-1,3) dan normal kevektor N = (2,3,4)T Jawab : adalah atau 2(x - 2) + 3(y + 1) + 4(z – 3) = 0 Contoh 2 : Tentukanjarakdarititik (2,0,0) kebidang x + 2y +2z = 0 Jawab : Vektor N = (1,2,2)Tadalah normal kebidangdanbidangmelaluititikasal. Misalkan v = (2,0,0)T. jarak d dari (2,0,0) kebidangadalahhargamutlakdariproyeksiskalardari v pada N, jadi

  8. OrtogonalitasdalamRn Jika x ϵ Rn , makapanjangEuclidusdari x didefinisikandengan Ketaksamaan Cauchy-Schwarz berlakudiRn. Akibatnya Sudutantara 2 vektortaknol x dan y didalamRnadalah Vektor – vektor x dan y dikatakanortogonaljikaxTy = 0. Seringkalisimbol ┴ digunakanuntukmenandakanortogonalitas.

  9. Latihan • Carilahsudurantaravektor – vektor v dan w untuksetiapvektor – vektordibawahini. • v = (2,1,3)Tdan w = (6,3,9)T • v = (4,1)Tdan w = (3,2)T • Carilahtitik yang beradapadagaris y = 2x yang terdekatketitik (5,2) • Carilahtitik yang beradapadagaris y = 2x + 1 yang terdekatketitik (5,2) • Carilahjarakdarititik (1,1,1) kebidang 2x + 2y + z = 0 • Carilahjarakdarititik (2,1,-2) kebidang 6(x – 1) + 2(y – 3) + 3(z + 4) = 0 • Untuksetiapvektorpada no 1 tentukanproyeksiskalardanproyeksivektordari v pada w • Carilahpersamaandaribidang normal untukvektor N yang diberikandanmelewatititik Po , jika N = (2,4,3)Tdan Po = (0,0,0)

  10. Ruangbagianortogonal Misalkan A adalahmatriks m x n danmisalkan x ϵ N(A). Karena Ax = 0 , kitadapatkan ai1.x1 + ai2.x2 + … + ain.xn = 0 untuksetiapi = 1, … , m Persamaandiatasmengatakanbahwa x ortogonalterhadapvektorkolomkeidari ATuntuki = 1, … , m karena x ortogonalpadasetiapvektorkolomdari AT , maka x ortogonalkesetiapkombinasi linear darivektor – vektorkolom ATsehinggajika y sembarangadalahvektordalamruangkolom AT , makaxTy = 0. Jadisetiapvektordidalam N(A) ortogonalkesetiapvektordidalamruangkolomdari AT. JikaduaruangbagiandariRnmemilikisifatini , makakitakarakanbahwaruangbagiantersebutortogonal Definisi : Duaruangbagian X dan Y dariRndikatakanortogonaljikaxTy = 0 untuksetiap x ϵ X dansetiap y ϵ Y. jika X dan Y ortogonal , kitatulis X ┴ Y.

  11. Definisi : Misalkan Y adalahsuaturuangbagiandariRn. Himpunansemuavektor – vektordidalamRn yang ortogonalpadasetiapvektordi Y akandinotasikandengan Y┴ . Jadi , Y┴ = { x ϵRn | xTy = 0 untuksetiap y ϵ Y } Himpunan Y┴ disebutkomplemenortogonaldari Y Catatan. Ruangbagian X = rentangan(e1) dan Y = rentangan(e2) dari R3 yang diberikanpadacontohsebelumnyaadalahortogonal , tetapikeduaruangbagiantidaksalingkomplemenortogonal, Sesungguhnya . X┴ = Rentang(e2,e3) dan Y┴ = Rentang(e1,e3) Jika X dan Y adalahruangbagianortogonaldariRn , maka X ∩Y = {0}. Jika Y adalahruangbagiandariRn , maka Y┴ jugamerupakanruangbagiandariRn.

  12. Ruang – Ruangbagianpokok (FUNDAMENTAL SUBSPACES) Misalkan A adalahmatriks m x n. vektorbϵRmberadadidalamruangkolomdari A jikadanhanyajikab = A xuntuk x ϵRn . Jikakitamenganggap A adalahsebuah operator pemetaanRnkedalamRmmakaruangkolomdari A adalahsamadenganpetadari A. R(A) = petadari A = ruangkolomdari A = {bϵRm | b = A xuntukxϵRn} R(AT) = ruangkolomdari AT = ruangbarisdari A = ruangbagiandariRm = {yϵRn | y = ATxuntukxϵRn} Teorema : Jika A adalahsebuahmatriks m x n , maka N(A) = R(AT)┴ dan N(AT) = R(A)┴ Secarakhusus , hasilinijugaberlakuuntukmatriks B = AT , Jadi N(AT) = N(B) = R(BT) ┴ = R(A)┴

  13. Contoh. Misalkan A = Ruangkolomdari A terdiridarisemuavektordalambentuk Perhatikanbahwa , jikaxadalahsembarangvektordiRndanb = Ax ,maka b = Ruangnoldari ATterdiridarisemuavektordalambentukβ(-2,1)T. Karena (1,2)T dan (-2,1)T ortogonal, makasetiapvektordi R(A) akanortogonalterhadapsetiapvektordalam N(AT). Hubungan yang samaberlakuantara R(AT) dan N(A). R(AT) berisivektor – vektordalambentukαe1 dan N(A) terdiridarisemuavektor – vektordalambentukβe2. Karena e1 dan e2 ortogonal , tiapvektordalam R(AT) ortogonalterhadapsetiapvektordalam N(A)

  14. Teorema. Jika S adalahruangbagiandariRn , maka dim S + dim S┴ = n. Lebihlanjut , jika [x1, … , xr] adalah basis untuk S dan [xr+1 , … , xn] adalah basis untuk S┴ , maka [x1, … , xr, xr+1 , … , xn] adalah basis untukRn. Bukti Jika S = {0} , maka S┴ = Rndan dim S = dim S┴ = 0 + n = n Jika S ≠ {0} , makamisalkan [x1 , … , xr] adalah basis untuk S dandefinisikan X sebagaimatriks r x n dimanabariske – I adalahxiTuntuktiapi. Berdasarkandefinisiinimakamatriks X mempunyai rank r dan R(XT) = S. S┴ = R(XT)┴ = N(X) Dim S┴ = dim N(X) = n - r

  15. Definisi. Jika U dan V adalahruang – ruangbagiandariruangvektor W dansetiap w ϵ W dapatditulissecaratunggalsebagaipenjumlahan u + v , dimana u ϵ U dan v ϵ V , makakitakatakanbahwa W adalahpenjumlahanlangsung (direct sum) dari U dan W dankitatulis Teorema Jika S adalahruangbagiandariRn , maka Teorema Jika S adalahruangbagiandariRn , maka (S┴)┴ = S

  16. Contoh : Misalkan A = Jawab : Kita dapatmencari basis untuk N(A) dan R(AT) denganmentransformasikan A kedalambentukeselonbaristereduksi. Karena (1,0,1) dan (0,1,1) membentuk basis untukruangbaris A , maka (1,0,1)Tdan (0,1,1)Tmembentuk basis untuk R(AT) . Jika x ϵ N(A) , makaberdasarkanbentukeselonbaristereduksidari A bahwa x1 +x3 = 0 x2 + x3 = 0 jadi , x1 = x2 = -x3 Denganmenetapkan x3 = α , kitadapatmelihatbahwa N(A) terdiridarisemuavektorberbentukα(1,-1,1)T. Perhatikanbahwa (-1,-1,1)Tadalahortogonalterhadap (1,0,1)Tdan (0,1,1)T

  17. Contoh : Misalkan A = Jawab : Untukmencari basis untuk R(A) dan N(AT) reduksikan ATkedalambentukeselonbaristereduksi Jadi (1,0,1)Tdan (0,1,2)Tmembentuksebuah basis untuk R(A) . Jika x ϵ N(AT) , maka x1 = -x3 x2 = -2x3 Jadi N(AT) adalahruangbagiandari R3 yang direntangoleh (-1,-2,1)T Perhatikanbahwa (-1,-2,1)Tadalahortogonalterhadap (1,0,1)Tdan (0,1,2)T

  18. Latihan Tentukan basis untuk R(AT) , N(A) , R(A) dan N(AT) : 1. 2. 3. 4.

  19. Ruanghasil kali dalam Definisi : Hasil Kali dalampadaruangvektor V adalahsebuahoperasipada V yang menunjuksetiappasangvektor – vektor x dan y didalam V sebuahbilangan real (x,y) yang memenuhisyaratberikut : (x,y) ≥ 0 denganpersamaanjikadanhanyajika x = 0 (x,y) = (y,x) untuksemua x dan y didalam V (αx + βy , z) = α(x,z) + β(y,z) untuksemuax,y,zdidalam V dansemuaskalarαdanβ Sebuahruangvektor V denganhasil kali dalamnyadisebutruanghasil kali dalam Jika v adalahsebuahvektordidalamsebuahruanghasil kali dalam V , panjangataunormadari v diberikanoleh Duavektor u dan v dikatakanortogonaljika (u,v) = 0

  20. Teorema (Hukumphytagoras) jika u dan v adalahvektor – vektorortogonaldidalamsebuahruanghasil kali dalam V, maka Definisi Jika u dan v adalahvektor – vektordidalamruanghasil kali dalam V dan v ≠ 0 , makaproyeksiskalardari u pada v diberikanoleh Dan proyeksivektordari u pada v diberikanoleh Norma Definisi : sebuahruangvektor V dikatakanruang linear bernormajikauntuksetiapvektor v ϵ V dikaitkandengansebuahbilangan real yang disebutnormadari v yang memenuhi : ≥ 0 dengankesamaanberlakujikadanhanyajika v = 0 untuktiapskalarα untuksemua v , w ϵ V Syaratketigadisebutketaksamaansegitiga

  21. Teorema Jika V sebuahruanghasil kali dalam , makapersamaanuntuksemua v ϵ V mendefinisikansebuahnormapada V Secaraumum , sebuahnormaadalahcarauntukmengukurjarakantaravektor Definisi Misalkan x dan y adalahvektor – vektordidalamruang linear yang bernorma , jarakantara x dan y didefinisikansebagaibilangan Dimana

  22. Latihan • Jikadiberikan x = (1,1,1,1)Tdan y = (8,2,2,0)T • Tentukansudutϴantara x dan y • Cariproyeksivektor p dari x pada y • Periksabahwa x – p ortogonalterhadap p • Hitungdanperiksaapakahhukumphytagorasdipenuhi.

More Related