220 likes | 341 Views
ALJABAR MATRIKS pertemuan 10 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom. Hasil kali skalar di dalam Rn Hasil kali x T y disebut hasil kali skalar dari x dan y. secara khusus , jika x = {x1,…, xn } dan y = {y1,…, yn } , maka Contoh : Jika x = dan y = maka
E N D
Hasil kali skalardidalamRn Hasil kali xTydisebuthasil kali skalardari x dan y. secarakhusus , jika x = {x1,…,xn} dan y = {y1,…,yn} , maka Contoh : Jika x = dan y = maka Hasil kali skalardidalam R2 dan R3 Jikadiberikansebuahvektor x di R2 dan R3 , makapanjangEuclidisnyadapatdidefinisikandalambentukhasil kali skalar Jikadiberikanduavektortaknol x dan y , makakitadapatmenganggapkeduanyasebagaisegmen-segmengarisberarah yang berawaldititik yang sama. Sudutantara 2 vektoratausegmengarisberarahtersebutkemudiandidefinisikansebagaisudutϴ
Teorema : Jika x dan y adalahduavektortaknoldidalamsalahsatu R2 atau R3 danϴadalahsudutdiantaranya , maka Jika x dan y adalahduavektortaknolmakakitadapatmenyebutkanarah – arahmerekadenganmembentukvektor – vektorsatuan , dan Jikaϴadalahsudutantara x dan y , maka cosinusdarisudutantaravektor – vektor x dan y adalahhasil kali skalardarivektor-vektorarah yang bersesuiandengan u dan v
Akibat : (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) jika x dan y adalahvektor – vektordidalamsalahsatu R2 atau R3 , makadengankesamaanakanberlakujikadanhanyajikasalahsatudarivektor-vektortersebutadalah 0 atauvektor yang satuadalahkelipatandarivektor yang satunyalagijikadanhanyajikacosϴ = ±1 Definisi : Vektor – vektor x dan y didalam R2 (atau R3) dikatakanortogonaljikaxTy = 0 Vektor 0 adalahortogonaldengansetiapvektordi R2 Vektor – vektor (3,2) dan (-4,6) adalahortogonaldi R2 Vektor – vektor (2,3,-1) dan (1,1,1) adalahortogonaldi R3 , dll
Proyeksiskalardari x pada y : Proyeksivektordari x dan y : Contoh : Titik Q adalahtitikpadagaris y = x/3 yang terdekatketitik (1,4). Tentukankoordinat Q. Jawab : Ambilvektor w = (3,1)Tadalahsebuahvektordalamarahgaris y = x/3. misalkan v = (1,4)T. jika Q adalahtitik yang diinginkan , maka QTadalahproyeksivektordari v pada w Jadi Q = (2,1;0,7) adalahtitikterdekat.
Notasi : Jika P1 dan P2 adalahduatitikdalamruang 3 dimensi , kitaakanmelambangkanvektordari P1 dan P2 dengan Jika N adalahvektortaknoldan Po adalah yang tertentu , makahimpunantitik – titik P sedemikiansehinggaadalahortogonalterhadap N akanmembentuksebuahbidangΠdidalamruang 3 dimensi yang melalui Po. Vektor N danbidangΠdikatakannormalsatusama lain. Sebuahtitik P = (x1,y1,z1) akanterletakpadaΠjikadanhanyajika Jika N = (a,b,c)T dan Po = (xo,yo,zo) , persamaaninidapatditulisdalambentuk : a(x – xo) + b(y – yo) + c(z – zo) = 0
Contoh 1: Tentukanpersamaandarisebuahbidang yang melewatititik (2,-1,3) dan normal kevektor N = (2,3,4)T Jawab : adalah atau 2(x - 2) + 3(y + 1) + 4(z – 3) = 0 Contoh 2 : Tentukanjarakdarititik (2,0,0) kebidang x + 2y +2z = 0 Jawab : Vektor N = (1,2,2)Tadalah normal kebidangdanbidangmelaluititikasal. Misalkan v = (2,0,0)T. jarak d dari (2,0,0) kebidangadalahhargamutlakdariproyeksiskalardari v pada N, jadi
OrtogonalitasdalamRn Jika x ϵ Rn , makapanjangEuclidusdari x didefinisikandengan Ketaksamaan Cauchy-Schwarz berlakudiRn. Akibatnya Sudutantara 2 vektortaknol x dan y didalamRnadalah Vektor – vektor x dan y dikatakanortogonaljikaxTy = 0. Seringkalisimbol ┴ digunakanuntukmenandakanortogonalitas.
Latihan • Carilahsudurantaravektor – vektor v dan w untuksetiapvektor – vektordibawahini. • v = (2,1,3)Tdan w = (6,3,9)T • v = (4,1)Tdan w = (3,2)T • Carilahtitik yang beradapadagaris y = 2x yang terdekatketitik (5,2) • Carilahtitik yang beradapadagaris y = 2x + 1 yang terdekatketitik (5,2) • Carilahjarakdarititik (1,1,1) kebidang 2x + 2y + z = 0 • Carilahjarakdarititik (2,1,-2) kebidang 6(x – 1) + 2(y – 3) + 3(z + 4) = 0 • Untuksetiapvektorpada no 1 tentukanproyeksiskalardanproyeksivektordari v pada w • Carilahpersamaandaribidang normal untukvektor N yang diberikandanmelewatititik Po , jika N = (2,4,3)Tdan Po = (0,0,0)
Ruangbagianortogonal Misalkan A adalahmatriks m x n danmisalkan x ϵ N(A). Karena Ax = 0 , kitadapatkan ai1.x1 + ai2.x2 + … + ain.xn = 0 untuksetiapi = 1, … , m Persamaandiatasmengatakanbahwa x ortogonalterhadapvektorkolomkeidari ATuntuki = 1, … , m karena x ortogonalpadasetiapvektorkolomdari AT , maka x ortogonalkesetiapkombinasi linear darivektor – vektorkolom ATsehinggajika y sembarangadalahvektordalamruangkolom AT , makaxTy = 0. Jadisetiapvektordidalam N(A) ortogonalkesetiapvektordidalamruangkolomdari AT. JikaduaruangbagiandariRnmemilikisifatini , makakitakarakanbahwaruangbagiantersebutortogonal Definisi : Duaruangbagian X dan Y dariRndikatakanortogonaljikaxTy = 0 untuksetiap x ϵ X dansetiap y ϵ Y. jika X dan Y ortogonal , kitatulis X ┴ Y.
Definisi : Misalkan Y adalahsuaturuangbagiandariRn. Himpunansemuavektor – vektordidalamRn yang ortogonalpadasetiapvektordi Y akandinotasikandengan Y┴ . Jadi , Y┴ = { x ϵRn | xTy = 0 untuksetiap y ϵ Y } Himpunan Y┴ disebutkomplemenortogonaldari Y Catatan. Ruangbagian X = rentangan(e1) dan Y = rentangan(e2) dari R3 yang diberikanpadacontohsebelumnyaadalahortogonal , tetapikeduaruangbagiantidaksalingkomplemenortogonal, Sesungguhnya . X┴ = Rentang(e2,e3) dan Y┴ = Rentang(e1,e3) Jika X dan Y adalahruangbagianortogonaldariRn , maka X ∩Y = {0}. Jika Y adalahruangbagiandariRn , maka Y┴ jugamerupakanruangbagiandariRn.
Ruang – Ruangbagianpokok (FUNDAMENTAL SUBSPACES) Misalkan A adalahmatriks m x n. vektorbϵRmberadadidalamruangkolomdari A jikadanhanyajikab = A xuntuk x ϵRn . Jikakitamenganggap A adalahsebuah operator pemetaanRnkedalamRmmakaruangkolomdari A adalahsamadenganpetadari A. R(A) = petadari A = ruangkolomdari A = {bϵRm | b = A xuntukxϵRn} R(AT) = ruangkolomdari AT = ruangbarisdari A = ruangbagiandariRm = {yϵRn | y = ATxuntukxϵRn} Teorema : Jika A adalahsebuahmatriks m x n , maka N(A) = R(AT)┴ dan N(AT) = R(A)┴ Secarakhusus , hasilinijugaberlakuuntukmatriks B = AT , Jadi N(AT) = N(B) = R(BT) ┴ = R(A)┴
Contoh. Misalkan A = Ruangkolomdari A terdiridarisemuavektordalambentuk Perhatikanbahwa , jikaxadalahsembarangvektordiRndanb = Ax ,maka b = Ruangnoldari ATterdiridarisemuavektordalambentukβ(-2,1)T. Karena (1,2)T dan (-2,1)T ortogonal, makasetiapvektordi R(A) akanortogonalterhadapsetiapvektordalam N(AT). Hubungan yang samaberlakuantara R(AT) dan N(A). R(AT) berisivektor – vektordalambentukαe1 dan N(A) terdiridarisemuavektor – vektordalambentukβe2. Karena e1 dan e2 ortogonal , tiapvektordalam R(AT) ortogonalterhadapsetiapvektordalam N(A)
Teorema. Jika S adalahruangbagiandariRn , maka dim S + dim S┴ = n. Lebihlanjut , jika [x1, … , xr] adalah basis untuk S dan [xr+1 , … , xn] adalah basis untuk S┴ , maka [x1, … , xr, xr+1 , … , xn] adalah basis untukRn. Bukti Jika S = {0} , maka S┴ = Rndan dim S = dim S┴ = 0 + n = n Jika S ≠ {0} , makamisalkan [x1 , … , xr] adalah basis untuk S dandefinisikan X sebagaimatriks r x n dimanabariske – I adalahxiTuntuktiapi. Berdasarkandefinisiinimakamatriks X mempunyai rank r dan R(XT) = S. S┴ = R(XT)┴ = N(X) Dim S┴ = dim N(X) = n - r
Definisi. Jika U dan V adalahruang – ruangbagiandariruangvektor W dansetiap w ϵ W dapatditulissecaratunggalsebagaipenjumlahan u + v , dimana u ϵ U dan v ϵ V , makakitakatakanbahwa W adalahpenjumlahanlangsung (direct sum) dari U dan W dankitatulis Teorema Jika S adalahruangbagiandariRn , maka Teorema Jika S adalahruangbagiandariRn , maka (S┴)┴ = S
Contoh : Misalkan A = Jawab : Kita dapatmencari basis untuk N(A) dan R(AT) denganmentransformasikan A kedalambentukeselonbaristereduksi. Karena (1,0,1) dan (0,1,1) membentuk basis untukruangbaris A , maka (1,0,1)Tdan (0,1,1)Tmembentuk basis untuk R(AT) . Jika x ϵ N(A) , makaberdasarkanbentukeselonbaristereduksidari A bahwa x1 +x3 = 0 x2 + x3 = 0 jadi , x1 = x2 = -x3 Denganmenetapkan x3 = α , kitadapatmelihatbahwa N(A) terdiridarisemuavektorberbentukα(1,-1,1)T. Perhatikanbahwa (-1,-1,1)Tadalahortogonalterhadap (1,0,1)Tdan (0,1,1)T
Contoh : Misalkan A = Jawab : Untukmencari basis untuk R(A) dan N(AT) reduksikan ATkedalambentukeselonbaristereduksi Jadi (1,0,1)Tdan (0,1,2)Tmembentuksebuah basis untuk R(A) . Jika x ϵ N(AT) , maka x1 = -x3 x2 = -2x3 Jadi N(AT) adalahruangbagiandari R3 yang direntangoleh (-1,-2,1)T Perhatikanbahwa (-1,-2,1)Tadalahortogonalterhadap (1,0,1)Tdan (0,1,2)T
Latihan Tentukan basis untuk R(AT) , N(A) , R(A) dan N(AT) : 1. 2. 3. 4.
Ruanghasil kali dalam Definisi : Hasil Kali dalampadaruangvektor V adalahsebuahoperasipada V yang menunjuksetiappasangvektor – vektor x dan y didalam V sebuahbilangan real (x,y) yang memenuhisyaratberikut : (x,y) ≥ 0 denganpersamaanjikadanhanyajika x = 0 (x,y) = (y,x) untuksemua x dan y didalam V (αx + βy , z) = α(x,z) + β(y,z) untuksemuax,y,zdidalam V dansemuaskalarαdanβ Sebuahruangvektor V denganhasil kali dalamnyadisebutruanghasil kali dalam Jika v adalahsebuahvektordidalamsebuahruanghasil kali dalam V , panjangataunormadari v diberikanoleh Duavektor u dan v dikatakanortogonaljika (u,v) = 0
Teorema (Hukumphytagoras) jika u dan v adalahvektor – vektorortogonaldidalamsebuahruanghasil kali dalam V, maka Definisi Jika u dan v adalahvektor – vektordidalamruanghasil kali dalam V dan v ≠ 0 , makaproyeksiskalardari u pada v diberikanoleh Dan proyeksivektordari u pada v diberikanoleh Norma Definisi : sebuahruangvektor V dikatakanruang linear bernormajikauntuksetiapvektor v ϵ V dikaitkandengansebuahbilangan real yang disebutnormadari v yang memenuhi : ≥ 0 dengankesamaanberlakujikadanhanyajika v = 0 untuktiapskalarα untuksemua v , w ϵ V Syaratketigadisebutketaksamaansegitiga
Teorema Jika V sebuahruanghasil kali dalam , makapersamaanuntuksemua v ϵ V mendefinisikansebuahnormapada V Secaraumum , sebuahnormaadalahcarauntukmengukurjarakantaravektor Definisi Misalkan x dan y adalahvektor – vektordidalamruang linear yang bernorma , jarakantara x dan y didefinisikansebagaibilangan Dimana
Latihan • Jikadiberikan x = (1,1,1,1)Tdan y = (8,2,2,0)T • Tentukansudutϴantara x dan y • Cariproyeksivektor p dari x pada y • Periksabahwa x – p ortogonalterhadap p • Hitungdanperiksaapakahhukumphytagorasdipenuhi.