Fungsi Beberapa Variabel (Perubah)

1. Fungsi Beberapa Variabel (Perubah) • Contoh2 : - Volume silinder (V) sebagai fungsi dari jari-jari ( r ) dan tinggi (h): V =  r2 h. • f merupakan fungsi dari 2 variabel(perubah) x dan y: f(x,y) = x + y, x, y, f(x,y)  R • Fungsi 4 perubah: Sejumlah panas (A) dilepaskan ke udara pada waktu t=0 dalam suatu medium dg difusi k, maka suhu (T) di titik (x,y,z) pada saat t > 0 adalah

2. Definisi: Fungsi dua variabel terdefinisi pada bidang domain D adalah suatu aturan pemetaan dimana setiap titik (x,y) di dalam D berasosiasi dengan satu bilangan real(nyata) z=f(x,y)R. • Contoh1: Tentukan domain fungsi

3. Soal: Gambarkanlah pd bidang-xy domain dari Menentukan domain: • hindari akar bilangan negatif • hindari pembagian dengan 0 Range dari fungsi dua perubah membentuk suatu permukaan.

4. Fungsi2 dua variable umum diketahui dan dikenal: • Tekanan atmosfir disekitar suatu pulau adalah fungsi dari longitudinal dan ketinggian di atas permukaan air laut. • Pada senar gitar, posisi suatu titik sejauh x pada saat t dapat dimodelkan untuk selang waktu singkat sebagai f(x,t)=A sin(x) cos(t)

5. Visualisasi fungsi dua variabel sulit, dibutuhkan tehnik2 sistematis. • Fungsi dua variable dapat dimengerti melalui • Tabel • Plot daripada peta kontur • Plot daripada irisan kurva permukaan • Plot kurva permukaan

6. Peta Kontur • Misalkan f(x,y) fungsi dg dua perubah; dan c adl konstanta. Himpunan semua titik (x,y) dimana fgs bernilai c: {(x,y)| f(x,y) = c} disebut kurva tingkat dari fungsi f. Himpunan kurva2 tingkat disebut peta kontur.

7. Kontur dari f(x,y) = x + y

8. Soal: • Gambarlah kurva tingkat z = k untuk nilai2 kyang diberikan:

9. Grafik 3-D dari

10. Permukaan paraboloid z = g(x,y) = x2 + y2 dan peta konturnya

11. Review Turunan • Untuk fungsi satu variabel f(x), turunan di titik x0 didefinisikan • Secara geometri f’(x), adalah kemiringan dari garis tangen (grs. singgung) f di x0

12. Turunan Parsial • Misalkan z = f(x,y) fungsi 2 variabel yg terdefinisi disekitar titik (x,y). Turunan parsial dari f terhadap x adalah turunan z terhdp x dimana hanya variabel x saja yg diasumsikan berubah, dan y tetap konstan. Mengukur kecepatan perubahan z thdp x sementara y konstan. • Turunan parsial z = f(x,y) terhdp x ditulis didefinisikan sbb.

13. Turunan parsial z = f(x,y) terhdp y ditulis didefinisikan sbb. Contoh:

14. Misalkan z = f(x,y) merupakan suatu permukaan. Persamaan y = b merepresentasikan bidang vertikal sejajar bidang xz, dan memotong permukaan z, garis potongnya membentuk kurva z= f(x,b) disebut kurva-x. • Nilai dari turunan parsial fx(a,b) adalah gradien/kemiringan dari garis tangen di titik P(a,b,c) pada kurva-x yang melalui P pada permukaan z = f(x,y). • Hal yg sama, fy(a,b) adalah gradien/kemiringan dari garis tangen di titik P(a,b,c) pada kurva-y yang melalui P pada permukaan z = f(x,y).

15. Menentukan bidang tangen pada permukaan • Untuk fungsi dua variable, bidang tangen pada z=f(x,y) di titik (x0, y0) adalah bidang yg melalui(menyinggung) titik (x0, y0 , f (x0, y0 )), bidang tsb. menyentuh permukaan z hanya di satu titik. • Definisi: Bidang tangen di titik P(a,b) pada permukaan z = f(x,y) adalah bidang yg melalui P dan memuat garis-garis tangen di P pada kurva-x dan kurva-y. • Syarat: turunan parsial fx(x,y),fy(x,y)kontinu di daerah (cakram) sekitar (a,b). • Persamaan bidang tangen pada permukaan z = f(x,y) di titik P(a,b, f(a,b)) adalah z – f(a,b) = fx(a,b) (x-a) + fy(a,b) (y-b)

16. Soal: • Tulis persamaan bidang tangen pada paraboloida z = 5 – 2x2 – y2 di titik P(1,1,2) fx(x,y)= ? fy(x,y)= ? Solusi: z – 2=-4(x-1)-2(y-1)

17. Fungsi tiga atau lebih perubah (variabel) • Turunan parsial orde-tinggi

18. Titik ekstrim lokal • Syarat perlu untuk ekstrim lokal Mis. f(x,y) mempunyai nilai lokal maximum atau nilai lokal minimum di titik (a,b) dan kedua turunan parsial fx(a,b) dan fy(a,b) ada. Maka Titik (a,b) disebut titik kritis

19. Contoh • Cari titik tertinggi pada permukaan: z = f(x,y) = 2/3 x3 + 4y3 – x4 – y4 Jadi kemungkinan titik2 nya adalah: (0,0) atau (0,3) atau (2,0) atau (2,3). z(0,0) = 0; z(0,3) = 27 z(2,0) = 16/3;z(2,3) = 97/3maksimum

20. Cari biaya minimum membuat kotak dengan volume 48 cm3 jika untuk sisi depan dan belakang biayanya Rp100/cm2, sisi atas dan bawah Rp 200/cm2, dan dua sisi samping Rp 300/cm2. volume: V = xyz = 48 • Biaya membuat kotak: Selesaikan kedua persamaan ini y = 2, x = 6, z = 4 z y x

21. Mencari nilai maksimum dan minimum absolut dari f(x,y) di bidang R : • Tentukan titik2 kritis • Cari nilai2 ekstrim yg mungkin pada batas kurva C • Bandingkan nilai2 fungsi pada titik2 yg diperoleh dari langkah 1 dan 2

22. Cari nilai maksimum dan minimum global dari fungsi f(x,y) = xy – x – y + 3 dititik2 daerah segitiga R pada bidang-xy dg titik2 sudut (0,0), (2,0) dan (0,4) (0,4) R y (0,0) x

23. 1. Titik kritis hanya satu: (1,1) 2. Periksa di titik2 pada batas kurva: - sepanjang tepi y = 0: f(x,0) = 3 - x, 0 x  2 Fungsi turun  ttk ekstrim di x = 0 dan x = 2. - Sepanjang tepi x= 0: f(0,y) = 3 – y, 0 y  4 Fungsi turun  ttk ekstrim di (0,0) dan (0,4) • Sepanjang tepi miring y = 4 - 2x z = -2x2+5x –1, 0 x 2 z’ = -4x + 5 =0  x = 5/4. Titik2 ekstrim: (0,4), (5/4,3/2),(2,0)

24. PR: Cari titik tertinggi atau terendah dari permukaan z = f(x,y) berikut Cari nilai max. dan min. fungsi f(x,y) pada daerah bidang R yg diberikan

25. Syarat cukup bhw f(x,y) memp. titik ekstrim lokal. Mis. A = fxx(a,b) B = fxy(a,b) C = fyy(a,b)  = AC – B2(diskriminan) Teorema: f(x,y) mempunyai turunan orde-2 yg kontinu disekitar titik kritis (a,b) dimana fx(a,b) = 0 = fy(a,b). Maka: • f(a,b) adl lokal min. f jika A > 0 dan  > 0; • f(a,b) adl lokal max f jika A < 0 dan  > 0; • f(a,b) bukan keduanya jika  < 0, f(a,b) disebuttitik sadel. • Jika  = 0, maka tes gagal, tdk ada kesimpulan. Contoh: f(x,y) = 3x –x3 –3xy2 (Ttk2 kritis: (1,0), (-1,0), (0,1) (0,-1) )

26. Aturan Rantai • Misalkan x = g(t) dan y = h(t) fungsi terdeferensial, terdefinisi di t dan misalkan z = f(x,y) mempunyai turunan parsial orde-satu yg kontinu. Maka z = f(x(t), y(t)) terdefinisi di t dan terdeferensial • Contoh:

27. Mis. Z = f(u, v, x, y) dimana u dan v masing2 fungsi dari x dan y. Disini x dan y sebagai variabel antara dan variabel bebas. Aturan rantai menghasilkan: