DIFFERENSIAL DAN OPTIMASI FUNGSI 1 VARIABEL Pertemuan 06

2. DIFFERENSIAL DAN OPTIMASI FUNGSI 1 VARIABELPertemuan 06 Matakuliah : K0644 / MATEMATIKA BISNIS Tahun : 2009

3. Learning Outcomes Pada akhir pertemuan ini, diharapkan peserta mampu menggunakan konsep diferensial untuk menyelesaikan masalah ekonomi dan bisnis seperti elastisitas, biaya, dan laba. 3

4. Outline Materi • Konsep limit • Aturan-aturan diferensiasi • Derivatif kedua dan yang lebih tinggi • Optimisasi • Elastisitas, Biaya total, rata-rata dan marginal • Laba maksimum 4

5. DIFFERENSIAL • Turunan pertama suatu fungsi pada suatu titik adalah angka arah (slope) garis singgung melalui titik tersebut pada grafik fungsi tersebut. Slope garis PQ adalah m = y2- y1/ x2- x1

6. Apabila Q(x2 , y2) mendekati P(x1 , y1), • Maka lim Dy/Dx = slope garis singgung f(x) di P(x1 , y1). • Biasanya dalam pembahasan turunan suatu fungsi notasi (x , y) digunakan bagi titik tetap (x1 , y1) dan (x+Dx , y+Dy) bagi titik yang berubah (x2 , y2). • Oleh karena itu dy/dx = Lim x-->0 Dy/Dx = Limx-->of(x+Dx) - f(x)/Dx merupakan turunan pertama dari y = f(x). Limit ini untuk suatu harga tertentu dari x dapat ada dapat pula tidak ada. Apabila limitnya ada f(x) dikatakan dapat diturunkan.

7. 1. Jika y = c , c = bilangan tetap maka Contoh : y = 5 = 0 = 0 2. Jika y=xn, maka = n . X n - 1 Contoh : y = x3, = 3x2 Contoh : y = 5x2 = 5 . 2x = 10x = k. 3. Jika y = k.u k = bilangan tetap, u = f(x) maka Kaidah Diferensial (1)

8. = u’ v + v’ u 4. Y = u . v , dimana : u dan v = f(x) maka contoh : y = 2x .(4x2 +1) maka : = 2x.8x + 2(4x2+1) = 24x2+2 5. Y = u /v u dan v = f(x) maka = (u’v – v’u)/ v2 Contoh : Y = 2x/(x-1) maka : = (2 – 2x)/ (x-1)2

9. 7. Jika y=log u dimana u =f(x) = (log e / u). u’ Contoh : y = log x3, = 3x2 loge / log x3 Contoh : y = ln 5x2 Contoh : y = (6x+4)5 = 10x / 5x2 =2/x = 5. (6x+4)4.6 =30(6x+4)4 8. Jika y = ln u ; u = f(x) maka dy/dx = u’/ u 6. Fungsi Komposit. Jika y = un u = f(x) maka dy/dx = n (un-1).u’

10. 10. Jika y=Au dimana u =f(x) = Au. ln A. u’ Contoh : y = 43x, = 43x .ln 4. 3 Contoh : y = e(6x+4) = e6x+4.6 9. Fungsi eksponensial. Jika y = eu u = f(x) maka dy/dx = eu.u’

11. OPTIMASI Suatu fungsi y = f(x) dikatakan mempunyai maksimum/minimum relatif/lokal pada x = a, jika f(a) lebih besar/kecil daripada nilai f(x) yang lain, untuk x yang berada pada interval di sekitar a Y = f (x)Syarat ekstrim: f’ (x) = 0  x = aJika f” (a) < 0  f(a) adalah nilai maksimum dari f (x)Jika f” (a) > 0  f(a) adalah nilai minimum dari f(x)Jika f”(a) = 0  f(x) di titik x = a adalah titik belok Catatan: Titik belok merupakan titik batas perubahan (cekung ke cembung atau sebaliknya) dari lengkung kurva sebelum titik dengan lengkung kurva sesudah titik. Lengkung cembung bila f” < 0 dan lengkung cekung bila f” > 0.

12. Biaya Marginal • Bila suatu perusahaan memproduksi dua macam barang misalnya x dan y, maka biaya produksi yang wujud adalah tergantung berapa banyak x dan y yang diproduksi. C dinyatakan sebagai biaya total untuk memproduksi x dan y sehingga • C = f ( x, y) • maka derivatif parsial dari fungsi biaya C adalah biaya marjinal masing-masing produk. • Cx merupakan biaya marjinal produk x = M Cx = dC/dx • Cy merupakan biaya marjinal produk y = M Cy = dC/dy

13. Elastisitas • Jika harga barang y turun menyebabkan kenaikan permintaan barang x dan sebaliknya maka kedua barang berhubungan secara komplementer. Dan jika harga barang x naik menyebabkan kenaikan permintaan permintaan barang y dan sebaliknya maka hubungan x dan y adalah substitusi. • Hubungan kedua barang dalam dilihat dari tanda positip dan negatifnya. Negatif jika berkomplementer dan positip jika bersubstitusi. • Dari permintaan marjinal dapat terus digunakan untuk menghitung elastisitasnya. Elastisitas yang menghitung hubungan dua barang dinyatakan dengan elastisitas silang. • Selain elastisitas silang dapat pula dihitung berbagai elastisitas yang lain. Fungsi permintaan yang dibuat variabel bebasnya harus terdiri dari beberapa variabel yang mempengaruhi fungsi permintaan tersebut, seperti pendapatan konsumen, selera konsumen dan periklanan dan sebagainya.

14. Biaya Minimum, Penerimaan Maksimum, dan Laba Maksimum Biaya minimum, Penerimaan Maksimum dan Keuntungan maksimum sebuah perusahaan dapat dihitung dengan pendekatan matematik melalui hitung kalkulus. Biaya minimum, Penerimaan maksimum dan Keuntungan maksimum merupakan sebuah keadaan stasioner atau titik kritis. Nilai kritis didapat apabila persamaan turunan pertama dari fungsi biaya, fungsi penerimaan dan fungsi keuntungan sama dengan nol.

15. Biaya Total Fungsi Biaya yang sering dicari titik minimumnya adalah fungsi Biaya total, fungsi Biaya marginal dan fungsi Biaya rata-rata marginal Fungsi Biaya Total : TC = f(Q) Maka TC minimum bila d TC / d Q = 0 Biaya Rata-rata AC AC = TC/Q AC minimum bila dAC/dQ = 0

16. LABA Maksimisasi Keuntungan Dalam masalah optimisasi ada fungsi obyektif yang harus dibuat. Misal perusahaan ingin mendapat keuntungan maksimum yaitu maksimalisasi perbedaan antara penerimaan dengan biaya. R dan C masing-masing merupakan fungsi dari variabel yang sama yaitu Q. Laba (p) = R - C , karena R = f(Q) dan C = f(Q) maka p = f (Q). Optimum dicapai apabila turunan pertama sama dengan nol. p = R - C maka dp /dQ= dR/dQ - dC/dQ = MR - MC Optimum dp /dQ= 0 maka MR - MC = 0 jadi MR = MC