Representa o computacional de Grafos

1. Representa��o computacional de Grafos

2. Para representar um grafo precisar�amos de 3 conjuntos: ARESTAS={a1,a2,a3,a4,a5,a6...} VERTICES={v1,v2,v3,v4....} e V+A={[a1,v1,v2],[a2,v1,v3].....]} Por�m, como encontrar o menor caminho nesta representa��o?

3. Matriz de adjac�ncias De posse dos v�rtices, podemos formar uma matriz NxN elementos onde i,j contem a aresta entre os elementos do v�rtice Ni e Nj. Esta matriz armazena 1 se existe a aresta ou 0 se n�o existe. Ou seja, ela � totalmente sim�trica, caso seja um grafo n�o direcionado.

4. Caso um grafo contenha poucas arestas, a matriz tende a ser �esparsa�, ou seja, conter muitos zeros! Caso tenhamos N arestas o tamanho da matriz sempre ser� N2. Qualquer algoritmo que precise verificar algo na matriz ter� que fazer N2 compara��es. Se o grafo possuir poucas arestas, a matriz passa a n�o ser interessante, desta forma podemos utilizar Listas encadeadas!

5. Lista encadeada Usa ponteiros para mostrar o pr�ximo da lista. Para encontrar os v�rtices adjacentes, precisamos percorrer toda a lista. Precisamos de informa��es adicionais para armazenar o endere�o do pr�ximo elemento.

6. Em um grafo n�o-direcionado, cada aresta aparecer� 2 vezes. Se nj est� na lista de adjacentes a ni, ent�o ni, tamb�m est� na lista de adjac�ncias de nj. Em um grafo rotulado, as informa��es podem ser armazenadas em cada elemento da lista.

7. Crie a MATRIZ e a LISTA ENCADEADA:

8. Caminho Eureliano(Algoritmo)

9. Defini��o Um caminho Eureliano em um grafo G, � um caminho que usa cada aresta de G exatamente uma vez. A exist�ncia de um caminho Eureliano, depende dos graus de seus v�rtices. Existe um caminho Eureliano em um grafo conexo se, e somente se, n�o houver nenhum ou existirem exatamente dois v�rtices de grau �mpar. No caso de n�o haver v�rtices �mpares, o caminho pode come�ar em qualquer v�rtice e terminar� neste mesmo v�rtice; para o caso de haver dois v�rtices �mpares, o caminho deve come�ar em um v�rtice �mpar e terminar no outro.

10. Defini��o

11. Algoritmo A ess�ncia � contar o n�mero de v�rtices adjacentes a cada v�rtice e determinar se este � impar ou par. Se houver muitos v�rtices com grau impar, n�o existe um caminho Eureliano.

12. Algoritmo Total=0 T=1 While(total<=2) and (i<=n) { grau=0 for j=1 to N { grau = grau + a[i,j] } if grau=impar { total=total+1 i = i + 1} } If total>2 or total=1 ent�o �N�o existe caminho Eureliano� Else �Existe caminho Eureliano��

13. Ciclo Hamiltoniano

14. Defini��o Willian Rowan Hamilton(1865), prop�s um problema semelhante ao elaborado por Euler, mas agora estamos interessados em saber se podemos usar todos os v�rtices exatamente uma vez!

15. Id�ia b�sica Comece por algum v�rtice e tente encontrar um caminho. Se o caminho resultante tiver um v�rtice repetido, ele n�o � um ciclo. Se o caminho puder ser completado como um ciclo, verifique se ele visitou todos os v�rtices. Se ele visitou, ent�o temos um ciclo Hamiltoniano. Em resumo: N�o existe um algoritmo eficiente para resolver o problema do ciclo Hamiltoniano.

16. O caixeiro viajante Um bom exemplo do problema de Hamilton � o caixeiro viajante.

17. Caixeiro viajante Exemplificando o caso n = 4: se tivermos quatro cidades A, B, C e D, uma rota que o caixeiro deve considerar poderia ser: saia de A e da� v� para B, dessa v� para C, e da� v� para D��e ent�o volte a A. Quais s�o as outras possibilidades ? � muito f�cil ver que existem seis rotas poss�veis: ABCDA,ABDCA,ACBDA,ACDBA,ADBCA, ADCBA.

18. O caixeiro viajante Suponhamos temos um muito veloz computador, capaz de fazer 1 bilh�o de adi��es por segundo. Isso parece uma velocidade imensa, capaz de tudo. Contudo, essa imensa velocidade � um nada frente � imensid�o do n�mero 19! de rotas que precisar� examinar. Com efeito, acredite se puder, o valor de 19! 頠121 645 100 408 832 000��( ou , aproximadamente, 1.2 x 1017 em nota��o cient�fica�). Consequentemente, ele precisar� de 1.2 x 1017 / ( 53 milh�es ) = 2.3 x 109 segundos para completar sua tarefa, o que equivale a cerca de 73 anos . O problema � que a quantidade (�n - 1�)! cresce com uma velocidade alarmante, sendo que muito rapidamente o computador torna-se incapaz de executar o que lhe pedimos. Constate isso mais claramente na tabela a seguir: 

19. Id�ia b�sica

20. Caminho M�nimo(Algoritmo)

21. O problema Admita que tenhamos um grafo conexo onde todos os pesos s�o positivos, ent�o, existe um caminho entre os v�rtices X e Y? De fato pode haver v�rios desses caminhos. Mas como encontrar um caminho onde a soma dos pesos seja a menor? Trata-se de um recursos importante para resolver problemas em redes de computadores, em tr�nsito de ve�culos ou em telecomunica��es. (entre outros)

22. Suposi��es Como o grafo � conexo, sabemos que o caminho existe. Como ele n�o tem restri��es, ele pode ser resolvido (e o Hamiltoniano n�o)

23. Algoritmo de Dijkstra Constru�mos um conjunto chamado IN que conter� o v�rtice inicial (x por exemplo), e que ir� aumentando a medida que for executado. IN conter� ent�o todos os v�rtices para os quais j� determinamos os menores caminhos (a partir de x) Para aumentar IN, pegamos o v�rtice fora de IN com menor dist�ncia. Agora recalculamos

31. O Algoritmo Trata-se de um algoritmo de vis�o curta. Ele n�o � capaz de ver todo o grafo para determinar diversos caminhos m�nimos. Ele apenas determina a cada passo, os caminhos m�nimos relativos ao conjunto IN. Esse tipo de algoritmo � conhecido como Algoritmo guloso � pois sempre realiza apenas os passos que s�o melhores.

32. O Algoritmo // Criando o primeiro vetor com as dist�ncias // iniciais IN = {x} D[x]=0; For todos os Z que n�o est�o em IN { d[z] = A[x,z] s[z] = x; }

33. O Algoritmo While not (y in IN) { IN=IN U P for (todos de z que perten�am a IN) { distanciaanterior = d[z] d[z] = min(d[z],d[p] ; A[p,z]); if (dz<distanciaanterior) s[z]=p } } //{while}