Filtri FIR

1. Filtri FIR

2. Progetto filtri FIR • Vantaggi: • Stabilità intrinseca. • Facilità nell’ottenere fase lineare. • Assenza di retroazione  gli errori non vengono rimessi in “circolo” • Svantaggi: • Prestazioni contenute. • Per ottenere buone caratteristiche la lunghezza del filtro può risultare notevole  struttura complessa • Ritardo considerevole tra ingresso e uscita. • Il progetto in termini di “maschere” risulta difficile da affrontare in forma analitica (in pratica risulta difficile stimare ripple e attenuazione in forma chiusa)

3. Linearità di fase • E’ garantita da vincoli di simmetria/antisimmetria nella risposta impulsiva del filtro • Questi vincoli si traducono in opportuni accoppiamenti di zeri sul piano z

4. Linearità di fase (caso 1) Ipotesi: Parte reale Parte immaginaria soluzione banale: α=0

5. Linearità di fase (caso 1) Ipotesi: Parte reale Parte immaginaria soluzione non banale: simmetria dei coefficienti h(n) La soluzione è unica (Serie di Fourier)

6. Linearita’ di fase Affinche’ la somma si annulli per qualunque valore di x si impone che a=b e c=d ovvero le sinusoidi rispettivamente in fase e contro-fase si devono elidere a 2 a 2

7. Linearità di fase (caso 1) • La simmetria su h(n) comporta che: ovvero per ogni zero in ‘z’ ne deve esistere uno in ‘1/z’ • Inoltre se h(n) è reale per ogni zero deve esistere il suo complesso-coniugato

8. Esempio 1 h(n)= [ 1 2 3 2 3 2 1]

9. Esempio 2 h(n)= [ 1 2 3 1 1 3 2 1]

10. Linearità di fase (caso 2) Ipotesi: Parte reale Parte immaginaria soluzione: antisimmetria dei coefficienti h(n) La soluzione è unica (Serie di Fourier)

11. Linearita’ di fase Affinche’ la somma si annulli per qualunque valore di x si impone che a=-b e c=-d ovvero le sinusoidi rispettivamente in fase tra loro si devono elidere a 2 a 2

12. Linearità di fase (caso 1) • La antisimmetria su h(n) comporta che: ovvero per ogni zero in ‘z’ ne deve esistere uno in ‘1/z’ • Inoltre se h(n) è reale per ogni zero deve esistere il suo complesso-coniugato

13. Esempio 3 h(n)= [ 1 2 3 0 -3 -2 -1]

14. Esempio 4 h(n)= [ 1 2 3 -3 -2 -1]

15. Campionamento in frequenza • Si scelga un opportuno numero di campioni in frequenza e si calcola h(n) imponendo che l’H(ω) corrispondente passi per i campioni voluti • La soluzione puo’ avvenire attraverso: • L’impiego della IDFT (campioni equispaziati) • La soluzione di un sistema lineare • Equazioni dirette

16. Campionamento in Frequenza (IDFT) • Scelti N campioni equispaziati sul cerchio unitario • detti campioni godano della simmetria coniugata • il primo campione sia posto in 1 • Si applichi la IDFT a detti campioni per ottenere h(n) • La risposta in frequenza della sequenza ottenuta sara’ vincolata a passare per i campioni iniziali

17. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 1 2 3 4 5 6 Campionamento in frequenza • Si definisce la maschera ideale in frequenza • Si opera un campionamento della medesima su N punti equidistanti • Sui campioni così ottenuti si applica la IDFT • Il risultato fornisce la risposta impulsiva del filtro Questo procedimento garantisce che la risposta in frequenza del filtro così ottenuto passerà ESATTAMENTE per i punti di campionamento della maschera ideale

18. Simmetrici – N dispari Si può realizzare un filtro che soddisfi certe specifiche in ampiezza risolvendo un sistema lineare in k equazioni k incognite, dove siano ωj le pulsazioni alle quali il guadagno debba valere Hd(ωj)

19. Simmetrici – N pari Si può realizzare un filtro che soddisfi certe specifiche in ampiezza risolvendo un sistema lineare in k equazioni k incognite, dove siano ωj le pulsazioni alle quali il guadagno debba valere Hd(ωj)

20. Antisimmetrici – N dispari Si può realizzare un filtro che soddisfi certe specifiche in ampiezza risolvendo un sistema lineare in k equazioni k incognite, dove siano ωj le pulsazioni alle quali il guadagno debba valere Hd(ωj)

21. Antisimmetrici – N pari Si può realizzare un filtro che soddisfi certe specifiche in ampiezza risolvendo un sistema lineare in k equazioni k incognite, dove siano ωj le pulsazioni alle quali il guadagno debba valere Hd(ωj)

22. Scelta dei campioni in frequenza • In teoria i campioni possono essere scelti in qualunque punto del cerchio unitario pur di rispettare alcuni vincoli: • Devono essere in numero uguale ai campioni indipendenti della risposta impulsiva “h(n)” • Simmitrico dispari: (N+1)/2 • Simmetrico pari: N/2 • Antisimmetrico dispari: (N-1)/2 (il campione centrale e’ nullo) • Antisimmetrico pari: N/2 • Non devono portare ad una matrice singolare • Simmitrico dispari: Nessun vincolo • Simmetrico pari: Nessun campione in π • Antisimmetrico dispari: Nessun campione in 0 o π • Antisimmetrico pari: Nessun campione in 0 • Più comunemente essi vengono presi equispaziati sul cerchio unitario, ma sempre rispettando le regole di cui sopra

23. Scelta dei campioni in frequenza • Filtro simmetrico dispari Es: N=9 , α=0 Nessuna particolare nota

24. Scelta dei campioni in frequenza • Filtro simmetrico pari Es: N=8 , α=0 Ovviamente non si puo’ prendere il campione in π

25. Scelta dei campioni in frequenza • Filtro antisimmetrico dispari Es: N=9 , α=0 Ovviamente non si puo’ prendere il campione in 0, ma comunque il numero dei campioni indipendenti di h(n) sono (N-1)/2

26. Scelta dei campioni in frequenza • Filtro antisimmetrico pari Es: N=8 , α=0 Ovviamente non si puo’ prendere il campione in 0, ma si puo’ ovviare aggiungendo invece il campione in π

27. Scelta dei campioni in frequenza • Un’altra possibilità per evitare la presenza di campioni nello 0 (o a π) è quella di scegliere un valore per ‘α’ uguale ad ½ (ovvero si applica una rotazione di ‘π/M’ a tutti i campioni)

28. IDFT • Quando i campioni sono scelti equispaziati sul cerchio unitari si può utilizzare la IDFT per calcolare la ‘h(n)’ • si scelgono N campioni equispaziati sul cerchio unitario • si applichi la IDFT • per definizione l’ H(ω) passerà per I punti scelti • NOTA: questo a priori non garantisce la linearità di fase • ci sono vari g.d.l. sfruttabili • Fase dei campioni • Segno dei campioni

29. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 Imaginary Part 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -1 -0.5 0 0.5 1 Real Part Equazioni dirette • Sfruttando alcuni vincoli si possono calcolare i campioni della risposta in frequenza direttamente dai campioni in frequenza (senza IDFT e senza l’inversa di una matrice) • Vincoli: • Fase lineare → simmetrie su h(n) • h(n) reale → simmetria coniugata su H(ω) • equispaziatura dei campini sul cerchio unitario Definiamo: I campioni in frequenza equispaziati sul cerchio unitario (α assume il valore 0 oppure ½)

30. Calcolo di h(n) (caso generale) per definizione moltiplicando per exp(..) sommando su k ma:

31. Considerazioni • Quanto trovato ricorda la IDFT (ma con α) • Vale per qualunque h(n) anche privo di simmetrie • Vale per campioni H(k+α) equispaziati • Su questi campioni per il momento non si sono fatte altre ipotesi

32. Caso 1 (h(n) simmetrica , α=0) • sia h(n) reale, simmetrica ed α=0 • H(k) possono essere calcolati sfruttando la simmetria: Ovvero H(k) deve presentare una certa fase per soddisfare le ipotesi di partenza H(k) avrà un certo modulo, un certo segno ed una certa fase

33. Relazione tra G(k) e G(N-k) essendo h(n) reale vale la seguente relazione: ovvero: quindi: I campioni simmetrici devono presentare segno opposto NOTA: inoltre G(N/2)=0 !!!

34. Calcolo di h(n) (Caso 1) • Sfruttando la relazione vista per il calcolo di h(n) e combinando a 2 a 2 i G(k) simmetrici, gli esponenziali si combinano rispettivamente:

35. Calcolo di h(n) (Caso 1) • Concludendo Senza ricorrere all’inversa della matrice o alla IDFT

36. Caso 2 (h(n) simmetrica , α=1/2) • sia h(n) reale, simmetrica ed α=1/2 • H(k) possono essere calcolati sfruttando la simmetria: Ovvero H(k+1/2) deve presentare una certa fase per soddisfare le ipotesi di partenza H(k) avrà un certo modulo, un certo segno ed una certa fase

37. Relazione tra G(k+1/2) e G(N-k-1/2) essendo h(n) reale vale la seguente relazione: ovvero: quindi: I campioni simmetrici devono presentare segno concorde

38. Calcolo di h(n) (Caso 2) • Sfruttando la relazione vista per il calcolo di h(n) e combinando a 2 a 2 i G(k) simmetrici, gli esponenziali si combinano rispettivamente:

39. Calcolo di h(n) (Caso 2) • Concludendo Senza ricorrere all’inversa della matrice o alla IDFT

40. Caso 3 (h(n) antisimmetrica , α=0) • sia h(n) reale, antisimmetrica ed α=0 • H(k) possono essere calcolati sfruttando la antisimmetria: Ovvero H(k) deve presentare una certa fase per soddisfare le ipotesi di partenza H(k) avrà un certo modulo, un certo segno ed una certa fase

41. Relazione tra G(k) e G(N-k) essendo h(n) reale vale la seguente relazione: ovvero: quindi: I campioni simmetrici devono presentare segno uguale NOTA: inoltre G(0)=0 nei filtri antisimmetrici

42. Calcolo di h(n) (Caso 3) • Sfruttando la relazione vista per il calcolo di h(n) e combinando a 2 a 2 i G(k) simmetrici, gli esponenziali si combinano rispettivamente:

43. Calcolo di h(n) (Caso 3) • Concludendo IN quanto il campione in G(N/2) contribuisce una sola volta nella sommatoria inoltre il campione G(0)=0

44. Caso 4 (h(n) antisimmetrica , α=1/2) • sia h(n) reale, antisimmetrica ed α=1/2 • H(k) possono essere calcolati sfruttando la antisimmetria: Ovvero H(k) deve presentare una certa fase per soddisfare le ipotesi di partenza H(k) avrà un certo modulo, un certo segno ed una certa fase

45. Relazione tra G(k) e G(N-k) essendo h(n) reale vale la seguente relazione: ovvero: quindi: I campioni simmetrici devono presentare segno opposto NOTA: inoltre G(N/2)=-G(N/2)=0 nei filtri dispari

46. Calcolo di h(n) (Caso 4) • Sfruttando la relazione vista per il calcolo di h(n) e combinando a 2 a 2 i G(k) simmetrici, gli esponenziali si combinano rispettivamente:

47. Calcolo di h(n) (Caso 4) • Concludendo

48. Funzioni finestra • Partendo dalle specifiche richieste si progetta analiticamente un filtro ideale • detto filtro ideale richiederebbe infiniti campioni. • Si riduce il numero di campioni operando una “finestratura” dei coefficienti del filtro. • Il prodotto termine a termine di due segnali digitali comporta nel dominio delle frequenze una convoluzione tra gli spettri. • La risposta in frequenza del filtro così realizzato sarà quindi la convoluzione delle specifiche ideali con lo spettro della finestra utilizzata • L’impiego di diversi tipi di finestre comporta prestazioni diverse che possono migliorare questo o quel particolare del filtro quali: • ripidità del taglio, ampiezza delle oscillazioni.

49. ... ... Funzioni finestra (analisi) Genericamente: In un filtro passa-basso(ideale):

50. Funzioni finestra (Esempio)