Filtri digitali IIR

1. Filtri digitali IIR

2. IIR - Linearità di fase • Esiste un legame “fase linere”  “risposta impulsiva” di simmetria o antisimmetria di h(n).Ma h(n) è infinita  Un IIR a fase linare non è realizzabile • Se h(n) è simmetrica vale la seguente proprietà: H(z-1) = zN-1 H(z) ovvero tanto gli zeri quanto i poli di H(z) devono essere speculari rispetto il cerchio unitario ( INSTABILITÀ) Im ejw Z-plane Re

3. T.R. T.R. H(z) H(z) IIR - Linearità di fase (approx.) • Si approssima la fase lineare solo in banda passanteImpiego di un equalizzatore di fase (filtro ALL-PASS) • Si rinuncia alla “realizzabilità” (non applicabile nel caso di filtraggi in tempo reale)Impiego della tecnica del TIME-REVERSAL Fase Mod. x(n) x(-n) f(n) f(-n) y(-n) H(z)H(z-1)X(z) X(z) X(z-1) H(z)X(z-1) H(z-1)X(z)

4. Filtri IIR - Progetto • Ottimizzazione procedimenti iterativi per definire i coefficienti che minimizzano un certo errore • Scelta diretta di poli e zeri in Z. • Trasformazione da prototipi analogici • Butterworth • Chebyshev (1o e 2o tipo) • Elittici Si deve definire una “mappatura da s  z che mantenga le proprietà del filtro nonché la stabilità.

5. Filtri IIR - Progetto • Si parte da un progetto analogico • E lo si riporta in digitale • Cercando di rispettare due regole: • L’asse jW del piano S venga mappato sul cerchio unitario eiw in Z (uguale risposta in frequenza) • Il semipiano sinistro di S venga mappato internamente al cerchio unitario in Z (stabilità)

6. Trasf. Differenziali  Differenze finite Backward difference Forward difference Generalized differences

7. Trasf. Differenziali  Differenze finite Eq. differenziali Trasf. Di Laplace Trasformazione adottata Differenze finite

8. Backward difference (1)

9. Backward difference (2) S-plane Z-plane

10. Backward difference (2) • Considerazioni: • Mantiene la stabilita’ • La risposta in frequenza risulta alterata • tanto piu’ quanto maggiore e T • tanto piu’ verso le alte frequenze • la risposta in frequenza risulta approssimata solo alle basse frequenze

11. Forward difference (1)

12. Backward difference (2) S-plane Z-plane

13. Forward difference (2) • Considerazioni: • NON Mantiene la stabilita’ • La risposta in frequenza risulta alterata • tanto piu’ quanto maggiore e T • tanto piu’ verso le alte frequenze • la risposta in frequenza risulta approssimata solo alle basse frequenze

14. Generalized difference (1)

15. Generalized difference (2) S-plane Z-plane

16. Generalized difference (3) S-plane Z-plane

17. Generalized difference (4) • Considerazioni (personali) • è una trasformata “strana” • solo una parte dell’asse jΩ viene mappato sul cerchio unitario • la legge di mappatura puo’ portare a piu’ soluzioni • la legge di mappatura inversa potrebbe non essere monotona (si deve operare una scelta particolare di αi • ad ogni polo in s corrispondono piu’ poli in z di cui a coppie uno dentro ed uno fuori dal cerchio unitario • se z’ è una soluzione lo è anche -1/z’ • applicata direttamente NON mantiene la stabilità • si puo’ pensare di “stabilizzare” il filtro riportando I poli a con modulo maggiore di 1 in 1/z

18. s z jW ejw Trasformata bilineare (1) -2/T

19. Trasformata bilineare (2) S-plane Z-plane

20. W Trasformata bilineare (3) w p/2 p

21. Trasformata bilineare (4) • Considerazioni • E semplicemente una trasformata che gode di opportune proprieta’ • mappa l’asse jΩ sul cerchio unitario • mantiene la stabilita’ • La forma della risposta in frequenza risulta “distorta” • si deve applicare un pre-warping alle caratteristiche del filtro • Il T impiegato nella trasformata bilineare non deve per forza coincidere con il periodo di campionamento del segnale digitale

22. Risposta impulsiva invariante (1) Solo per i poli

23. Risposta impulsiva invariante (2) Applicato solamente ai poli di H(s) Per evitare l’aliasing H(jW) =0 per |W| > p/T s z jW ejw p/T - p/T