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Chapitre VII. Tri

Chapitre VII. Tri . Tri par tas Tri rapide . Tris faisant appel aux arbres. Dichotomique (quick sort) Tri par fusion Tris par tas …. Tri par tas . Fait appel à la structure de l’arbre binaire parfait partiellement ordonné La complexité est

nicole
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Chapitre VII. Tri

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Presentation Transcript

  1. Chapitre VII. Tri Tri par tas Tri rapide

  2. Tris faisant appel aux arbres • Dichotomique (quick sort) • Tri par fusion • Tris par tas • ….

  3. Tri par tas • Fait appel à la structure de l’arbre binaire parfait partiellement ordonné • La complexité est • Le principe : prendre le tri par sélection et accélérer la recherche de min par l’organisation adéquate de données • (heapsort)

  4. Rappel du tri par sélection Tri par sélection • Principe : on recherche le minimum dans la partie restante du tableau et on l’échange avec l’élément qui suit la partie déjà triée. • Après k placements les k plus petits éléments du tableau sont déjà à leur place définitive G

  5. Arbre binaire parfait • Arbre binaire parfait : tous les niveaux sont complètement remplis, sauf éventuellement le dernier niveau. Dans ce dernier cas les nœuds (feuilles) du dernier niveau sont groupés le plus à gauche possible. Arbre binaire parfait est un arbre équilibré parfait « imparfait »

  6. Numérotation hiérarchique(1) • Numéroter en ordre croissant à partir de 1 tous les nœuds • num(r)=1 • num(n)=i => num(FG(n))=2i et num(FD(n))=2i+1 1 2 3 5 4 6 7 10 9 8

  7. Numérotation hiérarchique(2) • 2 < i < n => le père du noeud d’indice i est à l’indice (i div 2) • 1 < i < (n div 2) => le fils gauche du nœud d’indice i est en 2i le fils droit du nœud d’indice i est en 2i+1

  8. Représentation sous forme d’un tableau • Codage d’un arbre binaire parfait avec N nœuds par un tableau de N cases • Un arbre binaire parfait comportant p nœuds et de hauteur 1 a 2 b 3 c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 d 5 e 6 f 7 g a b c d e f g h i j 10 j 9 i 8 h

  9. Arbres binaires parfaits partiellement ordonnés • ABPPO : est un arbre étiqueté par des éléments d’un ensemble muni d’un ordre total ( ex  < sur un ensemble des entiers). • contenu(n)<contenu(fils(n)) pour tout noeud n et pour tout fils(n) (1;3) (2;5) (3,9) Ex. Arbre binaire parfait partiellement ordonné. Notation : (index, contenu) (4;6) (5;7) (7; 10) (6;11) (9;18) (10;13) (8; 12)

  10. Tas • Tas : un tableau représentant un arbre parfait partiellement ordonné. - t[1] est la racine - t[i div 2] est le père de t[i] pour tout i>1 - t[2*i] = FG(t[i]) (si il existe) - t[2*i +1] = FD(t[i]) (si il existe) - Si p est le nombre de nœuds de l’arbre et si 2*i=p, alors t[i] n’a qu’un seul fils t[p]. - Si i est supérieur à p div 2, t[i] est une feuille Si M est la taille du tableau qui contient un tas de p éléments, alors p<M

  11. (1;3) (1;3) (2;5) (2;5) (3,9) (3,9) (4;6) (4;6) (5;4) (5;7) (7; 10) (7; 10) (6;11) (6;11) (11;7) (11;4) (9;18) (9;18) (10;13) (10;13) (8; 12) (8; 12) Ajout (1) (1) Adjonction d’un élément : - ajouter le nouvel élément à la nouvelle feuille créée à cet effet - réorganiser le tas pour maintenir la cohérence 1

  12. (1;3) (1;3) (2;5) (2;4) (3,9) (3,9) (4;6) (4;6) (5;4) (5;5) (7; 10) (7; 10) (6;11) (6;11) (11;7) (11;7) (9;18) (9;18) (10;13) (10;13) (8; 12) (8; 12) Ajout (2) (2)

  13. Ajout (3) Procédure Ajouter(réf t: tableau[1..M] d’entiers; réf p:entier, x:entier); {on suppose que p<M lors de l’appel – pas de vérification du débordement} Var i : entier; Début {une nouvelle feuille est crée et x est placé dedans} p:=p+1; t[p]:=x; i:=p; {conformité à la définition : on effectue les échanges tant que x est inférieur à son père} Tq (i>1) et (t[i]<t[i div 2]) faire échanger(t[i]), t[i div 2]); i:=i div 2 FTq Fin Ajouter

  14. Suppression (1) (2) Suppression de l’élément minimal : - retirer le min et le renvoyer ; - réorganiser le tas : placer la dernière feuille dans la racine et réordonner l’arbre : pour chaque nœud chercher le plut petit de ces deux fils et permuter.

  15. (1;3) (2;4) (3,9) (4;6) (5;5) (7; 10) (6;11) (11;7) (9;18) (10;13) (8; 12) Suppression (2) (3) (2;4) (3,9) (4;6) (5;5) (7; 10) (6;11) (11;7) (9;18) (10;13) (8; 12)

  16. Suppression (3) (1;7) (1;4) (2;4) (3,9) (2;7) (3,9) (4;6) (5;5) (7; 10) (4;6) (5;5) (6;11) (7; 10) (6;11) (9;18) (10;13) (8; 12) (9;18) (10;13) (8; 12)

  17. Suppression (4) (1;4) (2;5) (3,9) (4;6) (5;7) (7; 10) (6;11) (9;18) (10;13) (8; 12)

  18. Suppression (5) Procédure SuppressionMin(réf t: tableau [1…M] d’entiers, réf p,min : entiers) {on suppose que le tas n’est pas vide au moment de l’appel : p>0} Var i,j: entiers; Début { on retient le minimum} min:=t[1]; {réorganisation du tas} t[1]:=t[p]; p:=p-1; i:=1; {placer la dernière feuille à la racine} Tq i< (p div 2) faire {t[i] – n’est pas une feuille} { calcul de l’indice du plus petit des deux fils de t[i] ou de son seul fils 2*i=p} Si (2*i=p) ou (t[2*i]<t[2*i+1]) alors j:=2*i sinon j:=2*i +1 FSi Si t[i] > t[j] {échange si la condition d’ordre n’est âs satisfaite} alors échanger(t[i], t[j]) i:=j; sinon sortir FSi FTq FinSuppressionMin;

  19. Utilisation d’un tas pour le tri d’un tableau (1) • La base : le tri par sélection. Rechercher le minimum dans la partie du tableau non-triée et le placer à sa place définitive. • Transformer le tableau en tas (avec la procédure « ajouter ») • Utiliser le tas pour extraire le min et le placer à l afin du tableau • (tri par ordre décroissant) M 1 min Tas de M éléments M-1 1 min Etc… Tas de M -1 éléments

  20. Utilisation d’un tas pour le tri d’un tableau (2) Procédure Tri-par-Tas(réf t: tableau[1…M] d’entiers) Var p, min: entiers Début p:=0 Tq p<M faire {construction du tas} ajouter(t,p,t[p+1]); {p augmente de 1 à chaque appel de « ajouter »} FTq Tq p>1 faire SuppressionMin(t,p,min) {p diminue de 1 à chaque appel SuppressionMin} t[p+1]:=min FTq Fin Tri-par-Tas

  21. Complexité du tri pas tas • Construction du tas : M appels de la procédure ajouter. Sa complexité dans le pire de cas est de • La sélection de l’élément le plus petit se fait par M-1 appels de la procédure SuppressionMin. Sa complexité dans le pire des cas est de • La complexité du tri par tas est donc en • Avec « comparaison » comme opération fondamentale.

  22. Tri rapide(Quick Sort) • Tri dichotomique : on partage une liste à trier ( tableau) en deux sous-listes L1,L2: • Les éléments de L1 sont tous inférieurs à tous les éléments de L2 • On recommence jusqu’à avoir les sous-listes réduits à un élément

  23. Principe de tri rapide Élément Pivot Choisir un élément pivot et placer les éléments inférieurs à gauche, supérieurs – à - droite Pivot se trouve à sa place définitive Recommencer avec les deux sous-listes tq atteindre 1 élément Choix du Pivot – 1er élément du tableau

  24. Exemple • 101 212 21 123 47 79 195 • 47 79 21 101 123 212 195 • 21 47 79 101123 212 195 • 21 47 79 101123212 195 • 21 47 79 101123 195 212

  25. Tri rapide – pivot • Supposons que nous avons une procédure placer (réf t,val i,j,réf k): • t est défini entre i, j, • k – emplacement définitif du pivot (paramètre de sortie) • placer : place élément t[i] à la k-ème place et renvoie k.

  26. Algorithme général • Procédure tri-rapide(réf t: tableau[1..n+1] des entiers; val i,j : entiers) • {t[n+1] contint une sentinelle} • Var k : entier; • Début • Si i<j alors {plus qu’un élément dans le sous-tableau} • Placer(t,i,j,k) {partitionner t selon le principe du pivot et placer t[i] en k} • Tri-rapide(t,i,k-1) • Tri-rapide(t,k+1,j) • Fsi Fin Tri-rapide L’appel tri-rapide(t,1,n) provoque le tri du tableau complet

  27. Procédure de partition et de placement(1) G D Avancer G Tq t[G] < Pivot Reculer D Tq t[D] > Pivot Permuter G D

  28. Procédure de partition et de placement(2) • Ajout d’une sentinelle t[n+1] > t[i] pour tout i=1, ….,n • Quand on appelle « placer » sur une partie de tableau qui n’est pas la fin du tableau, cette sentinelle existe : l’élément qui se trouve à l’indice j+1 est le pivot de l’appel précédent. Il est donc supérieur à tous les éléments entre i et j.

  29. Procédure de partition et de placement(3) • Procédure placer (réf t: tableau[1..n+1] des entiers; i,j, : entiers, réf k: entier) • Var G : entier; • Début • G:=i+1;k:=j • TQ G<k faire {Le pivot est t[i] • TQ t[k] >t[i] k:=k-1; • TQ t[G] < t[i] G:=G+1; • Si G<K alors • échanger(t [G], t[k]) • G:=G+1 • k:=k-1 FTQ Échanger(t[i], t[k]) Fin placer

  30. Analyse • Graphe d’appels est un arbre binaire • Complexité au pire • Opération fondamentale : comparaison. • A chaque niveau de l’arbre au pire n comparaisons • La hauteur de l’arbre est • C est donc (?)

  31. Version itérative • Procédure tri-rapide-iter(réf t : tableau[1..n+1]des entiers) • Var Q:PILE; i,j,k : entiers • i:=1;j:=n;pile-vide(Q); • TQ vrai faire • TQ i<j faire • placer(t,i,j,k) emplilerQ5i,j,k);j:=k-1 • FTQ • Si non estèvide(Q) alors • (i,j,k):=sommet(Q); dépiler(Q);i:=k+1 • sinon • sortir • FSI FTQ Fintri-rapide_iter

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