حل معادلات انتگرال به روش تبديل ديفرانسيل

2. حل معادلات انتگرال به روش تبديل ديفرانسيل ارائه دهنده: حلیمه کهساری استاد مربوطه: دکتر حسین جعفری آذر 92

3. كاربرد روش تبديل ديفرانسيل • براي معادلات انتگرال

4. كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات انتگرال مقـدمـه روش تبديل ديفرانسيل (DTM)روشي عددي براي حل معادلات با مشتقات جزيي است. اين روش اولين بار توسط ژو در سال 1986 براي كاربردهاي مهندسي معرفي گرديد و از آن براي حل مسائل مقدار اوليه خطي و غير خطي در مدارهاي الكتريكي استفاده كرد. 3

5. 2 • 1 ((روش تبديل ديفرانسيل)) • تبديلديفرانسيل دو بعدي • تبديلديفرانسيل یک بعدي 4

6. كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات انتگرال 1 - روش تبديل ديفرانسيل يك بعدي: • در اين بخش روش تبديل ديفرانسيل يك بعدي را معرفي كرده و • آن ‍‍‍‍‍‍‍ را براي حل معادلات انتگرال به كار مي بريم . • فرض كنيد در دامنهkتحليلي باشد و در اين دامنه • قرار داشته باشد در اين صورت تعاريف زير را داريم: 5

7. كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات انتگرال تعريف1-1: تبديل ديفرانسيل تابع w(x) برابر است با: (1) کهw(x) تابع اصلی و W(k)تبدیل دیفرانسیل تابع w(x) است. 6

8. كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات انتگرال تعريف1-2: تبديل ديفرانسيل معكوس دنباله ي برابر است با: (2) كه وقتي ،رابطه فوق بصورت زير تبديل مي شود: (3) در كاربردهاي حقيقي، w(x)به صورت سري متناهي در نظر گرفته مي شود. (4) 7

9. كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات انتگرال تبدیل دیفرانسیل H(k)وG(k)،F(k) در تمام قضاياي زير فرض می کنیم که هستند. h(x) و g(x)، f(x)توابع F(k)=G(k) ± H(k)آنگاهf(x)=g(x) ± h(x)قضيه 1.1:اگر F(k)= aG(k)آنگاه f(x)= ag(x)قضيه 1.2: اگر آنگاهقضيه 1.3: اگر آنگاه f(x)=g(x)h(x) قضيه 1.4: اگر قضاياي تبديل ديفرانسيل يك بعدي 8

10. كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات انتگرال قضيه 1.5:اگرآنگاه كه قضيه 1.6: اگرآنگاه قضيه1.7: اگر f(x)=sin(wt +α)آنگاه قضيه1.8: اگر f(x)=cos(wt +α) آنگاه 9

11. كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات انتگرال قضيه1.9 : 1) اگرآنگاه: 2) اگر آنگاه: 9

12. كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات با مشتقات جزيي (1) با شرط اوليه (2) تبديل ديفرانسيل رابطه (1) و شرط اوليه داده شده با استفاده از قضاياي بيان شده بصورت زير است: (3) (4) مثال: معادله دیفرانسیل ريكاتي درجه دوم 10

13. كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات با مشتقات جزيي قرار مي دهيم و به رابطه بازگشتي زيرمي رسيم(k-1)، kدر رابطه (3) بجاي (5) با كمك رابطه بازگشتي و استفاده از شرط اوليه (4) نتايج بصورت زيربدست مي آيند. (6) حال مقاديرk) Y(بدست آمده را در رابطه زير قرار مي دهيم و داريم: (7) كه جواب دقيق مسئله است. 11

14. كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات با مشتقات جزيي مثال: معادله دیفرانسیل را با شرایط اولیه زیر در نظر گرفته و حل کنید: حل: با توجه به قضیه های گفته شده و گرفتن تبدیل دیفرانسیل از معادله بالا داریم: وبا گرفتن تبدیل دیفرانسیل از شرایط بالا داریم: 26

15. كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات با مشتقات جزيي • اکنون با جایگذاری شرایط بالا در معادله بالا جواب بالا جواب به صورت سری زیر به دست می آید: 27

16. كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات انتگرال • مثال1.1 :معادله انتگرال ولترا زیر را با استفاده از DTM حل کردیم: • حل: طبققضایای تبدیل دیفرانسیل گفته شده در اسلاید های قبلی داریم : 9

17. كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات انتگرال سپس پیدا می کنیم: با استفاده از فرمول (1) جواب را بدست می آوریم • U(1)=-1, U(2)=0 • U(3)=-1/3!, U(4)=0 • U(5)=-1/5!, U(6)=0 • U(7)=-1/7!, U(8)=0 , … 9

18. كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات انتگرال • مثال 1.2 : • حل: با استفاده از قضایای گفته شده در اسلاید های قبل داریم: • سپس پیدا می کنیم: • U(1)=-1,U(2)=1/2! • U(3)=-1/3!,U(4)=1/4! • U(5)=-1/5!,U(6)=1/6!,… با استفاده از فرمول (1) جواب را بدست می آوریم 9

19. كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات انتگرال • نمودار مثال1.2 9

20. كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات انتگرال • مثال 1.2 : • حال این مثال را با استفاده از تجزیه ادومیان حل نمودیم: • حل: چند جمله ای های ادومیان برای قسمت غیر خطی: 9

21. كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات انتگرال حال با حل قسمت خطی وغیر خطی داریم: 9

22. كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات انتگرال 9

23. كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات انتگرال 9

24. كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات انتگرال • نمودار : 9

25. كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات انتگرال 2-روش تبديل ديفرانسيل دو بعدي: • روش تبديل ديفرانسيل دو بعدي اولين بار توسط چن و هو در سال • 1999معرفي شد و براي حل معادلات با مشتقات جزيي خطي و • غير خطي به كار گرفته شد. • تحليلي باشد و در اين Kدر دامنه w(x,y) فرض كنيد • دامنه قرار داشته باشد. در اين صورت تعاريف زير را داريم: 12

26. كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات انتگرال تعريف2-1: برابر است با: w(x,y) تبديل ديفرانسيل تابع (1) کهw(x,y) تابع اصلی و W(k,h) تبدیل دیفرانسیل تابع w(x,y) است. 13

27. كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات انتگرال تعريف2.2: تبديل ديفرانسيل معكوس دنباله ي برابر است با: (2) تعريف3.2: وقتي تعريف 2.2 به صورت زير تبديل مي شود. (3) به صورت سري متناهي زير درنظر گرفته مي شود.w(x,y)دركاربردهاي حقيقي (4) 14

28. كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات انتگرال تبدیل دیفرانسیل W(k,h)وV(k,h)،U(k,h) درتمام قضاياي زير فرض مي كنيم هستند.w(x,y)وv(x,y)،u(x,y)توابع W(k,h)=U(k,h)±V(k,h)آنگاهw(x,y)=u(x,y)±v(x,y)قضيه1.2: اگر عددي ثابت است) a) W(k,h)=aU(k,h)آنگاهw(x,y)=au(x,y) قضيه2.2: اگر قضيه 3.2:اگرآنگاه قضاياي تبديل ديفرانسيل دو بعدي 15

29. كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات انتگرال آنگاهقضيه 4.2:اگر قضيه 5.2:اگر آنگاه قضيه 6.2:اگر آنگاه 16

30. كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات انتگرال آنگاهw(x,y) =u(x,y)v(x,y)قضيه 7.2:اگر آنگاهw(x,y) =u(x,y)v(x,y) h(x,y) قضيه 8.2:اگر آنگاهقضيه 9.2:اگر 17

31. كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات انتگرال , 1) اگر آنگاه: • قضيه 10.2: • G (m,0)=G (0,n )=0 • m,n=0,1,... 17

32. كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات انتگرال 2) اگر آنگاه: • G (m,0)=G (0,n )=0 • m,n=0,1,... 17

33. كاربرد روش تبديل ديفرانسيل براي معادلات انتگرال لم 1.2 : اگر F (m,n), U(m,n)تبدیلات دیفرانسیل f(x,t), u(x,t) باشند سپس برای معادله انتگرال داریم: 17

34. تبدیل دیفرانسیل کاهشی تعریف 1: تبديل ديفرانسيل کاهشی تابع برابر است با: کهتابع اصلی، تحلیلی و به طور پیوسته مشتق پذیر می باشد و تابع انتقال یافته می باشد . 26

35. تبدیل دیفرانسیل کاهشی تعریف 2: تبديل ديفرانسيل معکوس تابع برابر است با: از ترکیب معادله 1و2 داریم: 26

36. تبدیل دیفرانسیل کاهشی 27

37. تبدیل دیفرانسیل کاهشی • حل: • مثال1: 9

38. تبدیل دیفرانسیل کاهشی • مثال2: • حل: 9

39. تبدیل دیفرانسیل کاهشی 9

41. با تشکر از توجه شما