Principi di Elaborazione Digitale dei Segnali

1. Principi di Elaborazione Digitale dei Segnali

2. ES-1 SERIE TEMPORALI • Sistemi lineari che elaborano segnali NEL TEMPO (problemi dinamici) • Introduzione della variabile t • Analisi nel dominio del tempo • Analisi nel dominio della frequenza

3. x(NT) x(T) A/D converter nT segnale sequenza T ES-2 Serie temporali e computer • I segnali del mondo reale possono essere modellati come funzioni reali x(•) di una variabile reale t (segnali analogici). • Necessità di segnali campionati T = periodo di campionamento {x(nT)} = sequenza • Teorema di Nyquist

4. FN-1 {x(n)} = x x(n-N+1) F1 x(n-1) x(n) F0 ES-3 Dal segnale discreto al vettore Hp: x(t) ad energia finita  {x(nT)} di lunghezza finita NT Proiezione lungo l’asse Fi Punto dello spazio N-D Un segnale discreto di lunghezza N è un vettore in uno spazio N-dimensionale

5. x(n) x(n-1) Z-1 x(n) x(n) operatore ritardo Z-1 x(n-1) linea di ritardo Z-1 x(n-N+1) ES-4 L’operatore ritardo delta di Dirac d basi per rappresentare i segnali discreti nel dominio del tempo

6. input Z-1 Z-1 ES-5 Lo spazio del segnale z asse x x(n-3) x(n-2) x(n-1) x(n) x(n) Traiettoria del Segnale asse y x(n-4) x(n-3) x(n-2) x(n-1) x(n-3) y x(n-1) x(n-2) asse z x x(n-5) x(n-4) x(n-3) x(n-2) Spazio di ricostruzione o Spazio del segnale x(n-3) x(n-2) x(n-1) x(n) linea di ritardo • La “traiettoria” dipende dalle proprietà della serie temporale e può permettere ad un sistema connesso all’output della linea di ritardo di estrarre il modello della serie. Un enorme numero di campioni  enorme dimensione dello spazio Sottospazio del segnale

7. Segnale periodico (K campioni) Spazio K’- dimensionale (K’ K ) x basta 1-D K’ = 1 x1 x t x1 bastano 2-D K’ = 2 (2 << K ) Mappaggio uno a uno tra traiettoria e serie temporale x2 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 ? 0.4 0.4 ? 0.2 0.2 ? 0 0 0 20 40 60 80 100 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ? ES-6 Il sottospazio del segnale K’ dipende dalla complessità della traiettoria Potrebbe servire K-D K’=K I rami si incrociano. Perdo il mappaggio 1 a 1

8. x(NT) x(T) 1 2 K’ ES-7 Trovare la dimensione K’ dello spazio di ricostruzione che quantifichi appropriatamente le proprietà del segnale Finestra temporale “sliding”

9. x(n) w0 z-1 pesi w1 x(n-1) y(n) S z-1 w2 z-1 x(n-N) Linea di ritardo ES-8 IL FILTRO FIR (COMBINATORE LINEARE) N å ( ) ( ) ( ) ( ) T T = - = = y n w x n i w x n x n w i = 0 i [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = - -N x n x n x n 1 x n K [ ] = w w w w K 0 1 N FIR  FINITE IMPULSE RESPONSE (risposta impulsiva finita) y(n) ha l’espressione vista nelle reti Hebbiane

10. ES-9 x x(n-N) x(n-1) x(n) • y è la proiezione di x sul vettore peso w  • Il C.L. è un proiettore lineare dell’input nello spazio del segnale, secondo la direzione dei pesi • La scelta ottimale dei pesi preserva al massimo l’informazione contenuta nell’input Idea base del filtraggio

11. ES-10 Esempi di filtraggio

12. w2 w0 d (n) w1 w0 z-1 w1 + h(0) h(1) h(2) h3 z-1 w2 ES-11 ANALISI NEL DOMINIO DEL TEMPO (SISTEMI LINEARI) La risposta impulsiva Risposta impulsiva [h(n)] • Descrive completamente un sistema lineare per il combinatore lineare h(i) = wi • La h(n) di un C.L. ha lunghezza finita  FIR

13. convoluzione ES-12 La convoluzione y(n) risposta ad un generico input x(n) sistema causale Per il combinatore lineare M + N campioni (notare la pesantezza del calcolo)

14. output input y(n) x(n) z-1 + y(n-1) 1-m Coefficiente di feedback ES-13 Sistemi ricorrenti e stabilità IL FILTRO IIR Un filtro IIR è caratterizzato da connessioni ricorrenti o feedback Esempio:  Eq.ne alle differenze • La h(n) ha estensione infinita IIR  Infinite Impulse Response (risposta impulsiva infinita)

15. h(n) 1 m decrescente n h(n) 1 n h(n) 1 n ES-14 Analisi della stabilità 0 < m < 1 stabile m = 0 marginalmente stabile • < 0 instabile Obiettivo dell’elaborazione dei segnali: avere un sistema che risponda all’input  a risposta impulsiva di durata finita Importanza del coefficiente di feedback

16. t Tc n = 0 ES-15 ANALISI NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA • Descrizione di un segnale mediante il suo SPETTRO x(t)  {x(n)} Tf = N Tcn = 0, … , N-1 Intervallo di campionamento Numero di campioni n=N-1 x(n) generico campione n = 0, … , N-1 segnale campionato

17. X( f ) t fc (N-1)Tc fc/2 fc Tc 0 ES-16 La trasformata di Fourier Trasformata di Fourier del segnale x(t) Spettro continuo N numeri Tf = N Tc

18. ES-17 La trasformata di Fourier discreta (DFT) DFT IDFT X (k) Tf = NTc t N-1 Tc fc/2 ff k N CAMPIONI Spettro di N righe

19. ES-18 d(n - N +1) x(N -1) X(N -1) d(n - 1) x(1) X(1) x(0) X(0) d(n) Dominio della frequenza Dominio del tempo X(k) C X(k) = k - esimo coeff. di Fourier {X(k)} = trasformata di Fourier discreta DFT o spettro {|X(k)|} = spettro delle ampiezze {/ X(k)} = spettro delle fasi x(k)  R

20. z-1 operatore ritardo ES-19 La Z-trasformata z C Combinatore lineare

21. Convoluzione in t Moltiplicazione in z ES-20 La funzione di trasferimento Funzione di trasferimento Z-trasformata della risposta impulsiva (polinomio algebrico)

22. Im(z) z =j z w Re(z) z =1 z =-1 z =-j ES-21 La risposta in frequenza H(e jwt) = H’(w) risposta in frequenza H’(w) è H(z) calcolata nel cerchio unitario |e jw T| H’(w) è periodica in w con 2p/T (come e jwT) -1

23. ES-22 DFT della risposta impulsiva • Proprietà: • Risposta a regime • Calcolo veloce (FFT) • H’(w)  C |H’(w)| / H’(w)

24. polo zero ES-23 Poli e zeri della risposta in frequenza zeri: z = 0 poli: z = 1-m Osservazioni qualitative: Stabilità 0<m<1 Polo nel cerchio unitario

25. x(N) y(N) x(1) y(1) Tc |Y(k)| |H(k)| rumore k k kcut 1 N 1 N ES-24 Filtri lineari H(k) kcut Segnale + Rumore ad alta frequenza Segnale filtrato Tf = N Tc |X(k)| PASSA – BASSO

26. |H’(w)| |H’(w)| |H’(w)| f f f fc fc fc ES-25 Passa - basso Passa - banda Passa - alto • Per la scelta dei wi : • Procedura di sintesi • Procedure di ottimizzazione