Escolhe-se, antes de mais nada , um REFERENCIAL

1. Nessa aula explicaremos como se pode localizar um ponto no espaço a partir de um de um sistema de referência. • A posição é determinada por um conjunto de coordenadas. • Porque isso é importante?

2. Escolhe-se, antes de mais nada, um REFERENCIAL

3. . Uma vez adotado um sistema de referência, temos várias formas de indicar a posição de um objeto. Algumas já se incorporaram ao nosso cotidiano. • A maneira de caracterizar a posição de um objeto é através do uso de uma coordenada ou um conjunto de coordenadas. A seguir apresentaremos exemplos de coordenadas.

4. 1. Indicando os espaços nas rodovias

6. Latitude/Longitude

7. O GPS

8. As coordenadas cartesianas são utilizadas para identificar a posição de um ponto no espaço semelhantemente à localização de uma rua utilizando um guia da cidade. A forma mais simples, do ponto de vista matemático, de especificarmos a posição de um objeto consiste no uso das coordenadas cartesianas. Vamos ilustrar esse procedimento, analisando o caso de um besouro que se movimenta ao longo de um fio retilíneo. Nesse caso, dizemos que o movimento é unidimensional. Para especificarmos a posição do besouro no fio, adotamos um ponto como referência. Chamamos esse ponto simplesmente de origem O (origem do sistema de coordenadas). Observe-se que o ponto O divide o fio retilíneo em dois segmentos de reta (um à direita e outro à esquerda de O). Num desses segmentos, as coordenadas terão valores positivos e no outro as coordenadas assumirão valores negativos.Utilizando esse ponto de origem O, especificamos a coordenada do objeto da seguinte forma: primeiramente, determinamos a distância (d ) do objeto até a origem. O próximo passo será especificar para qual dos dois segmentos de reta atribuiremos valores positivos para as coordenadas (Este passo tem o nome de orientação do eixo das coordenadas). Tal escolha será indicada por uma flecha. Isto é, o sentido da flecha indica o sentido no qual as coordenadas terão valores positivos. O valor da coordenada x do ponto P será igual à distancia até a origem se P estiver no sentido da flecha a partir da origem. Caso contrário, o valor da coordenada é igual à distancia precedida de um sinal menos, ou seja, as coordenadas terão valores negativos quando a posição estiver na direção oposta à da flecha a partir da origem. A extensão para o caso de duas dimensões pode ser entendida a partir do movimento de uma bola sobre uma mesa. As duas coordenadas (x e y) da posição P da bola seriam determinadas da seguinte forma: • O GPS Para indicarmos um ponto no plano podemos recorrer a outros conjuntos de coordenadas. Uma das mais utilizadas são as coordenadas polares (    e   ). Podemos defini-las como função de x e y (a coordenadas cartesianas), a partir das expressões Definimos as coordenadas esféricas r,   e    através das transformações r = R (constante)                             descreve uma esfera de raio R                   descreve um semiplano                               descreve um cone de ângulo Vetor Velocidade em Coordenadas Esféricas De ( ) tem-se que Portanto

9. Nivel 2

11. Exemplo unidimensional

12. x = +d se estiver no sentido da flecha a partir da origem

13. x = -d se estiver no sentido oposto da flecha a partir da origem

18. CINEMÁTICA CINEMÁTICA Espaços: • Origem dos espaços:

19. CINEMÁTICA CINEMÁTICA • Orientação dos espaços: • Espaços Positivos e Negativos:

20. CINEMÁTICA Coordenada Espaço • Escolha da origem: • Escolha da orientação:

21. CINEMÁTICA • Espaço Positivo: • Espaço Negativo:

22. Nivel 3

24. CINEMÁTICA 4. Extensão para duas dimensões:

25. Animação 3 planos

27. gráfico

29. NIVEL 4

32. Cilindro/plano/plano

34. Esfera/plano/cone

35. NIVEL 5

37. COORDENADAS GENERALIZADAS • q1 = q1(x,y,z) • q2 = q2(x,y,z) • q3 = q3(x,y,z) • Ou ainda • x= x(q1, q2, q3) • y = y(q1, q2, q3) • z = z(q1, q2, q3)

38. 3 superfícies

39. COORDENADAS GENERALIZADAS • Quando tomamos para qualquer uma dessas coordenadas (q1) um valor constante ci • ci = qi(x,y,y) • Esse valor constante define uma superfície no espaço • A posição de uma partícula no espaço pode ser especificada atribuindo às três coordenadas c1, c2, c3 P(c1, c2, c3). • Note-se que isso ocorre porque o lugar geométrico dos pontos do espaço que satisfazem simultaneamente duas das equações, por exemplo • c1 = q1(x,y,z) • c2 = q2(x,y,z) • é uma curva no espaço. • Um ponto P do espaço pode, então, ser pensado como o lugar geométrico do espaço interseção de 3 superfícies, ou analogamente, interseção de três curvas bem definidas.