Quadratische Funktionen und Gleichungen

1. Quadratische Funktionenund Gleichungen Eine Zusammenfassung und Wiederholung Fassung: 27/10/14

2. „Wir“ erinnern uns?! Quadratische Beziehungen und Parabeln sind keine Erfindungen von Mathematikern oder Lehrern, sondern … … kommen im Alltagsleben vor. Über-sicht Köln-Arena Parabolantenne Sidney - Harbourbridge springender Ball, aufgenommen mit einer Stroboskopkamera frei hängende Kette

3. Was macht nun die Mathematik? • Mathematik beobachtet und misst. • Mathematik untersucht. • Mathematik denkt weiter. • Mathematik probiert aus. Über-sicht

4. Mathematik beobachtet und misst. Wenn man noch folgende Werte messen würde, … … könnte man zu der Funktionsvorschrift y = 0,25 x² kommen!* Über-sicht Bitte beachten Sie den Konjunktiv (… würde, könnte …)! Denn: Eine Kette hängt nur annähernd, nicht exakt in Parabelform.

5. Mathematik untersucht. Bremsweg eines Autos … beginnend mit 40 km/h … beginnend mit 60 km/h … beginnend mit 80 km/h Oder anders dargestellt: Über-sicht

6. Länge des Bremswegs in m Geschwindigkeit in km/h Mathematik untersucht. Bremsweg eines Autos (In der Realität gibt es selbstverständlich Abweichungen, je nach Beschaffenheit der Straße, der Reifengröße, des Reifenzustands u.ä.) Über-sicht

7. Mathematik denkt weiter. Geht man von einer quadratischen Beziehung (Zuordnung) zweier Größen (allgemein x und y) aus, lassen sich folgende Varianten unterscheiden: • y = x² Normalparabel • y = a x² • y = a x² + c reinquadratische Funktion • y = a x² + b x + c gemischtquadratische Funktion in Normalform • y = a (x + d)² + e gemischtquadratische Funktion in Scheitelform mit S(-d|e) Für die Variablen a, b, c, d und e gilt es nun Zahlenwerte einzusetzen; anschließend kann man jeweils eine Wertetabelle aufstellen und den entsprechenden Graphen zeichnen. Probieren Sie es aus und beobachten Sie Veränderungen! Über-sicht

8. Mathematik probiert aus. • gemischt-quadratische Funktion: y = ax² + bx + c (Normalform)(Zur Ausführung dieses Links benötigen Sie Excel auf Ihrem Rechner; Makros müssen aktiviert werden.) • gemischt-quadratische Funktion: y = a (x² + d)² + e (Scheitelform)(Zur Ausführung dieses Links benötigen Sie Excel auf Ihrem Rechner; Makros müssen aktiviert werden.) • Wasserstrahl (Normalform)(Zur Ausführung dieses Links benötigen Sie Excel auf Ihrem Rechner; Makros müssen aktiviert werden.) • Wasserstrahl (Scheitelform)(Zur Ausführung dieses Links benötigen Sie Excel auf Ihrem Rechner; Makros müssen aktiviert werden.) Über-sicht

9. Was bringen die Untersuchungen der Mathematik? • Bestimmung minimaler bzw. maximaler Werte bei quadratischen Beziehungen • Lösung quadratischer Gleichungen • Bestimmung der Funktionsgleichung bei gegebenen Punkten einer Parabel Über-sicht

10. Was bringen die Untersuchungen der Mathematik? Bestimmung minimaler bzw. maximaler Werte bei quadratischen Beziehungen Beispiel: Bei welchen Seitenmaßen wird die rechteckige Fläche des Kaninchengeheges maximal, wenn für den Zaun 7m zur Verfügung stehen? Fläche des Geheges: A = x (7-2x) bzw.: A = -2x² + 7x Somit hat man es mit einer quadratischen Beziehung zu tun. Betrachtet man A nun als eine von x abhängige Größe, so lässt sich die Beziehung als quadratische Funktion verstehen mit einer Parabel als graphischer Darstellung und dem Scheitelpunkt als Lösung der Problemstellung; seine x-Koordinate gibt das Seitenmaß des Geheges an, für das die Fläche (y-Koordinate) maximal wird. zurück Über-sicht zeichnerische Lösung rechnerische Lösung

11. Kaninchengehege zeichnerische Lösung zurück Der Scheitelpunkt lässt sich ablesen: S(1,75|6,125) D.h.: Bei einer Seitenlänge von 1,75 m ergibt sich eine Fläche von 6,125 m² Über-sicht

12. Rechnerische Bestimmung des Scheitelpunkts der quadratischen Funktion y = ax² + bx +c Es geht auch noch anders! (Vielleicht einfacher?) Jede Parabel hat bekanntlich eine Spiegelachse; diese verläuft stets parallel zur y-Achse UND durch den Scheitelpunkt. Somit liegt der Scheitelpunkt zugleich genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen der Parabel - und diese Nullstellen lassen sich rechnerisch per pq-Formel bestimmen (vgl. nächster Abschnitt Quadratische Gleichungen). zurück Klingt nach einfacher Lösung, hat aber wie vieles Einfache einen „Haken“. Schon entdeckt? Über-sicht Hinweis: Hat jede Parabel eine/zwei Nullstelle(n)?!

13. Was bringen die Untersuchungen der Mathematik? Lösung quadratischer Gleichungen Grundidee: Die Punkte einer Parabel, die den Wert y = 0 haben, bilden die Lösung(en) einer quadratischen Gleichung der Form x² + px +q = 0. Beispiel: x2 + 3x – 1,75 = 0(y) Herleitung der p-q-Formel(mit quadratischer Ergänzung) rechnerisch zeichnerisch Anwendung der p-q-Formel zurück Lösung(en) der Gleichung: x1 = -3,5x2 = 0,5 Über-sicht Mit der sog. p-q-Formel lassen sich sämtliche quadratischen Gleichungen der Form x² + px +q = 0 lösen.

14. Was bringen die Untersuchungen der Mathematik? Bestimmung der Funktionsgleichung bei gegebenen Punkten einer Parabel Kennt man den Scheitelpunkt sowie einen weiteren Punkt der Parabel, kann man deren Funktionsgleichung bestimmen. Beispiel: ein Kugelstoß Abstoßhöhe (bei x = 0 m): 1,80 m Höchster Punkt der Flugbahn: 2,3 m (bei einem Abstand von 4 m) • Lösungsweg: • Einsetzen der Scheitelpunkt- sowie der Punktkoordinaten in die allgemeine Scheitelform: 1,8 = a (0 – 4)² + 2,3 • Auflösen der Gleichung nach a: a = -0,03125 • ggf. Bestimmung der Normalform durch Umwandlung der Scheitelform y = -0,03125 (x – 4)² + 2,3 in: y = -0,03125x² + 0,25x + 1,8 zurück Über-sicht Die Weite dieses Kugelstoßversuchs lässt sich jetzt sowohl zeichnerisch als auch rechnerisch (vgl. Lösung quadratischer Gleichungen) bestimmen. (Tipp: Wie groß ist der y-Wert im Punkt des Aufpralls?)

15. „Wir“ erinnern uns?! Was macht nun die Mathematik? Mathematik beobachtet und misst. Mathematik untersucht. Mathematik denkt weiter, Mathematik probiert aus. Was bringen die Untersuchungen der Mathematik? Lösung quadratischer Gleichungen Bestimmung der Funktionsgleichung aus gegebenen Punkten Von der Normalform (y = ax² + bx + c) zur Scheitelform ( y = a (x+d)² +e) Übersicht quadratische Funktionen Übersicht quadratische Gleichungen So behalten Sie den Überblick! Ausblick

16. Ausblick • von der Beobachtung von Zusammenhängen und Zuordnungen • über Funktionen als mathematische Beschreibung der Realität (Modellbildung) • über die (innermathematische) Weiterentwicklung • bis zur (mathematischen) Lösung realer Problem-stellungen Die in diesem Lernprogramm – an dessen Ende Sie jetzt angekommen sind – vorgestellte Methode lässt sich auch auf andere Situationen übertragen. Mathematische Fortsetzungen sind insbesondere die Exponential-funktionen sowie die Differential- und Integralrechnung – das Abend-gymnasium lässt grüßen! Über-sicht

17. Übersicht quadratische Funktionen Über-sicht

18. Übersicht quadratische Gleichungen Über-sicht