Parabeln & Quadratische Gleichungen

1. Parabeln& Quadratische Gleichungen von Lutz-Peter Hennies & Johannes Maibaum

2. Definition: Quadratische Gleichungen Löst man eine Quadratische Gleichung auf ihre Grundform auf, ergibt sich die Form ax² + bx + c = 0. In Quadratischen Gleichungen kommt das Quadrat der Unbekannten (z.B.: x²) vor, aber keine höheren Potenzen wie x3, x4, … . Hierbei ist x die Unbekannte; a, b und c sind die Koeffizienten (b heißt „Koeffizient des linearen Gliedes“, c heißt „absoluter Koeffizient“). Für sie können beliebige Zahlen eingesetzt werden. Jedoch darf a nicht gleich 0 sein, da sonst das Produkt aus ax² auch 0 ergeben würde. Die daraus entstehende Gleichung wäre dann nicht mehr quadratisch. Wenn man eine Quadratische Gleichung zeichnerisch darstellt, erhält man eine Parabel.

3. Definition und Öffnung von Parabeln Eine Parabel ist eine axialsymmetrische, nicht abgeschlossene Kurve. Sie ist die Menge aller Punkte einer Ebene, deren Abstände von einer festen Geraden (Leitlinie) und einem festen Punkt (Brennpunkt F) gleich sind.Ihre zwei Äste setzen sich unendlich fort. Eine Parabel ist immer zu einer Seite offen. Steht vor dem quadrierten x ein Pluszeichen, z.B. y=x², ist die Parabel nach oben geöffnet, weil x² definitiv positiv und somit y auch positiv ist. Die Punkte der Kurve befinden sich in im 1. und 2. Quadranten, sofern kein negativer absoluter Koeffizient (siehe Folie 2) vorliegt. (Siehe Bild)

4. Öffnung von Parabeln I Steht vor dem quadrierten x ein Minuszeichen, z.B. y=-x², ist die Parabel nach unten geöffnet. x² selbst hat zwar einen positiven Wert, wird jedoch durch das Minus negativ. Damit bekommt auch das y einen negativen Wert. Die Punkte dieser Parabel befinden sich folglich im 3. und 4. Quadranten, sofern kein positiver absoluter Koeffizient vorliegt.

5. Verschiebung von Parabeln im Koordinatensystem Nach oben/unten verschieben: Bild 1: Am Ende der Gleichung einer Parabel steht der absolute Koeffizient. Mit diesem lässt sich die vertikale Lage der Parabeln festlegen. Ist er positiv, wird die Parabel um die angegebene Anzahl von Einheiten nach oben verschoben (Bild 1), ist er negativ, nach unten (Bild 2).Der Grund für die Verschiebung ist, dass y jeweils um den angegebenen Wert vergrößert oder verkleinert wird. Der absolute Koeffizient einer Parabel ist also gleichbedeutend mit dem y-Achsenabschnitt einer Geraden. f1: y = x² + 1 Bild 2: f2: y = x² - 1

6. Verschiebung von Parabeln im Koordinatensystem I Nach rechts/links verschieben: • Parabel ist nach links verschoben • Vertikale Verschiebung durch bestimmten positiven absoluten Koeffizienten ausgeglichen Die Verschiebung nach links/rechts hängt von der Größe des Wertes des Koeffizienten des linearen Gliedes ab. Ist der Wert negativ, wird die Parabel nach rechts und unten oder oben verschoben, ist er positiv, nach links und unten/oben. Will man verhindern, dass die Parabel gleichzeitig auch nach unten/oben verschoben wird, muss man dies mit einem bestimmten positiven oder negativen absoluten Koeffizienten wieder ausgleichen, der vom Wert des Koeffizienten des linearen Gliedes abhängt. Für die Rechts-/Linksverschiebung ist also grundsätzlich das lineare Glied verantwortlich. f3: y = x² + 3x + 2.25 • Parabel ist nach rechts verschoben • Vertikale Verschiebung durch bestimmten positiven absoluten Koeffizienten ausgeglichen f4: y = x² - 3x + 2.25

7. Verschiebung von Parabeln im Koordinatensystem II Bild 1: Die Parabel ist nach rechts beziehungsweise nach links verschoben. Die Verschiebung nach unten kann in beiden Fällen durch den absoluten Koeffizienten (+1) nicht ausgeglichen werden (Bild 1: Verschiebung nach rechts/unten; Bild 2: Verschiebung nach links/unten) Bild 2: f5: y = x² - 3x + 1 f6: y = x² + 3x + 1

8. Wie kommt man zu Parabeln? 1. Durch Quadratische Gleichungen Wenn man eine Quadratische Gleichung grafisch darstellen möchte, also eine Parabel zeichnen möchte, setzt man für x oder y (meistens für x) einen beliebigen Wert ein und rechnet den jeweils anderen Wert aus. Man erstellt sich also eine Wertetabelle. Die zugehörigen Werte beschreiben diejenigen Koordinatenpunkte, die auf der Parabel liegen. Man muss sie dann nur noch zum Graphen verbinden. Je mehr Punkte man sich berechnet, desto genauer kann man die Parabel darstellen. Beispiel: Quadratische Gleichung: Darstellung auf der nächsten Folie 

9. Wie kommt man zu Parabeln? I In der Wertetabelle (rechts) wurde ein x vorgegeben und das zugehörige y mit der Parabelgleichung berechnet.

10. Wie kommt man zu Parabeln? II 2. Durch geometrische Konstruktion Durch den Punkt Z (pink) wird eine Parallele zur Leitgeradeng gezogen. Der Abstand Zg (in diesem Falle 2,31 cm) wird als Radius für einen Kreis um den Brennpunkt F (schwarz) verwendet. Dieser Kreis schneidet die Gerade durch Z in zwei Punkten (P1 und P2). Die erhaltenen Schnittpunkte sind Parabelpunkte. Sie haben immer den gleichen Abstand zu F wie zur Leitgeradeng, wobei der Winkel OHP1/OHP2 90° betragen muss. Dieser Vorgang lässt sich beliebig wiederholen, indem man den Punkt Z immer weiter von g entfernt. Somit vergrößert man den Kreisradius. Dadurch entstehen weitere Punkte. Wenn man diese verbindet, erhält man die Parabel. Der Extrempunkt dieser Parabel befindet sich dabei immer auf der Hälfte der Strecke OF.

11. Anwendungen und Nützlichkeit von Parabeln

12. Anwendungen und Nützlichkeit von Parabeln I Parabeln werden hauptsächlich zur Berechnung und Darstellung von Flugkurven (z.B. von Gegenständen), Bögen (z.B. bei Brücken oder Regenbögen) und anderen Krümmungen und Kurven benutzt. Früher hatte man falsche Vorstellungen von den Bahnen, auf denen z.B. Kanonenkugeln fliegen. Deswegen verfehlten diese meistens ihr Ziel (siehe Abbildung). Heutzutage ist man natürlich schon auf einem höheren Wissensstand als damals. Man kann solche Flugkurven mit einer Quadratischen Gleichung angeben und mithilfe einer Parabel darstellen.Moderne Anwendungsbereiche wären beispielsweise Kugelstoßen, Golf, Weitsprung, Speerwerfen, etc.

13. Anwendungen und Nützlichkeit von Parabeln II Ein weiterer Bereich, auf den man Parabeln anwenden kann, sind Parabolspiegel (und Satellitenschüsseln). Sie beide haben die Form einer Parabel, auch diese hat einen Brennpunkt und eine Leitgerade, was ein Beweis für die Gemeinsamkeiten der beiden (Spiegel/Parabel) ist. Bei einem Parabolspiegel wird ein parallel zum Lot einfallender Strahl durch den Brennpunkt F reflektiert. Ebenso wird ein durch den Brennpunkt einfallender Strahl parallel zum Lot reflektiert. Hierbei gilt Einfallswinkel = Ausfallswinkel. • Schwarzer Strich: Lot des Spiegels • Grüner Strich: Leitgerade l • Punkt F: Brennpunkt • Pinker Strich: Parallel zum Lot einfallender Strahl, wird durch F reflektiert. (Ebenso die anderen parallel einfallenden weißen Strahlen) • Weißer Strich („Tangente“) + Lot: Die Gerade tangiert den Parabolspiegel an der Stelle, wo der pinke Strahl einfällt. Das Lot, das senkrecht durch die Tangente verläuft, halbiert den Winkel zwischen ein- und ausfallendem Strahl.

14. Quellenangaben • Internet: • www.eMath.de Funktion.exe • www.wissen.de  Lexikon • www.hirnwindungen.de  Eigenschaften der Parabel 2. Literatur: • Mathematikbuch MatheNetz 9 Kapitel Parabeln & Quadratische Gleichungen