4. Matemātiskie spriedumi, izteikumi un pierādījumi

1. 4. Matemātiskie spriedumi, izteikumi un pierādījumi 76. lpp

2. Ik dienas mēs vērojam , analizējam, vērtējam, secinām • Pamatot savu viedokli mums palīdz ne tikai informācija (zināšanas un fakti), bet arī prasme loģiski spriest.

3. Spriešanas paņēmieni • Empīriskā spriešana • Induktīvā spriešana • Deduktīvā spriešana

4. Empīriskā spriešana • Spriedumus, kas tiek izdarīti, balstoties uz iepriekš gūtu pieredzi, sauc par empīriskiem spriedumiem. • Piemēri: • Dienu pirms algas nekad nav brīvu naudas līdzekļu • Bankās pusdienlaikā ir visvairāk rindas • Teksta uzdevumi parasti ir grūtāki par citiem uzdevumiem

5. Cilvēku gūtā pieredze var būt pilnīgi atšķirīga • Tieši tāpēc empīriski pierādījumi nevar kļūt par loģisko pierādījumu pamatu. • Tie ne vienmēr ir patiesi un attiecināmi uz visiem gadījumiem. • Tomēr tie var palīdzēt pierādījumu veidošanā

6. Induktīvie spriedumi • Spriešanas paņēmienu, kad secinājumi tiek iegūti, balstoties uz vairāku eksperimentu vai vērojumu laikā gūtiem rezultātiem, sauc par induktīvo spriešanu. • Šādā ceļā gūtos spriedumus sauc par induktīviem spriedumiem.

7. Piemēri: Klasisks induktīvo spriedumu piemērs ir tautas ticējumi: • Ja ap Ziemassvētkiem auksts - vasara būs karsta; • Ja slapja Māras diena - būs slapjš jūlijs. • Tomēr ne vienmēr ticējumi piepildās.

8. Piemēri: Interesants induktīvās spriešanas piemērs: • "Fiziķis pārbauda pirmos 99 skaitļus, pārliecinās, ka tie visi ir mazāki nekā 100, un secina, ka vispār visi skaitļi ir mazāki nekā 100, jo ar 99 eksperimenti  ir pilnīgi pietiekami, lai veiktu zinātnisku secinājumu".

9. Induktīvos spriedumus, tāpat kā empīriskos vienus pašus par pamatu pierādījumiem izmantot nevar.

10. Deduktīviem spriedumi • Spriešanas paņēmienu, kad katrs nākamais secinājums tiek balstīts uz iepriekš pamatotu spriedumu, sauc par deduktīvo spriešanu. • Šādā ceļā iegūtos spriedumus sauc par deduktīviem spriedumiem.

11. Shēmas paraugs, kā matemātikā tiek iegūta jauna teorēma: • Eksperiments • (mērījumi, aprēķini) • Induktīvā spriešana • (spriedumi par atsevišķiem gadījumiem) • Hipotēze • Deduktīvā spriešana • (izmanto tikai iepriekš pierādītus faktus) • Hipotēzes apstiprinājums ( ir iegūts jauns patiess spriedums) vai noliegums

12. Izteikumi

13. Domāšanas un spriešanas procesā cilvēki formulē un izsaka dažādus apgalvojumus. • Tie var būt gan patiesi, gan aplami, gan arī tādi, kuru patiesumu nav iespējams novērtēt.

14. izteikumi • Apgalvojumus, par kuriem viennozīmīgi var pateikt, vai tie ir patiesi vai aplami, matemātikā sauc par izteikumiem.

15. Piemēri: • Ir izteikumi • Nedēļā ir 7 dienas (patiess izteikums); • Skaitlis 101 dalās ar 9 (aplams izteikums). • Tālāk dotie apgalvojumi nav izteikumi. •  Dzīve ir skaista. • x < 9. • Pasākumu apmeklēja ļoti daudz skatītāju.

16. Izteikumus iedala • Vispārīgie izteikumi • Mūsu skolas 10. klasē visi skolēni ir sekmīgi • Visi pāra skaitļi dalās ar divi • Atsevišķie izteikumi • 10. klases skolniece Inga ir sekmīga. • 10. klases skolnieks Andris ir sekmīgs. • 4 dalās ar divi. • 206 dalās ar divi.

17. Vispārīgais izteikums • Izteikumus, kas nav attiecināmi tikai uz konkrētu piemēru vai situāciju un kuri vispārināti (parasti ar mainīgo vai parametru palīdzību) apraksta kādu faktu vai procesu, sauc par vispārīgiem izteikumiem. • Vispārīgais izteikums ir patiess tad un tikai tad, ja patiesi ir visi tam atbilstošie atsevišķie izteikumi.  • Ja kaut viens no atsevišķiem izteikumiem ir aplams, tad arī vispārīgais izteikums ir aplams. • Šādu atsevišķo izteikumu, kas pierāda, ka vispārīgais izteikums nav patiess, sauc par pretpiemēru

18. Piemērs • Vispārīgs izteikums: Mūsu skolā visiem patīk matemātika • Pretpiemērs: Mūsu skolas 5. klases skolēnam Kārlim matemātika nepatīk • Secinājums: Vispārīgais izteikums ir aplams

19. Ievēro divus loģikas pamatlikumus:  • 1) katrs izteikums ir vai nu patiess, vai aplams (trešā izslēgtā likums); • 2)neviens izteikums nevar būt vienlaikus patiess un aplams ( pretrunas likums).

20. Saliktie izteikumi un vienkāršie izteikumi