Nedeterministický konečný automat

1. Nedeterministický konečný automat M=({q0,q1,q2,q3},{0,1},,q0,{q1,q3}) • L(M) = ?

2. Nedeterministický konečný automat • Nedeterministický konečný automat (NDKA) je obecnějším typem konečného automatu • Rozdíl oproti deterministickému konečnému automatu (DKA) spočívá v tom, že aktuální vnitřní stav a čtený symbol neurčují jednoznačně chování automatu v dalším kroku (tj. stav, do kterého automat má přejít) • Namísto přechodové funkce budeme tedy uvažovat přechodové zobrazení • Prakticky si tuto změnu můžeme představit tak, že NDKA má možnost „si vybrat“ z nabízených možností přechodu • V předchozím příkladu může tedy automat ze stavu q0 na vstupní symbol 1 přejít do q1 nebo do stavu q2

3. Nedeterministický konečný automat • DEF:Nedeterministický konečný automat M je pětice M=(Q,T,,q0,F), kde Q je konečná množina vnitřních stavů automatu T je konečná množina přípustných vstupních symbolů  je přechodové zobrazení : QxT  2Q q0 je počáteční stav automatu (q0Q) F je množina koncových stavů (FQ) • Poznámka: 2Q je symbolické označení množiny všech podmnožin Q JestližeQ={a,b}, potom 2Q ={{},{a},{b},{a,b}}

4. Užívané konvence a pojmy • DEF: Buď M=(Q,T,,q0,F) nedeterministický konečný automat (NDKA). Potom nad množinou všech konfigurací QxT*definujeme relaci přechodunásledovně: jestliže q1,q2Q, wT*, aT, potom (q1,aw) (q2,w), jestliže q2(q1,a) • DEF: Nechť M=(Q,T,,q0,F) je NDKA. Potom automat M přijímá (akceptuje) slovo wT*, jestliže platí (q0,w) * (q,e) pro nějaké qF. • DEF: L(M)={w| (q0,w) * (q,e), wT*, qF}.    

5. Příklad • Uvažujme následující NDKA reprezentovaný stavovým diagramem: M=({q0,q1,q2}, {+,-,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},,q0,{q2})

6. Příklad • Tentýž NDKA lze reprezentovat následující přechodovou tabulkou: M=({q0,q1,q2}, {+,-,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},,q0,{q2})

7. Přijímaní slova pomocí NDKA M=({q0,q1,q2}, {+,-,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},,q0,{q2}) • Pro vstupní slovo w=-195 probíhá následující výpočet: (q0,-195) (q1,195) (q1,95) (q1,5) (q1,e) … nepřijato (q2,e) … přijato (q2,5) … nepřijato (q2,95) … nepřijato       

8. Přijímaní slova pomocí NDKA • Výpočet NDKA si lze představit jako odpovídající množství paralelně probíhajících výpočtů • Kdykoliv může NDKA učinit rozhodnutí (není jednoznačně určen následující stav), vzniká další větev výpočtu • Větev výpočtu je ukončena (zaniká), pokud vstupní slovo bylo celé přečteno, nebo když nelze pokračovat (není definován přechod pro daný vnitřní stav a čtený symbol) • NDKA přijímá dané vstupní slovo právě tehdy, když alespoň jedna větev výpočtu skončí úspěchem (přečtené celé slovo & automat je v některém z koncových stavů)

9. Vzájemný vztah DKA a NDKA • NDKA se na první pohled zdá „mocnější“ než DKA • Jakým způsobem měřit „sílu“ jednotlivých typů automatů? • Automaty jsme navrhli kvůli rozpoznávání jazyků, a proto i jejich schopnosti budeme posuzovat podle množiny jazyků, které lze daným typem automatu rozpoznat • Věta: Nechť L(M1) je jazyk přijímaný nějakým nedeterministickým konečným automatem. Potom existuje deterministický konečný automat M2, který přijímá stejný jazyk, tj. L(M1) = L(M2). • Důkaz: M2 se sestrojí na základě znalosti funkce M1

10. Konstrukce ekvivalentního DKA • M1=({q0,q1,q2}, {+,-,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},,q0,{q2}) • M2=({?????}, {+,-,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},2, {q0},{?????}) • Budeme postupně vytvářet 2i Q2 a nakonec určíme F2

11. Konstrukce ekvivalentního DKA • M2=({?????}, {+,-,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},2, {q0},{?????})

12. Konstrukce ekvivalentního DKA formální • přeznačení • M2=({p0, p1, p2}, {+,-,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},2, p0,{p2})

13. Konstrukce ekvivalentního DKA • M2=({p0, p1, p2}, {+,-,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},2, p0,{p2})

14. Konstrukce ekvivalentního DKA • NDKA: M1=({q0,q1,q2}, {+,-,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},,q0,{q2}) • DKA: M2=({p0,p1,p2}, {+,-,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},2, p0,{p2}) L(M1) = L(M2)

15. Konstrukce ekvivalentního DKA • Shrnutí postupu konstrukce: • Vyjdeme z počátečního stavu NDKA – stav {q0} • Postupně použitím přechodového zobrazení  vyplňujeme přechodovou tabulku • Jednotlivémnožiny nově vznikajících stavů považujeme vždy za jeden stav nově konstruovaného automatu • Tyto stavy postupně dáváme do prvního sloupce tabulky a opět pro ně vyplňujeme přechodovou tabulku • Všech možných podmnožin je 2|Q|, a proto po konečném počtu kroků skončíme (nová množina stavů již nevznikne) • Všechny podmnožiny obsahující alespoň jeden koncový stav původního NDKA prohlásíme za koncové stavy DKA

16. Konstrukce ekvivalentního DKA • Tento postup je zcela obecný a realizovatelný pro každý nedeterministický konečný automat • Formální zápis tohoto postupu je důkazem dříve uvedené věty o ekvivalenci NDKA a DKA • Důsledky: • NDKA i DKA přijímají stejné jazyky, tj. zobecněním DKA na NDKA se příslušná třída jazyků nezmění • Podle toho, co nám v praxi bude vyhovovat, můžeme pracovat s DKA nebo NDKA, protože víme, že rozlišovací schopnost obou typů je stejná

17. Příklad 1 • NDKA: M1=({q0,q1,q2,q3},{0,1},,q0,{q1,q3}) • DKA: M2= ? • L(M1) = L(M2) = ?

18. Příklad 2 • NDKA: M1=({q0,q1,q2,q3},{0,1},,q0,{q3}) • DKA: M2= ? • L(M1) = L(M2) = ?

19. Další úlohy na automatech • Rozpoznávací experiment – nalezení nejkratšího slova, které rozlišuje dva různé stavy • Synchronizační problém – dovedení automatu z neznámého do konkrétního stavu • Nalezení redukovaného automatu (automat rozpoznávající tentýž jazyk s minimálním počtem stavů) - odstraní se nedosažitelné stavy - odstraní se nerozlišitelné stavy

20. Vztah KA a regulárních gramatik • Věta: Nechť G=(N,T,P,S) je regulární gramatika. Potom existuje konečný automat M=(Q,T, ,q0,F) takový, že L(M)=L(G). • Důkaz: konstrukcí KA Q=N{A}, AN (tj. nový symbol) T=T q0=S F = {S,A} pokud Se je pravidlo z P, jinak F = {A} : Pro Ba  P definujeme A  (B,a) BaC  P definujeme C  (B,a) a v ostatních případech Ø = (B,a)

21. Vztah KA a regulárních gramatik • Důkaz: 1) Je třeba dokázat, že ke každé derivaci SG w lze sestrojit odpovídající posloupnost přechodů (S,w) …. (A,e) Potom L(G)  L(M) 2) Je třeba dokázat, že ke každé posloupnosti přechodů (S,w) …. (A,e) existují příslušná přepisovací pravidla a lze tedy sestrojit odpovídající derivaci SG w Potom L(M)  L(G) Z čehož plyne: L(G) = L(M) cbd.    

22. Vztah KA a regulárních gramatik • Důsledek: Jelikož konečné automaty rozpoznávají věty regulárního jazyka, stávají se přirozenými modely analyzátorů překladačů. Na základě právě uvedené věty je možné lexikální analyzátor zkonstruovat automaticky z popisu regulární gramatiky. Na této větě je založena automatizace vybraných částí překladače a je to tedy věta nesmírně užitečná.

23. Příklad 3 • Mějme gramatiku G=({C,D},{+,-,0,1,…,9},P,C), kde P = {C +D | -D | 0 | 1 | … | 9 | 0D | 1D |…| 9D D  0 | 1 | … | 9 | 0D | 1D | … | 9D } • KA= ? • L(G) = ?

24. Vztah KA a regulárních gramatik • Věta: Nechť M=(Q,T, ,q0,F) je konečný automat. Potom existuje taková regulární gramatika G=(N,T,P,S), že L(M)=L(G). • Důkaz: konstrukcí gramatiky z DKA (stačí pro DKA) N = Q T = T S = q0 a P je definována následovně: BaC  P jestliže (B,a) = C Ba  P jestliže (B,a) = K  F Se  P jestliže q0  F

25. Příklad 4 • Ke konečnému automatu M=({q0,q1,q2,q3},{0,1},,q0,{q0}) najděte takovou regulární gramatiku G, aby platilo L(M)=L(G).

26. Vztah KA a regulárních gramatik • Věta: Jazyk L je regulární právě tehdy, když je rozpoznatelný konečným automatem. Souhrnná formulace obou dříve formulovaných vět.

27. Vztah KA a regulárních gramatik • Důsledek: Na základě obou zde uvedených vět je zřejmé, že regulárními gramatikami i konečnými automaty popisujeme naprosto identickou množinu jazyků. Rozdílný charakter popisu (generování vs. rozpoznávání vět jazyka) umožňuje ke stejnému jazyku přistupovat z různých hledisek a podle potřeb praxe Z aplikačního hlediska je velice cenná věta první (ke gramatice automaticky najdu automat), druhá věta se tolik v praxi nevyužívá

28. Vlastnostiregulárních jazyků • Věta: Nechť L1 a L2 jsou regulární jazyky. Potom L1 L2 , L1 L2 , T*\L1 a L1•L2jsou také regulární jazyky. • Důkaz: L1 L2 … dva automaty vedle sebe astačí jeden úspěšný L1 L2 … dva automaty vedle sebe aoba úspěšné T*\L1 … stačí udělat F`= Q\F L1•L2… dva automaty za sebou tak,že v koncovém stavu prvního automatu je vždy navázán automat druhý

29. Další příklady konečných automatů • Navrhněte automat přijímající jazyk nad abecedou {0,1}, jehož slova začínají 1 a končí 0 • Navrhněte automat přijímající jazyk nad abecedou {0,1}, jehož slova obsahují nejméně tři 1 • Navrhněte automat přijímající jazyk nad abecedou {0,1}, který přijímá slova končící sufixem 00 • Navrhněte automat přijímající jazyk nad abecedou {0,1}, jehož slova mají na lichých pozicích vždy znak 1

30. Další příklady konečných automatů • Navrhněte automat přijímající jazyk nad abecedou {a,b}, který přijímá slova nejvýše délky 4 • Navrhněte automat přijímající jazyk nad abecedou {a,b}, který přijímá všechna slova kromě aa a aaa • Navrhněte automat přijímající jazyk nad abecedou {a,b}, jehož slova obsahují podřetězec baba • Navrhněte automat přijímající jazyk nad abecedou {a,b}, jehož slova neobsahují podřetězec baba