Actividad Matemática y Evaluación

1. GUY BROUSSEAU Actividad Matemática y Evaluación CON LA COLABORACIÓN DE GINGER WARFIELD TRADUCCION DE DAVID BLOCK Y GRECIA GALVEZ Santiago de Queretaro

2. ArgumentoLa Retro-Innovación Santiago de Queretaro

3. Desde hace algunos años, se ha visto aparecer en Francia, como antes en otros países, en particular en los Estados Unidos de América, proposiciones para restablecer las concepciones educativas, los programas escolares y los métodos que estaban vigentes a principios del siglo XX. Santiago de Queretaro

4. El argumento principal de estos movimientos es “un descenso insoportable del nivel de los alumnos” que se debería a una cierta debilidad de los servicios públicos de enseñanza bajo la influencia nefasta de los “pedagogos”, de diversos ideólogos y de las corrientes de pensamiento de los años setenta. • Los retroinnovadores presentan como novedades las soluciones del pasado. Santiago de Queretaro

5. Estos movimientos se apoyan en interpretaciones simplificadas de evaluaciones recientes así como en representaciones muy seductoras, pero falsas, de las prácticas y de los resultados antiguos. • Aunque las motivaciones de estos movimientos sean esencialmente políticas y aunque éstos rechacen de antemano todos los estudios y todos los debates científicos, se puede analizar la componente didáctica de este fenómeno. Santiago de Queretaro

6. Entre 1969 y 1980 hemos obtenido algunos resultados relativos al uso de “evaluaciones a través de pruebas” y hemos previsto algunos de sus efectos. En particular, en 1978 una parte de estos resultados fue objeto de una presentación en la CIAEM V. • Me ha parecido oportuno recordar aquí este conjunto de resultados, confrontar las previsiones hechas en aquella época con lo que podemos observar ahora y completar el análisis. Santiago de Queretaro

7. A. La Nueva Evaluación y la Didáctica Racionalista Santiago de Queretaro

8. Evaluaciones a gran escala • En los años sesenta, a propósito de la cuestión racial, en Estados Unidos se realizó un gran estudio estadístico para determinar las responsabilidades de los diferentes agentes de la educación, en los éxitos y los fracasos escolares (National Longitudinal Study of Mathematical Abilities). • Esta indagación se basó en el uso de tests establecidos por equipos que utilizaron las taxonomías de objetivosde Bloom. Santiago de Queretaro

9. Este tipo de cuestionarios, con preguntas breves y respuestas estandardizadas, permitía tratar grandes muestras en forma automática. Se planteaban al final de un período de aprendizaje, se usaban a solicitud de los administradores y se interpretaban sin conocimientos que permitieran tomar decisiones fundadas sobre las prácticas didácticas. Santiago de Queretaro

10. Se podía prever que el uso de estos dos instrumentos técnicos, (taxonomías de objetivos y tests) se difundiría, utilizándose en pequeñas muestras, tales como una escuela o una clase, y banalizándose a solicitud de los administradores o de las familias para entrar en la intimidad del proceso didáctico... e intervenir directa o implícitamente. Santiago de Queretaro

11. Utilizados inicialmente en paralelo con los métodos clásicos –que la decimología ya criticaba- los tests iban a reemplazar a todas las formas tradicionales de control y, en consecuencia, a transformar las tomas de decisiones correspondientes. • Este hecho constituyó el anuncio de una evolución radical de la forma del control político de la difusión de los conocimientos, control que, en adelante, tendió a pasar de las manos de los ilustrados a las manos de los ciudadanos. • La necesidad de las evaluaciones no se discute, pero debemos analizar las decisiones didácticas que les están asociadas. Santiago de Queretaro

12. Didáctica « racional » 1. Bajo la influencia de los modelos industriales (PERT: Programa de Evaluación y Revisión Técnica), esta forma de control llevaría progresivamente a: • determinarlos conocimientos que hay que enseñar y a • evaluarlos conocimientos adquiridos, • mediante un único medio, el de los “tests característicos”. Santiago de Queretaro

13. Los currículos mismos, cuya supuesta función era describir la actividad de los alumnos y proporcionar los instrumentos prácticos para la enseñanza, en principio quedaron bajo la responsabilidad de los maestros, pero tendieron a enmarcarse en la pedagogía por objetivos. Santiago de Queretaro

14. 2. El principio de programación de estos métodos es la regla de la Información Previa Suficiente (RIPS), tomada en préstamo de la teoría de la comunicación: “para ser inteligible, un mensaje debe utilizar un repertorio de términos y una sintaxis conocidos por su destinatario”, • de donde, para ser aprendido, todo conocimiento nuevo debe ser construido con conocimientos adquiridos previamente. • Por ejemplo, La presentación estándar de los artículos y de las obras matemáticas obedece a esta regla: sólo puede usarse para demostrar un enunciado aquello que ha sido admitido, definido o demostrado previamente Santiago de Queretaro

15. 3. Aplicada a la enseñanza, esta regla implica que el profesor no puede pedir a los alumnos que produzcan una respuesta si él no la ha enseñado previamente… • Tomada al pie de la letra, esta regla prohibiría plantear problemas. • Esta regla condena a la enseñanza a presentar los conocimientos siguiendo un orden sistemático, en el cual el sentido y la adaptación a las condiciones existentes no juegan ningún rol. • Sin embargo, este orden de introducción de los conocimientos no guarda relación con los procesos efectivos, personales o históricos que producen conocimientos matemáticos. Santiago de Queretaro

16. El modelo racionalista de la didáctica • 1. La regla ISPsupone que toda enseñanza debe legitimarse realizando la condición de que todo conocimiento es “construido" por un procedimiento conocido por los alumnos, apoyándose en conocimientos que ya han adquirido Santiago de Queretaro

17. 2. De lo anterior se desprende un ordenamiento de los conocimientos basado en supuestas dependencias entre ellos: inserción (de lo simple a lo complejo, de lo general a lo particular, dependencia deductiva axiomática), o en relaciones establecidas durante su aprendizaje o su utilización (algoritmos, aplicaciones…) ya sea por simple yuxtaposición, etc. Santiago de Queretaro

18. 3. La determinación de objetivos operacionalizados que corresponden a estos conocimientos los que son, mediante este hecho, declarados necesarios. El resultado se presenta como un programa PERT • En consecuencia: cada etapa no lograda debe ser repetida hasta conseguir el éxito, todo lo que no es necesario no debe ser enseñado, pero todo lo que es enseñado debe ser aprendido. Santiago de Queretaro

19. Este modelo supone implícitamente que existe un procedimiento didáctico de base que permite enseñar cualquier conocimiento a cualquier persona (el axioma de Comenius). • El procedimiento de base puede ser laenseñanza por ostensión e imitación: hacer que se reproduzca algo hasta su ejecución perfecta. La comprensión es sólo un medio para acelerar el proceso. Santiago de Queretaro

20. B. Preguntas y temores Santiago de Queretaro

21. Primeras preguntas • ¿Cuál es la significación objetiva de una tasa de éxito del 30%? ¿del 60%? ¿del 90%? ¿Qué efectos y qué reacciones tiene esto? • ¿Esta significación es independiente de la etapa del proceso de aprendizaje en curso, en la cual se proponen estas pruebas? • ¿Tiene efecto al final del aprendizaje? Pero entonces ya no hay ninguna decisión didáctica que tomar, ¿durante el aprendizaje? Entonces, ¿qué decisiones pueden ser tomadas?. • ¿Qué hace el profesor cuando juzga que los resultados son insuficientes? Santiago de Queretaro

22. Empíricamente, ¿cómo interpretan los profesores las evaluaciones? ¿Qué previsiones sobre los resultados pueden hacer los profesores? • ¿Las evaluaciones formales representan bien a aquellas que utilizan tradicionalmente los profesores, sean éstas formales o informales? ¿Pueden representarlas? ¿completarlas? • ¿Representan estas evaluaciones menos bien o mejor los conocimientos de los alumnos? • Si los profesores utilizan estas evaluaciones formales, ¿conservarán la misma sensibilidad a sus “indicadores” informales habituales? Santiago de Queretaro

23. ¿Cuáles serán las consecuencias, a largo plazo, del uso banalizado de estas evaluaciones? ¿Qué influencia tendrán sobre las prácticas de los profesores, sobre los conocimientos de los alumnos, sobre los currículums y sobre la organización de la enseñanza? • ¿Qué rol jugarán estas evaluaciones en las relaciones de los profesores con sus alumnos, con los padres, entre los padres y los alumnos, entre los profesores de diferentes niveles con los responsables de la enseñanza? • ¿Este uso permitirá incrementar la ambición de los programas de matemáticas o la hará disminuir? ¿Qué rol jugarán estas evaluaciones más fáciles y más numerosas en las investigaciones sobre la enseñanza? Santiago de Queretaro

24. Primeros resultados experimentales • Los profesores no pueden prever, más que muy aproximadamente, los resultados globales, e incluso a veces individuales, de sus alumnos, y sólo para las preguntas de bajo nivel taxonómico. (E. Filloy?); • La dificultad de prever los resultados de pruebas de alto nivel está ligada a la ausencia de medios de enseñanza confiables para alcanzar estos objetivos en la concepción racionalista; • Aparentemente la única forma de conocimiento para la cual pueden considerar, sobre el mismo modelo, pruebas de control y ejercicios de aprendizaje es la de los bajos niveles taxónomico Santiago de Queretaro

25. Previsiones • En la medida en que existen aprendizajes que no están asegurados para todos los alumnos en un período finito, la modelación de las decisiones según la didáctica racionalista, anticipa las consecuencias siguientes: • a) La disminución de la velocidad de los aprendizajes: los fracasos provocan la prolongación del tiempo de enseñanza, • b) la atomización de los contenidos a enseñar, • c) y\o el aligeramiento del currículum • d) y\o la aceptación de tasas de éxito inferiores a 1 (ninguno excluye a los otros). Santiago de Queretaro

26. e) La discriminación local entre los alumnos que han aprobado una prueba y los que no la aprobaron, los que se supone que tienen mejores posibilidades de recorrer más rápidamente el currículo y los otros … • f) Por otra parte, el proceso es recursivo porque no existe ninguna regla que regule las estrategias inducidas. Santiago de Queretaro

27. Estas consecuencias eran fáciles de prever cuando comenzamos a manejar las bases de la teoría de las situaciones. (Ref. Mi comunicación en la CIAEM, en 1979) • Desde esa época el movimiento “back to basis” se ha ampliado bastante • Hoy en día Nichols et Berliner constatan los resultados que habíamos previsto. ¿Qué ha pasado? • ¿Podemos analizar el fenómeno con las T.S. ? Santiago de Queretaro

28. Interludio De la Teoría de las Situaciones Matemáticas a la de las situaciones didácticas Santiago de Queretaro

29. La Teoría de las Situaciones Matemáticas se basa en la modelación de las interacciones entre • un grupo de personas –los agentes - • y un medio (en francés : milieu. El medio es la parte del ambiente que interviene en el modelo), • que conduce a los agentes a manifestar y a aprender un comportamiento característico de un conocimiento matemático preciso. Santiago de Queretaro

30. Hemos buscado modelos de situaciones matemáticas para los principales conocimientos de la escolaridad obligatoria, Los hemos experimentado y observado entre 1970 y 1998 en el marco del proyecto COREM del IREM de Burdeos. Santiago de Queretaro

31. Esta teoría (TSM) apareció en 1969 en una perspectiva a la vez constructivista y estructuralista. • Pensábamos que sería posible enseñar las matemáticas, usando solamente estas situaciones matemáticas, sin enseñanza específica del maestro quien únicamente las presentaría y conduciría. Santiago de Queretaro

32. Esos modelos han permitido proponer buenas simulaciones de la actividad de los matemáticos y provocar el aprendizaje de conceptos modernos. • Hemos mostrado que algunos de estos conceptos podían ser entendidos por los estudiantes mas temprano que lo que pretendía Piaget. Santiago de Queretaro

33. La teoría permitió prever la existencia de obstáculos, una especie de dificultades, semejantes a lo que había detectado Bachelard en la historia de la física. • Después hemos podido descubrir obstáculos epistemológicos y didácticos en la enseñanza y en la historia de las matemáticas. Santiago de Queretaro

34. Más adelante, ciertas dificultades – observadas empíricamente - revelaron contradicciones que condujeron al rechazo de la conjetura constructivista: - Las situaciones matemáticas constructivistas pueden llevar a los alumnos a producir conocimientos, - pero no pueden transformar estos conocimientos en saberes, una “institucionalización” es necesaria. • Tuvimos que revisar nuestra posición y completar nuestro modelo Santiago de Queretaro

35. Las contradicciones del constructivismo radical y la imposibilidad de utilizarlo para la enseñanza, aparecieron entonces claramente. • Conclusiones : • Las situaciones matemáticas deben estar incluidas en situaciones didácticas especificas que a su vez ha sido necesario modelar (TSDM, 1980). • Por ejemplo la reacciones reales de los profesores a los errores de los alumnos no son conformes a lo que dice el modelo racionalista. Santiago de Queretaro

36. Resultados de TSDM • Existencia de obstáculos didácticos • Imposibilidad de enseñar un lenguaje y convenciones únicas desde el prescolar hasta la universidad • Imposibilidad del constructivismo radical • Las teorías del desarrollo dependen de las prácticas de enseñanza y de la didáctica elegida • Sospecha de que ningún sistema es falso o verdadero de manera universal : son las condiciones las que determinan la validez Santiago de Queretaro

37. Fin del interludio Santiago de Queretaro

38. Respuestas reales de los profesores La observación mostró que el abanico de respuestas de los profesores en caso de dificultades, comprende: • - Diversas estrategias de evitación, como los efectos “Topaze” y “Jourdain” • - Deslizamiento metadidáctico, por ejemplo la enseñanza de la heurística (problem solving methods) etc. Santiago de Queretaro

39. - Supercherías epistemológicas como el abuso de las analogías, etc. • La arborescencia de las posibilidades de reacción de los profesores está indicada en el cuadro de abajo. • Eso se explica por el hecho de que los profesores necesitan tomar en cuenta el rol de los conocimientos y de los saberes en el proceso de aprendizaje y en el de enseñanza. Santiago de Queretaro

40. Tentativa de enseñanza Reconocido por el maestro No reconocido por el maestro Fracaso percibido Ante el alumno Nuevo intento “independiente” Implícitamente Explícitamente Se retoma la tentativa “reduciendo” el problema Justificación o recuperación del intento, nueva explicación No identificado (por el alumno) Identificado reconocido Proceso de los errores Efecto de la analogía Proceso del alumno Proceso de la asignatura Reiterada Ilusión empirista Reducción no reconocida Reducción reconocida Proceso del conocimiento Efecto Deslizamiento metadidáctico Efecto Topaz Aplastamiento sobre la enseñanza formal El profesor escoge libremente un hecho clasificado y reconstruye su significado Aprendizaje fragmentado Metáforas heurísticas Efecto Jourdain Efecto “Bloom” Ruptura teórica /práctica Desaparición del saber Santiago de Queretaro

41. la TSD describe de manera diferente el uso y el aprendizaje de las matemáticas • En particular, distingue los conocimientos de los saberes • la TSDM describe la aculturación de una sociedad de agentes a otra sociedad a través las negociaciones de contratos didácticos, • Y permite mostrar que el uso “racionalista” de las evaluaciones no está adaptado para la gestión de los aprendizajes que están en proceso • Necesidad de estudiar los aprendizajes en un marco amplio. Santiago de Queretaro

42. El estudio del proceso Santiago de Queretaro

43. Continuaremos con : • Conocimientos y saberes • Confusión entre conocimientos y saberes • Necesidad de una gestión conjunta de los conocimientos y de los saberes • Inconvenientes del aprendizaje a través de la corrección de los errores (explicación de 1978) • Multiplicación de los objetivos y deslizamiento metadidáctico Santiago de Queretaro

44. Conocimientos y saberes • La Teoría de las Situaciones Matemáticas (1969) destacaba claramente la importancia de distinguir las condiciones que determinan diferentes roles de los conocimientos en los procesos matemáticos y en los aprendizajes. • Un mismo conocimiento matemático se manifiesta, según las situaciones matemáticas, mediante comportamientos diferentes, procedentes de procesos de aprendizaje diferentes y, por ello, estos comportamientos juegan un rol complejo e importante en las situaciones de enseñanza. Santiago de Queretaro

45. Para describir la acción de un actor, esta teoría distinguía modelos de acción (o esquemas) informulables por el actor, instrumentos de formulación y de comunicación, instrumentos de prueba y conocimientos de referencia para el sujeto (conocimientos institucionalizados o saberes). • ¿Cómo consideran las nuevas formas de evaluación a las diferentes formas de conocimiento? Para responder a las necesidades de nuestro estudio, utilizando una distinió antigua en las lenguas latinas, hemos reagrupado estas formas en dos grandes funciones: los conocimientos y los saberes. Santiago de Queretaro

46. Los conocimientos se manifiestan en las decisiones del agente en situaciones inciertas (sus actos, sus palabras, sus explicaciones), los saberes aparecen como referencia, conocimientos seguros, admitidos, e institucionalizados. • Los saberes son los medios culturales de identificación y de reconocimiento de los conocimientos. Santiago de Queretaro

47. Los saberes y los conocimientos son necesarios y complementarios, pero son aprendidos, o adquiridos espontáneamente, según procesos diferentes, en circunstancias diferentes. • Por ejemplo, en el siglo XVIII, la comunidad de matemáticos, conoce la noción de función, pero le es necesario esperar un siglo para que este concepto de función se convierta en un saber para ella, definido de manera categórica. Santiago de Queretaro

48. Las taxonomías de objetivos distinguían bajos niveles taxonómicos, que comprendían adquisiciones de conocimientos simples (acordarse de palabras, de hechos aislados), su comprensión, sus aplicaciones, y altos niveles taxonómicos que concernían al análisis, la síntesis, el juicio, es decir, sistemas de acciones complejas. • En un momento dado de un estudio los conocimientos de bajo nivel corresponden más bien a saberes y los de alto nivel a conocimientos. Santiago de Queretaro

49. La “racionalización” de la evaluación por medio de tests parecía ignorar de qué manera los profesores y los alumnos podrían utilizar sus resultados. Se creía, o se fingía creer, que los profesores y los alumnos harían buen uso de ella • La gestión clásica por los maestros es mucho más compleja de lo que supone el modelo clásico… y sin embargo los resultados son limitados. • Dichos limites no son ni aceptados ni estudiados por la sociedad. • La didáctica “racionalista” no puede superar estas limitaciones. Santiago de Queretaro

50. Estudio de los Procesosdidácticos • Apoyándonos en el estudio de concepciones epistemológicas espontáneas de los profesores y en la cultura didáctica clásica que les está asociada, hemos estudiado algunas conjeturas. • Las evaluaciones institucionales de cohortes de numerosos alumnos deben utilizar pruebas fáciles de aplicar, de corregir y de comparar. Sin embargo, a través de esos métodos se pueden evaluar únicamente saberes (cada ítem tiende a evaluar un conocimiento, necesariamente identificado, en un contexto reducido independiente de su funcionamiento, y por lo tanto en su función de “saber”). Santiago de Queretaro