O TPORNOST MATERIJALA

1. OTPORNOST MATERIJALA Naponi 1

2. ANALIZANAPONA F (N) Jedinica u Si-sistemu je Paskal (Pa) Pa=N/m2 MPa=106Pa GPa=109Pa kN/cm2=10 MPa N/mm2=MPa Jedinična površina (m2) U tečnostima pritisakjedinica bar=105 Pa 2

3. TENZOR NAPONA Telo je opterećeno spoljašnjim silama U telu se javljaju reakcije kao unutrašnje sile ravan preseka  A  n Svaka ravan ima normalu na ravan n Posmatramo tačku A u ravni  Kroz tačku A možemo da postavimo beskonačno mnogo ravni i 3

4.  n1 Posmatramo tri ravni kroz tačku O Ravni su upravne među sobom  n A ravan preseka  Normala ravni y0z je x osa ravan preseka 1 Normala ravni x0y je z osa Normala ravni x0z je y osa z ravan y0z Znači: svakoj ravani koja je paralelna ravni y0z normala na ravan je paralelna x osi ravan x0z y svakoj ravani koja je paralelna ravni x0y normala na ravan je paralelna z osi 0 svakoj ravani koja je paralelna ravni x0z normala na ravan je paralelna y osi ravan x0y x 4

5. z ravan y0z Svaku silu kroz tačku O možemo Projektovati na jednu od tri ravni i na normalu na tu ravan ravan x0z Sve tri sile sada su jednoj kosoj ravni y 0 Sila je prikazana preko projekcija pa nam više nije potrebna ravan x0y Silu u ravni x0y možemo projektovati na ose x i y x Uklonićemo i tu silu jer je menjaju projekcije Tako smo dobili projekcije sile na tri upravna pravca 5

6. ravan preseka  F l A  dA t    t l n Dobili smo napon u pravcu normale n to je normalni napon i dva smičuća napona u ravni preseka t i l 6

7. Znači: za jednu ravan kroz taču A imamo jedan normalni i dva smičuća napona Kroz tačku A imamo beskonačno mnogo ravni a samim tim i beskonačno mnogo normalnih i smičućih napona Može se pokazati da je stanje napona u tački poznato ako su poznate normalne i smičuće komponente napona za tri međusobno upravne ravni Ako su to ravni koorinatnog sistema tada su to naponi z ravan x0z Normalni naponi xx , yy i zz ravan y0z Smičući naponi y xy , xz , yx , yz , zx i zy 0 ravan x0y x 7

8. z A  zz zy zx dA yz yy y xz xy 0 yx U matričnom zapisu imamo Kako čitamo: xx xz- smičući napon u tački u pravcu z ose za ravan sa normalom u x pravcu x pravac normale na ravan pravac napona 8

9. Košijev tenzor napona-prostorno stanje napona y y yx B x A ravnostanjenapona x M yx y x linearno stanje napona x x 9

10. Dokazano da su van dijagonalni elementi tenzora napona jednaki Stav o konjugovanosti smičućih napona xy = yx , xz = zx , yz = zy Tako da je za poznavanje napona u tački potrebno poznavati Tri normalna napona i tri smičuća napona = = = 10

11. RAVNOSTANJENAPONA Akonaponideluju u ravni, odnosnonemakomponenti u pravcu z ose Tada je naponsko stanje ravno Normalni naponi Smičući naponi xx , yy i zz xy , xz , yx , yz , zx i zy y y yx B Tenzor napona za ravnostanjenapona x A x M yx y 11

12. Naponi i proizvoljnoj ravni čija normala zaklapa ugao  sa x osom y Poznajemo napone y n D n n C M n   x x A ravan -normalninapon -smičućinapon 12

13. Pitanje gde su normalni naponi najveći (glavninaponi) Ugao pod kojim se nalazi normala na ravan glavnih napona y I 2 II Dobijamo dva međusobno upravna pravca 1 i 2 2 1 1 Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz I i III kvadrant  x Ako je xy 0 osa 1 prolazi kroz II i IV kvadrant III IV Vrednosti glavnih napona tada su -maksimalni glavni napon -minimalni glavni napon 13

14. *U ravniglavnihosasmičućinapon je jednaknuli. τ=0 y 2 Ekstremne vrednost smičućih napona dobjamo kao s /4 1 max  x Koji deluje u ravni sa normalom pod uglom +45 Njemu odgovarajući normalni napon je 14

15. Morov krug napona To je jednačina kruga sa centrom i poluprečnikom 15

16. Kako ga konstruišemo 1. Nacrtamo koordinatni sistem  0 B(y; yx) A(x; xy) 2. Odredimo tačke 3. Spojimo tačke A i B i gde seku  osu tu je centar kruga 4. Opišemo krug iz centra a da prolazi kroz tačke A i B. U krajnjim Presecima kruga sa  osom dobijamo ekstremne vrednosti napona 1 i 2 5. Odredimo pol P (povučemo iz A horizontalno a iz B vertikalnu pravu) . One se seku na krugu. To je pol P 6. Glavni pravci se dobijaju spajanjem pola P sa maksimalnim vrednostima napona 1 i 2 16

17. -xy +yx 120 max A(x; xy) 110 N 100 B(y; yx) (2) 90 n 80 B 70 60 50 n 40 (1) 30 20 C 1 2 10 - 90 80 100 110 70 120 10 60 20 50 30 40 + 30 40 10 20 50 80 60 70 10 /4 20 30 40 =50 50 60 A P 70 80 90 100 110 120 -yx +xy 17

18. Specijalnanaponskastanja -Linearnostanjenapona - pritisakizatezanje x0 - zatezanje x0 - pritisak y x -tenzor napona A x x M y=0 yx=xy=0 y=0 -pritisak -zatezanje 18

19. Specijalnanaponskastanja -Čisto smicanje x=0 y y=0 xy x A M

20. Specijalnanaponskastanja -Izotropno stanje x=y y x A M

21. ZADATAK 2.1 Utački M zadato je ravnostanjenapona (Mpa) Odreditianalitičkiigrafičkipomoću Morovogkruganapona: -normalniismičućinapon u ravničijanormalazaklapaugaood=50° sa x-osom, -glavnepravceiglavnenapone -maksimalnismičućinaponiodgovarajućinormalninapon -skiciratiorjentiraneelemente u tački M zasvakikoordinatnisistemsaucrtanimkomponentamanapona. ravnostanjenapona y y yx B x A x x M yx y 21

22. ANALITIČKO REŠENJE y a)Vrednostinapona u zarotiranomkoordinantnomsistemuslika b) datisuizrazima D n n C M n  -normalninapon x -smičućinapon 22

23. vrednostitrigonometrijskihfunkcija cos2=cos(100°)=-0.17365 sin2=sin(100°)=0.98481 MPa MPa *naslici b) prikazanisuovinaponi. Normalninapon je pozitivanismer mu je u smerunormalenaravan. Smičućinapon je pozitivanideluje u smerukaonaslici. Pozitivansmer se dobijakada se rotacijom u pozitivnommatematičkompravcusmernapona poklopisasmeromnormalenaravan. y n n  n C D x M b) 23

24. Glavnipravciiglavninaponi y 2=-80 MPa 2 1 ugaokojiglavnipravaczaklapasapozitivnimdelom x ose  x ugao α nanosimo u pozitivnommatematičkomsmeruodose x *U ravniglavnihosasmičućinapon je jednaknuli. τ=0 2 1 24

25. Maksimalnismičućinapon y 2 ravni u kojoj je smičućinaponmaksimalanzaklapasaglavnimpravcimaugaood π/4 (45°) U odnosuna x osutajugao je α+π/4=18.435+45=63.435 s /4 1 max  x odgovarajućinormalninapon 25

26. +yx -xy 120 max=100 A(x; xy) 110 N 100 B(y; yx) (2) 90 n=89,20 80 B(-60;60) 70 60 50 40 (1) 30 n=65,20 20 C(20; 0) 1 2 10 - 90 80 100 110 70 120 10 60 20 50 30 40 + 30 40 10 20 50 80 60 70 10 /4 20 30 40 =50 50 60 A(100;-60) P 70 80 90 100 110 120 -yx +xy 26

27. +yx -xy 120 max=100 A(x; xy) 110 100 N B(y; yx) (2) 90 n=89,20 80 B(-60;60) 70 60 50 40 (1) 30 n=65,20 20 1 2 10 - 90 80 100 110 70 120 10 60 20 50 30 40 + 30 40 10 20 50 80 60 70 10 /4 20 30 40 =50 50 60 A(100;-60) P 70 80 90 100 110 120 +xy -yx 27