FUNKCJA L I N I O W A Autorzy: Jolanta Kaczka Magdalena Wierdak

1. FUNKCJA L I N I O W A Autorzy: Jolanta Kaczka Magdalena Wierdak Michał Dunaj Krzysztof Szewczyk Uczniowie klasy 2d LO Kołaczyce

2. 1. Definicja funkcji liniowej. 9. Funkcja parzysta. 2. Definicja miejsca zerowego funkcji liniowej. 10. Funkcja nieparzysta. 3. Wykres funkcji w zależności od współczynnika a . 11. Wykres funkcji y=ax i zależności. 4. Monotoniczność funkcji. 12. Funkcja signum. 5. Równość funkcji. 13. Wykresy charakterystycznych funkcji. 6. Funkcja różnowartościowa. 14. Działania na funkcjach. 7. Funkcja odwrotna. 15. Największa i najmniejsza wartość funkcji. 8. Funkcja ograniczona.

3. DEFINICJA FUNKCJI LINIOWEJ. • Funkcję określoną wzorem , gdzie i są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, nazywamy funkcją liniową. • Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych R; zbiorem wartości jest również R (jeśli tylko ). W niektórych zadaniach dziedzinę ogranicza się do pewnych podzbiorów zbioru R. POWRÓT DO MENU

4. DEFINICJA MIEJSCA ZEROWEGO. • Miejscem zerowym funkcji nazywamy liczbę , dla której . Miejsce zerowe znajdujemy jako pierwszą współrzędną punktu przecięcia wykresu z osią x. Aby wyznaczyć rachunkowo miejsca zerowe, rozwiązuje się równanie . • Mówimy, że wielkości niezerowe x i y są wielkościami wprost proporcjonalnymi, gdy ich iloraz jest stały, tzn.: • gdzie a jest stałą. Wobec tego każda funkcja postaci (gdzie a jest stałą) przedstawia zależność między wielkościami wprost proporcjonalnymi. POWRÓT DO MENU

5. WYKRES FUNCJI LINIOWEJ W ZALEŻNOŚCI OD WSPÓLCZYNNIKA a . C.D. 

6. C.D. 

7. POWRÓT DO MENU

8. MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI. • -funkcja rosnąca: • Funkcję nazywamy rosnącą w zbiorze A, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych zachodzi warunek: • jeśli to . • > PRZYKŁAD < • Zbadamy, czy funkcja jest rosnąca. Weźmy dowolne , zatem . Wobec tego • Stąd wynika, że , tzn. . C.D. 

9. - funkcja malejąca: Funkcję nazywamy malejącą w zbiorze A, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych zachodzi warunek: jeśli to . > PRZYKŁAD < Zbadamy czy funkcja jest malejąca. Weźmy dowolne , zatem: Stąd wynika, że . Ten wynik oznacza, że funkcja jest malejąca w całej dziedzinie. C.D. 

10. - funkcja stała: Funkcję nazywamy stałą w zbiorze A, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych zachodzi warunek - funkcja nierosnąca: Funkcję f nazywamy nierosnącą w zbiorze A, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych zachodzi warunek: to . - funkcja niemalejąca: Funkcję f nazywamy niemalejącą w zbiorze A, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych zachodzi warunek: to . POWRÓT DO MENU

11. RÓWNOŚĆ FUNKCJI. • Dwie funkcje f i g są równe wtedy i tylko wtedy, gdy: • i dla POWRÓT DO MENU

12. 6. FUNKCJA RÓŻNOWARTOŚCIOWA. Funkcję , która każdej parze różnych argumentów przyporządkowuje się różne wartości, tzn. taką, że: nazywamy różnowartościową. C.D. 

13. POWRÓT DO MENU

14. FUNKCJA ODWROTNA. • Jeśli funkcja , jest różnowartościowa i odwzorowuje zbiór X na zbiór, gdzie Y jest równe przeciwdziedzinie funkcji, to to funkcję określoną następująco: • dla dowolnego wartością jest jedyny element taki, że , nazywamy odwrotną do funkcji. • Funkcją odwrotną do jest funkcja . • Jeżeli funkcja ma funkcję odwrotną , to funkcję nazywamy funkcją odwracalną. • Jeżeli obrazem wykresu funkcji w symetrii względem prostej jest wykres funkcji przekształcającej pewien podzbiór X w Y, to funkcja jest odwracalna. C.D. 

15. POWRÓT DO MENU

16. FUNKCJA OGRANICZONA. • Funkcję , której zbiór wartości jest ograniczony, nazywa się funkcją ograniczoną: POWRÓT DO MENU

17. 9. FUNKCJA PARZYSTA. Funkcję określoną w zbiorze nazywamy parzystą jeżeli dla każdego argumentu liczba oraz . Funkcja jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest symetryczny względem zera oraz oś OY jest osią symetrii wykresu tej funkcji. C.D. 

18. POWRÓT DO MENU

19. FUNKCJA NIEPARZYSTA. • Funkcję określoną z zbiorze nazywamy nieparzystą, jeżeli dla każdego argumentu liczba oraz • Funkcja jest nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jest symetryczny względem zera oraz punkt jest środkiem symetrii wykresu tej funkcji. C.D. 

20. POWRÓT DO MENU

21. WYKRES FUNKCJI i ZALEŻNOŚCI. • Wykresem funkcji jest prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych i punkt (1,a). • Wyraz a nazywa się współczynnikiem kątowym wykresu funkcji . • - jeśli a>0, to funkcja jest rosnąca • - jeśli a<0, to funkcja jest malejąca • - jeśli a=0, to funkcja jest stała • Jeśli a>0, to prosta będąca wykresem funkcji jest nachylona do dodatniej półosi x pod kątem ostrym. Jeśli a<0, to prosta będąca wykresem funkcji jest nachylona do dodatniej półosi x pod kątem rozwartym. Jeśli a=0, to prosta będąca wykresem funkcji pokrywa się z osią x. C.D. 

22. C.D. 

23. Wykresem funkcji jest prosta równoległa do wykresu funkcji , która przecina oś y w punkcie (0,b). Ponieważ wykresem funkcji jest prosta, więc wystarczy obrać dwa punkty leżące na wykresie, by narysować cały wykres. POWRÓT DO MENU

24. 12. FUNKCJA SIGNUM. Funkcja signum przypisuje każdej liczbie rzeczywistej jej znak w następujący sposób: każdej liczbie rzeczywistej dodatniej przypisuje liczbę 1, każdej liczbie rzeczywistej ujemnej liczbę –1, natomiast liczbie 0, przypisuje liczbę 0. C.D. 

25. POWRÓT DO MENU

26. 13. WYKRESY CHARAKTERYSTYCZNYCH FUNKCJI. 1. C.D. 

27. 2. C.D. 

28. 3. POWRÓT DO MENU

29. 14. DZIAŁANIE NA FUNKCJACH. - symetria osiowa względem osi OX. C.D. 

30. - symetria osiowa względem osi OY POWRÓT DO MENU

31. 15. NAJWIĘKSZA I NAJMNIEJSZA WARTOŚĆ FUNKCJI. a) Funkcja liczbowa przyjmuje największą wartość dla wtedy i tylko wtedy, gdy: oraz dla każdego zachodzi nierówność . b) Funkcja liczbowa przyjmuje najmniejszą wartość dla wtedy i tylko wtedy, gdy oraz dla każdego zachodzi nierówność . POWRÓT DO MENU