1 / 47

Dane informacyjne szkoły zapraszającej

Dane informacyjne szkoły zapraszającej Nazwa szkoły: Gimnazjum im. Powstańców Wielkopolskich w Stęszewie ID grupy: 98/12_mf_g1 Kompetencja: Matematyka Semestr/rok szkolny: drugi / 2010-2011 Temat projektowy: W świecie liczb. DANE INFORMACYJNE SZKOŁY ZAPRASZANEJ:. Nazwa szkoły:

oakley
Download Presentation

Dane informacyjne szkoły zapraszającej

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Dane informacyjne szkoły zapraszającej Nazwa szkoły: Gimnazjum im. Powstańców Wielkopolskich w Stęszewie ID grupy: 98/12_mf_g1 Kompetencja:Matematyka Semestr/rok szkolny: drugi / 2010-2011 Temat projektowy: W świecie liczb

  2. DANE INFORMACYJNE SZKOŁY ZAPRASZANEJ: • Nazwa szkoły: • Gimnazjum nr. 2 im. Władysława Sikorskiego w Złocieńcu • ID grupy: 98/58_mf_g1 • Opiekun: Agnieszka Włodarczyk • Kompetencja: • Matematyczno- Fizyczna • Temat projektowy: • W świecie liczb • Semestr/rok szkolny: II / 2010-2011

  3. Liczba π

  4. π • Liczba π (czytaj: liczba pi), ludolfina[1] – stałą matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej π jest równe stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1 albo jako najmniejszą dodatnią wartość x, dla której sin(x) = 0.

  5. π = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095  50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193  85211  • 05559 64462 29489 54930 38196...

  6. Z historii: • Symbol π wprowadził w 1706 roku William Jones w książce Synopsis Palmariorum Mathesos (π jest pierwszą literą greckiego słowa περίμετρον - perimetron, czyli obwód) a rozpowszechnił go później Leonhard Euler. Liczba π jest znana także jako stała Archimedesa lub ludolfina – tak została nazwana na cześć Ludolpha van Ceulena (obaj obliczyli przybliżone wartości π).

  7. Niewymierność i przestępność liczby π • Liczba π jest liczbą niewymierną, co oznacza, że nie może być zapisana jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Udowodnił to w roku 1761 Johann Heinrich Lambert. Co więcej, jest ona liczbą przestępną, co w 1882 roku wykazał Ferdinand Lindemann. Oznacza to, że nie istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych, którego π jest pierwiastkiem. W rezultacie nie jest możliwe zapisanie π za pomocą skończonego zapisu złożonego z liczb całkowitych, działań arytmetycznych, ułamków oraz potęg i pierwiastków.

  8. Niewymierność i przestępność liczby π • Niemożliwa jest klasyczna konstrukcja (wyłącznie przy pomocy linijki i cyrkla) kwadratu o powierzchni równej powierzchni danego koła, gdyż współrzędne wszystkich punktów, które mogą być skonstruowane w taki sposób, należą do zbioru liczb nazywanych liczbami algebraicznymi. Problem ten zwany jest kwadraturą koła i choć nie ma on ścisłego rozwiązania, to istnieją konstrukcje przybliżone. Powiązanym, również niemożliwym do rozwiązania problemem, jest problem rektyfikacji okręgu, do którego również istnieją konstrukcje przybliżone, z których za jedną z najprostszych uchodzi konstrukcja Adama Adamandego Kochańskiego.

  9. Przybliżona konstrukcja Kochańskiego.

  10. Dowód niewymierności π • Oznaczać to będzie, że przyjęte założenie do wzoru π prowadzi do sprzeczności, gdyż ciąg liczb całkowitych dodatnich nie może być zbieżny do liczby 0.

  11. Często występujące przekształcenia π

  12. Najpopularniejsze aproksymacje wartości π • Liczne wzory pozwalające wyliczać π z dowolną dokładnością podane są na końcu artykułu. W praktyce posługujemy się przybliżonymi wartościami 3,14 lub 22/7, rzadko kiedy trzeba korzystać z przybliżeń dokładniejszych: 3,1416 lub 3,14159 albo w postaci ułamka zwykłego 355/113 lub 52163/16604 (dwa ostatnie ułamki są równe π z dokładnością do 6 miejsc po przecinku).

  13. Zagadki matematyczne

  14. Zagadka nr 1 • Pan Klewer na pytanie, jaki jest numer jego biletu odpowiedział :Każde dwie cyfry numeru mojego biletu są różne. Jeśli wszystkie sześć dwucyfrowych liczb, które można otrzymać z cyfr numeru zsumujemy, to połowa otrzymanej sumy jest numerem mojego biletu. Jaki jest numer biletu Klewera?

  15. Rozwiązanie zagadki 1 • Najpierw musimy ustalić ile cyfr ma numer biletu. Wiemy, że istnieje sześć możliwych dwucyfrowych kombinacji - więc jeżeli przez x oznaczymy liczbę cyfr to: x (x - 1) = 6 x^2 - x = 6 x^2 - x + 0,25 = 6,25 (x - 0,5 )^2  = 6,25 x - 0,5 = 2,5        lub        x - 0,5 = - 2,5 x = 3                    lub        x = - 2 • Liczba cyfr musi być liczbą naturalną więc numer biletu jest trzycyfrowy. Możemy zapisać go więc w postaci: 100a + 10b + c gdzie a, b i c są poszukiwanymi cyframi. Suma możliwych kombinacji to: 10a + b + 10a + c + 10b + c + 10b + a + 10c + a + 10c + b = 22a + 22b + 22c • Z treści zadania wiemy, że numer biletu to połowa sumy możliwych kombinacji jego cyfr więc:

  16. Ciąg dalszy rozwiązania 11a + 11b + 11c = 100a + 10b + c 11(a + b + c) = 100a + 10b + c Musi więc to być liczba podzielna przez 11. Zmienne a, b i c muszą spełniać również warunki: 10 < lub = (a + b + c) < lub = 24 ponieważ suma trzech największych różnych cyfr jest równa 24 a najmniejsza trzycyfrowa liczba podzielna przez 11 to 110. Tak więc przedział, w którym występuje numer biletu to110 < lub = 100a + 10b + c < lub = 264 • Teraz musimy sprawdzić po kolei każdą liczbę z tego przedziału podzielną przez 11. Jedyną liczbą, która spełnia podane warunki jest 198 i to jest rozwiązanie tego zadania.

  17. Zagadka nr 2 • Wyszedłem z domu mając w kieszeni pewną liczbę złotówek i pięciozłotówek; razem kwotę większą od 140 zł, a mniejszą od 150 zł. Wydałem trzecią część posiadanej gotówki, pozostało mi tyle złotówek, ile przedtem miałem pięciozłotówek, i tyle pięciozłotówek ,ile przedtem miałem złotówek. Ile miałem złotówek, a ile pięciozłotówek, gdy wychodziłem z domu?

  18. Rozwiązanie zagadki 2 • Oznaczenia: m - il. złotówek, n - il. pięciozłotówek przy wyjściu z domu;                            K(0) - kwota początkowa, K(k) - kwota końcowa. • Rozwiązanie:  m=14, n=26 • Dróżka rozumowania:    K(0) musi "się dzielić" przez 3, zatem może przyjmować tylko jedną z wartości 141, 144 lub 147.  K(k) odpowiednio - 94,96 lub 98.                      Wiemy, że n musi być mniejsze niż 150/5 i większe od m, czyli 23<n<30. Dodatkowo, obserwując spadek K(k) w powiązaniu ze wzrostem n. odrzucamy n>26 oraz n<26.

  19. Zagadka nr 3 • Masz 12 litrów wody w dwunastolitrowym naczyniu. Za pomoca naczyń o pojemności 5 i 8 litrów odmierz 6 litrów wody.

  20. Rozwiązanie zagadki 3 • 1) napełnić zbiornik 8-io litrowy;2) ze zbiornika 8-io litrowego przelać do pełna do 5-io litrowego;3) zawartość 5-io litrowego przelać do naczynia głównego;4) resztę ze zbiornika 8-io litrowego (czyli 3 litry) przelać do pustego 5-io litrowego;5) napełnić pojemnik 8-io litrowy;6) z pojemnika 8-io litrowego przelać do pełna do pojemnika 5-io litrowego (są w nim już 3  litry).PRZELEJEMY TYLKO 2 LITRY WOBEC CZEGO W 8-IO LITROWYM POJEMNIKU POZOSTANIE 6 LITRÓW!

  21. Zagadka nr 4 • Na pewnym kontynencie jest kraj, a w tym kraju jest miasto a w tym mieście jest miejscowość, w której jest bar. W tym barze jest tyle ludzi ile jest kropek na kostce do chińczyka.  Jest  (sarna,  idea,  era,  duch, etyka, mianownik) stolików. Przy każdym jest ( człowiek bez 17 palców) ludzi. Każdy pije inne piwo, a brunet wino. W barze są stoliki z jedną nogą, i krzesła które mają cztery nogi mniej niż liczba (kaktus, kot, ono, pal, twarożek kiri, szpak, ó, rów). Krzeseł nie jest ani za dużo, ani za mało. Ile jest nóg od krzeseł w tym barze? 

  22. Rozwiązanie zagadki 4 • Sarna Idea Era Duch Etyka Mianownik czyli jest: 7 -stolików • człowiek BEZ 17 Palców czyli zostają mu trzy palce jest: • 3-ludzi (przy każdym stoliku) • kaktuS, kaT, onO, paL, twarożek kirI, szpaK, Ó, róW • czyli krzesło ma: 7(liczba stolików) - 4("krzesła które mają cztery nogi mniej") = 3 • czyli 1 krzesło ma 3 nogi • Teraz liczbę stolików mnożymy przez liczbę ludzi 7*3=21 21*3= 63 • Nóg od krzeseł jest 63.

  23. Zagadka nr 5 • Dwóch urwisów skradło z ogrodu jabłka. Wracając do domu spotkali księdza, który zagroził im, że jak nie oddadzą połowy swoich jabłek i połówki jabłka ekstra to wyklnie ich z ambony. Chłopaki przelękli się księdza i dali mu połowę swoich jabłek i pół jabłka ekstra. Po drodzę spotkali jeszcze policjanta, który również zabrał im połowę tego, co im zostało oraz pół jabłka ekstra. Na koniec spotkali jeszcze menela i ten również zabrał im połowę jabłek i pół jabłka ekstra. Okazało się, że na koniec zostało im tylko jedno jabłko. Ile zwinęli jabłek z ogrodu?

  24. Rozwiązanie zagadki 5 • Zostało im 1 jabłko. • Menel zabrał połówkę tego co mieli, a później jeszcze 0,5 jabłka, więc przed spotkaniem menela mieli: • (1+0,5)*2=3 • analogicznie z policjantem • (3+0,5)*2=7 • i księdzem • (7+0,5)*2=15 •  Ukradli 15 jabłek

  25. a b a + b ZŁOTY PODZIAŁ

  26. Czym jest złoty podział? Złoty podział podział harmoniczny, złota proporcja, boska proporcja (łac. divina proportio) – podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej (stosunek ten nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ - czyt. "fi"). Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnią geometryczną długości krótszej części i całego odcinka. Złota liczba związana ze złotym podziałem zadziwiała przez stulecia matematyków, architektów, botaników, fizyków i artystów niezwykle interesującymi własnościami.

  27. GDZIE SIĘ GO WYKORZYSTUJE? Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych, itp. Znany był już w starożytności i przypisywano mu wyjątkowe walory estetyczne. Stosowano go np. w planach budowli na Akropolu.

  28. Parthenon na Akropolu • Plan świątyni jest złotym prostokątem • Fronton świątyni mieści się w złotym prostokącie

  29. Wzory i zależności • Złota liczba jest dodatnim rozwiązaniem równania: • Dokładna wartość: • Przybliżona wartość: • Kwadrat złotej liczby: • Odwrotność złotej liczby: • Dokładna wartość: • Przybliżona wartość:

  30. a + b a a b a b a + b Złoty podział odcinka • Stosunek dłuższej części odcinka do krótszej, jest taki sam, jak stosunek całego odcinka do dłuższej części. • Liczba wyrażająca stosunek złotego podziału to złota liczba (oznaczana grecką literą φ(fi)).

  31. Liczby pierwsze i względnie pierwsze

  32. Liczby względnie pierwsze • To takie liczby, których największy wspólny dzielnik to 1. Oznacza to, że żadna liczba naturalna większa od 1 nie dzieli jednocześnie tych liczb. Każde dwie kolejne liczby naturalne są względnie pierwsze.Każde dwie liczby parzyste nie są względnie pierwsze.

  33. Przykłady liczb względnie pierwszych • 15 = 3 · 5 28 = 2 · 2 · 7 wspólne czynniki: brak NWD(15, 28) = 1Odp.:Liczby 15 i 28 są względnie pierwsze._________________________________ • 25 = 5 · 5 27 = 3 · 3 · 3 wspólne czynniki: brak NWD(25, 27) = 1Odp.: Liczby 25 i 27 są względnie pierwsze.

  34. Liczby pierwsze • To liczby naturalne, podzielne tylko przez 1 i samą siebie. Liczby 0 i 1 nie są zaliczane do liczb pierwszych, ani do złożonych. • Oto kilka początkowych liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ... Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Twierdzenie to udowodnił w IV w. p.n.e. matematyk grecki Euklides .

  35. Liczby olbrzymy • Z liczbami-olbrzymami spotykamy się nie tylko w obliczeniach naukowych, bajkach, legendach, ale i w przyrodzie, zarówno w mikroświecie, w świecie atomów, jak i w makroświecie, w kosmosie, w świecie galaktyk. Liczba fizyczna jest wynikiem porównania jakiejś wielkości z inną przyjętą za jednostkę miary. Nasze ludzkie jednostki są zbyt duże w świecie atomów, a zbyt małe w świecie galaktyk. Człowiek stoi więc na granicy dwu światów: "nieskończenie" małego i "nieskończenie" wielkiego.

  36. Ciekawostki • Masa całego znanego obecnie wszechświata wynosi (podobno) ponad 20 nonylionów gramów. • Ciało ludzkie składa się z 1028atomów, Ziemia ma ich 1052 . • Widocznych gwiazd jest około 1087 .

  37. Zapis w postaci potęgi liczby 10 • jeden 1 100 • tysiąc 1 000 103 • milion 1 000 000 106 • miliard1 000 000 000 109 • bilion 1 000 000 000 000 1012 • biliard 1 000 000 000 000 000 1015 • trylion 1 000 000 000 000 000 000 1018 • tryliard 1 000 000 000 000 000 000 000 1021 • kwadrylion 1 000 000 000 000 000 000 000 000 1024 • kwadryliard 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 1027 • kwintylion 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 1030

  38. Nazwy liczb olbrzymów • W U.S.A. nazewnictwo dużych liczb znacznie różni się od tego używanego w innych krajach (jak Wielka Brytania, Niemcy, Polska, ...). • W tych krajach bilion (bi - odpowiada dwa) ma dwa razy tyle zer co milion, a trylion (tri - odpowiada trzy) ma trzy razy tyle zer co milion. • W Stanach Zjednoczonych stosowany system nie jest już tak oczywisty. W pracach naukowych często możemy spotkać się z nazewnictwem Amerykańskim. • Polska:106*n USA:103*n+3=1000*103*n

  39. Nazwy liczb olbrzymów • W zależności od n liczby noszą różne nazwy w oparciu o nazwy łacińskie. Z łaciny:- bi - oznacza dwu  stąd bilion- tri - oznacza trój  stąd trylion- quadri - oznacza czwór  stąd kwadrylion- quintus - oznacza piąty  stąd kwintylion - sextus - oznacza szósty  stąd sekstylion - septimus - oznacza siódmy  stąd septylion- octavus - oznacza ósmy  stąd oktylion- nonus - oznacza dziewiąty  stąd nonilion lub nonylion- deimus - oznacza dziesiąty  stąd decylion - undecimus - oznacza jedenasty  stąd undecylion- duodecimus - oznacza dwunasty  stąd duodecylion- centum - oznacza sto, lub centesimus  setny stąd centylion

  40. Liczby doskonałe

  41. Liczba doskonała – liczba naturalna, która jest sumą wszystkich swych dzielników właściwych (to znaczy od niej mniejszych).

  42. W IX księdze Elementów Euklides podał sposób znajdowania liczb doskonałych parzystych: należy obliczać sumy kolejnych potęg dwójki np. 1 + 2 + 4 + 8 +... Jeżeli któraś z otrzymanych sum okaże się liczbą pierwszą, należy pomnożyć ją przez ostatni składnik i otrzymamy liczbę doskonałą.

  43. Leonhard Euler udowodnił, że w ten sposób można otrzymać każdą liczbę doskonałą parzystą – inaczej mówiąc, każda liczba doskonała parzysta ma postać (2p-1)·2p-1, gdzie 2p-1 jest liczbą pierwszą (nietrudno pokazać, że wtedy również p jest liczbą pierwszą) – daje to wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość liczb doskonałych parzystych z liczbami pierwszymi Mersenne'a.

  44. Największą znaną dziś liczbą doskonałą parzystą jest 243112608·(243112609-1) – liczy ona 25 956 377 cyfr w rozwinięciu dziesiętnym. • Jak dotąd nie udało się znaleźć liczby doskonałej nieparzystej, ani dowodu, że liczby takie nie istnieją. Euler udowodnił, że każda liczba doskonała nieparzysta musi być postaci , gdzie p jest liczbą pierwszą postaci 4m+1. Wiadomo też, że jeśli liczba taka istnieje, to musi być większa od 10300 (wynik z roku 1991). • Każda liczba doskonała jest zaprzyjaźniona ze sobą.

  45. KONIEC

More Related