Problema retta tangente: Come definiamo la retta tangente in un punto ad una curva?

1. Problema retta tangente: Come definiamo la retta tangente in un punto ad una curva? Nel caso di alcune curve, come la circonferenza, diremmo:“La retta tangente è quella retta che ha un solo punto, o meglio, due coincidenti, in comune con la curva”

2. Questa definizione però non è sempre accettabile: Una retta può essere tangente in un punto della curva e secante in un altro! P Q La retta è tangente in P e secante in Q.

3. Consideriamo due punti A e B e la retta secante alla curva in A e B. Come fare allora? Quindi immaginiamo di tenere fisso A e di avvicinare B ad A, ritracciando di volta in volta le rette secanti. B B B=A A B Quando B coinciderà con A che retta avrò ottenuto? La retta ottenuta è la tangente alla curva nel punto A

4. Nuova definizione di retta tangente “La retta tangente ad una curva in un suo punto A è la posizione limite della secante AB al tendere del punto B al punto A” B B A B NB:perché la chiamo posizione limite?

5. Ci serviamo delle nostre conoscenze di analisi per determinare l’equazione della tangente ad una curva Sia y=f(x) una funzione. Prendiamo un punto A sulla curva : A( c ; f(c) ) poi un punto B B ( c+h ; f(c+h) ) B A Chi è il coefficiente angolare della retta secante AB?

6. Tale rapporto si indica con B e prende il nome di RAPPORTO INCREMENTALEdella funzione relativo a c . A Significato geometrico: il rapporto incrementale è il coefficiente angolare della retta secante passante per A(c,f(c)) e B(c+h,f(c+h)).

7. Alla luce della nuova definizione, chi sarà la retta tangente alla curva nel punto A? Graficamente otteniamo la retta tangente avvicinando B ad A, ovvero riducendo la distanza h tra l’ascissa di A e l’ascissa di B

8. B A

9. B A

10. A B

11. A

12. Qual è l’equazione di tale retta tangente? Per conoscere la retta tangente dovremmo conoscere un punto per cui passa e il suo coefficiente angolare. La retta tangente passa per A(c ; f(c) ) Ma chi è il suo coefficiente angolare ?

13. Se la retta tangente si ottiene come posizione limite della secante al tendete di B ad A, cioè riducendo la distanza h, lo stesso vale per il coefficiente angolare: Il coefficiente angolare della tangente si ottiene calcolando il limite del coefficiente angolare della secante per h che tende a zero.

14. Una funzione si dice derivabile in punto c del suo dominio se esiste il limite finito del rapporto incrementale della funzione nel puto c per h che tende a zero. Tale limite prende il nome di DERIVATA PRIMA della funzione nel punto c e si scrive Significato geometrico: la derivata prima della funzione nel punto c è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto (c; f(c)).