Funciones cardinales en Hiperespacios

1. Alfredo Zaragoza Cordero UAEMéx. Funciones cardinales en Hiperespacios

2. Funciones cardinales Sea X un espacio topológico, definimos - el peso X como min{|B| : B es una base de X}, - la densidad de X como min{|D| : D es denso en X}, - la celularidad X como sup{|C| : C es una familia de abiertos ajenos dos a dos}

3. El peso red como min{|B| : B es una red de X}, El seudopeso como min{|B| : B es seudobase de X} donde una seudobase de X, B, es una cubierta de X y para cada x ε X, el singular x es igual a la intersección de todos los V ε B tales que x ε V.

4. Usualmente denotamos al peso , la densidad ,la celularidad, el peso red y el seudopeso como: ω(X), d (X), c(X) , n ω(X), p ω(X), respectivamente. Proposición Para un espacio topológico X, c(X)≤ d (X) ≤ ω (X) p ω (X)≤ ω (X).

5. Proposición Si X es un espacio métrico, entonces : c(X)=d (X)= ω (X). Un ejemplo de un espacio en donde d (X)<ω(X) es la recta de sorgenfrey. Suponiendo la existencia de una línea de Souslin S tenemos lo siguiente c(S)<d(S).

6. Funciones cardinales en hiperespacios Hablaremos de la relación que hay entre las funciones cardinales de X y su hiperespacio, CL(X).

7. Dado un espacio topológico, definimos CL(X) como el conjunto de todos los subconjuntos cerrados no vacíos de X, CL(X) es considerado con la topología de Vietoris. Proposición Sea X un espacio T1 . Entonces d(X)=d(CL(X)).

8. Proposición En un espacio topológico X, se tiene que ω (X)≤ω (CL(X)). Se da la igualdad, si X es compacto. Para un espacio discreto numerable, X,ω (X)<ω (CL(X)). Puesω (X)=ω0 y ω (CL(X))> ω0

9. Proposición Si X es un espacio métrico compacto, entonces nω(CL(X))= ω(CL(X))= ω(X). Proposición Si X es un COTO compacto, entonces nω(CL(X))= ω(CL(X))= ω(X).

10. Proposición Si X es un COTO compacto, entonces ω(CL(X))= c(X)pω(X). Proposición Si X es un COTO, conexo y compacto, entonces ω(CL(X))= d(X).

11. Proposición Si X es T1 y compacto, entonces |CL(X)|≤ 2ω(X). Proposición Si X es T3 , entonces |CL(X)|≤ 2|P(d(X))| Un caso particular donde se da la igualdad es si X es un discreto numerable

12. Teorema En un espacio topológico, se tiene que c(CL(X))=supc (X n)nεω Corolario Si c(X)=d(X), entonces c(CL(X))=c(X).

13. También, si suponemos el axioma de Martin para(MA(ω1)), tenemos la siguiente proposición Proposición (MA(ω1)) c(CL(X)) tiene celularidad numerablesi y solo si X tiene celularidad numerable. Para la Línea de Souslin S, es conocido que c(S)<c(SxS). Así, c(S)< c(CL(S)).

14. Gracias