Dedukce v TIL : Přechod od jednoduché k rozvětvené hierarchii typů

1. Dedukce v TIL:Přechod od jednoduché k rozvětvené hierarchii typů Marie Duží VŠB-Technická Universita Ostrava Katedra Informatiky FEI Dedukce v TIL

2. Pavel Tichý a dedukce v TIL • Foundations of Partial Type Theory (1982) • Indiscernibility of Identicals (1986) • Pre-1988 TIL: jednoduchá teorie typů • Pěkné shrnutí v Filozofická logika: Nová cesta? (Štěpán, Materna), dodatek (Štěpán). Dedukce v TIL

3. Extenzionální pravidla. a) Problém substituce (Leibniz): a = b; C(a/x) |C(b/x) Toto odvození není (zdánlivě) obecně platné. Př.: Prezident ČR je manžel Livie. Prezident ČR je ekonom. Manžel Livie je ekonom. Ale: Prezident ČR je manžel Livie. Miloš Zeman chce být prezidentem ČR. Miloš Zeman chce být manželem Livie. Dedukce v TIL

4. Extenzionální pravidla. b) Existenční generalizace C(a/x) |x C(x) Př.: Prezident ČR je ekonom. Prezident ČR existuje. Ale: Miloš Zeman chce být prezidentem ČR. Prezident ČR existuje. Dedukce v TIL

5. Indiscernibility of identicals • Řešení pro tzv. lingvistické konstrukce: • wt [C1C2…Cm] • wt [x1 … xm C] Dedukce v TIL

6. Indiscernibility of identicals • Hospitability – „vstřícnost“ k substituci: • Proměnná z je (1,1) hospitable: konstrukce tvaru [Xwt]je substituovatelná za z • Extenzionální (de re) výskyt(pokud to není ve vyšším kontextu) • Proměnná z je (1,0) hospitable:konstrukce tvaru [Xw]je substituovatelná za z • Intenzionální (de dicto) vzhledem k času t • Proměnná z je (0,1) hospitable:konstrukce tvaru [Xt]je substituovatelná za z • Intenzionální (de dicto) vzhledem ke světu w • Proměnná z je (0,0) hospitable:konstrukce tvaru Xje substituovatelná za z • Intenzionální (de dicto) vzhledem k w, t Dedukce v TIL

7. Indiscernibility of identicals • Exposure a existenční generalizace jako kvantifikace do extensionálníhokontextu: Proměnná x je volná a (1,1)-hospitable, D(k,l) je substituovatelné za x v C: Pravidlo: C(D(k,l)/x) | wtx C(x) Př.: wt[Ekonomwt PCRwt] | wtx[Ekonomwt x] Ekonom/(); PCR/;x v. Dedukce v TIL

8. Sekvent kalkul • Match (párování, shoda). • a:C, kde a, C   a a je atomická konstrukce; • Valuace v splňujea:C, pokud a a C v-konstruují tentýž objekt (tj. jsou v-kongruentní); • Valuace v splňuje:C, pokud C je v-nevlastní; • Nekompatibilní párování. a:C # b:C, kde a, b konstruují různé objekty a:C #:C Dedukce v TIL

9. Sekvent kalkul • sekvent. • a1:C1, …, am:Cm  b:D • Notace:  , kde  je množina shod aje shoda • Platný sekvent: každá valuace, která splňuje levou stranu, splňuje také pravou stranu. • Pravidla (zachovávající platnost), notace: 11, …, kk||   Dedukce v TIL

10. Sekvent kalkul: strukturální pravidla • ||  , pokud   (triviální sekvent) •   || s, pokud   s (redundantní pár) • ,  ;   || (simplifikace) • ||  y:y (triviální pár) •  1;  2 || , pokud jsou 1 a 2nekompatibilní • , : ; , y:  ||  (y není nikde volná) Dedukce v TIL

11. Sekvent kalkul: pravidla pro aplikaci funkce • a-instance (modus ponens): y:[FX1…Xm],, f:F,x1:X1,…,xm:Xm || , (f, xi, různé proměnné, ne volnév , ,F, Xi) • a-substituce: (i) y:[FX1…Xm],  x1:X1,…,   xm:Xm || y:[Fx1…xm] (ii) y:[Fx1…xm];   x1:X1,…,   xm:Xm || y:[FX1…Xm] • Extensionalita: , y:[f x1…xm]  y:[g x1…xm]; , y:[g x1…xm]  y:[f x1…xm] ||   f:g (y, x1,…,xm jsou různé proměnné, které ne volnév ,f, g.) Dedukce v TIL

12. Sekvent kalkul: -pravidla • ,f:x1…xmY  ||   (f není volná v , Y,) • -redukce:   y:[[x1…xmY] X1…Xm] ||   y:Y(X1…Xm/x1…xm); (Xi je substituovatelné za xi) • -expanze:  x1:X1;…;   xm:Xm;   y:Y(X1…Xm/x1…xm) ||   y:[[x1…xmY] X1…Xm] Dedukce v TIL

13. Zobecnění kalkulu (TIL 2010) • Zobecnění se týká • Rozvětvená teorie typů • Libovolné konstrukce (nejen lingvistické) • Existenční generalizace do jakéhokoli kontextu • Substituce identit v jakémkoli kontextu • Definice tří druhů kontextu (top-down, ne-kruhem): • hyperintenzionální, intenzionální a extenzionální • Substituce a existenční generalizace • Obecné -pravidlo (substituce „hodnotou“) Dedukce v TIL

14. Tři druhy kontextu (postupujeme shora dolů) • Nechť C je podkonstrukce konstrukce D. Rozlišíme „Use-Mention“výskyt C v D: • Výskyt konstrukce C je mentioned v D, jestliže C samotná je v D objektem predikace, tj. je argumentem funkce f konstruované nějakou podkonstrukcí D; (f může být i nulární, tedy 0C). Pak všechny podkonstrukceC mají v D hyperintenzionální výskyt. • Jinak je C used v D, tedy C je konstituentem D. Dedukce v TIL

15. Definice „Use/Mention“ • Charakteristika: Výskyt C v D zmíněn, tj. tento výskyt je hyperintenzionální, pokud je C v D podkonstrukcí konstrukce 0D’, která není v D podkonstrukcí konstrukce 2D’’. • Přesněji: je-li n počet Trivializací a m-počet Dvojích Provedení, která předcházejí výskytu C, pak je-li n> m, je výskyt C v D zmíněn. Dedukce v TIL

16. Definice (výskyt konstrukce užitjakokonstituent). Nechť C je konstrukce a D podkonstrukce C. • Je-li D identická s C (tj. 0C = 0D), pak výskytD je užit v Cjako konstituent. • Je-li C identická s [X1X2…Xm] a D je jedna z konstrukcí X1, X2,…, Xm, pak výskytD je užit v Cjako konstituent. • Je-li C identická s [x1…xm X] a D je X, pak výskytD je užit v Cjako konstituent. • Je-li C identická s 1X a D je X, pak výskytD je užit v Cjako konstituent. • Je-li C identická s 2X a D je X, nebo 0D se vyskytuje jako konstituent X a tento výskyt D je konstituentem konstrukce Yv-konstruované X, pak výskytD je užit v Cjako konstituent. • … tranzitivita užití …

17. Výskyt konstituentuC v D • Rozlišíme intenzionální a extenzionální výskyt konstituentuC v D. Nechť C konstruuje funkci f: Intenzionální výskyt: objektem predikace v D (argumentem …) je celá funkce f. Extenzionální výskyt: objektem predikace v D (argumentem …) je hodnota funkce f. To je ale zjednodušené, protože musíme počítat s tím, že vyšší kontext „přebíjí“ nižší. Dominance hyperintensionální už je vyřešena, protože víme, že C je konstituent D (tedy užit a ne hyperintenzionálně zmíněn). Dedukce v TIL

18. Výskyt konstituentu C v D Proto postupujeme dále shora dolů. 2.a) Nejdříve definujeme výskyt konstituentu C v D s intensionální vs. extensionální supozicí. Zde pouze sledujeme to, zda konstruovaná funkce f je či není aplikována na (všechny) své argumenty příslušných typů. Přitom nulární funkce (atomický objekt) se vždy vyskytuje s intenzionální supozicí, „nečeká na žádný argument“. Dedukce v TIL

19. Supozice konstituentu C v D: Definice • Nechť C je atomická konstrukce a nechť D je identická s C, D v (β1…βn), n  1.Pak D se vyskytuje vC s (β1…βn)-intenzionální supozicí. • Nechť C je Uzávěr [x1…xmX], x1 v1,…,xmvm, X v. Pak: • Je-li D identická s C, pak D se vyskytuje v C s (1…m)-intenzionální supozicí. • Je-li D konstituentem X, pak D se vyskytuje v C se stejnou supozicí jako D v X. • Nechť C je Kompozice [X Y1…Ym], m  1, a X v(β1…βm), Y1v1, …, Ymvm. Pak: • Je-li D identická s C, pak D se vyskytuje v C s -intenzionální supozicí. • Je-li D identická s X, pak D se vyskytuje vC s (1,…,m)-extenzionální supozicí. • Je-li D konstituentem X, který není identický s X nebo je-li D konstituentem Yi (1 im), pak D se vyskytuje vC se stejnou supozicí jako D v X nebo Yi. • Nechť C je 1X nebo 2X,kde X je konstrukce. Pak konstituenty X se vyskytují v C se stejnou supozicí jako v X. • Nechť C je 1X,kde X je objekt typu řádu 1, a nechť D je C. Pak D se vyskytuje vC s extenzionální supozicí. • Nechť C je 2X,kde X je objekt typu řádu 1 nebo X v-konstruuje objekt typu řádu 1, a nechť D je C. Pak D se vyskytuje vC s extenzionální supozicí. • Výskyt konstrukce s intenzionální / extenzionální supozicí v C je pouze dle (1) – (6). Dedukce v TIL

20. Supozice konstituentu C v D: Důsledek Konstituent D se vyskytuje v C s extenzionální supozicí pouze v těchto případech: • C je Komposice [D Y1…Ym] • C je Provedení 1[D Y1…Ym], 2[D Y1…Ym] • D je identická s C a C je 1X, kde X je objekt typu řádu 1 • D je identická s C a C je 2X, kde X je objekt typu řádu 1 nebo X v-konstruuje objekt typu řádu 1. Dedukce v TIL

21. Výskyt konstituentu C v D • Pouze konstrukce, která se vyskytuje s extenzionální supozicí, může být v-nevlastní. • Tento případ může nastat ze dvou důvodů. • Je prováděna procedura aplikace funkce f na argument a, na kterém je f nedefinována • Je prováděna procedura provedení objektu, který není konstrukcí. Dedukce v TIL

22. Výskyt konstituentu C v D • Výskyt konstituentu C v D s intensionální supozicí znamená výskyt intensionální. • Výskyt konstituentu C v D s extensionální supozicí je extensionální, pokud to není výskyt v nějakém vyšším (intenzionálně generickém) kontextu. • Není-li výskyt C v dosahu -Uzávěru, pak se jedná o negenerický kontext, a tedy výskyt C je extenzionální. • Je-li výskyt C v dosahu n-Uzávěrů, pak se jedná o generický kontext, a tedy výskyt C je intensionální. Dedukce v TIL

23. konstituent typ kontext

24. Intenzionální vs. extenzionální výskyt konstituentu • Jestliže D se vyskytuje s intenzionální supozicí nebo v generickém kontextuC, pak D se vyskytuje intenzionálně vC. • Jestliže D se vyskytuje s extenzionální supozicí a v negenerickém kontextuC, pak D se vyskytuje extenzionálně v C. Dedukce v TIL

25. De dicto vs. de re výskyt v[wt C] • D v C s ()-intenzionální supozicí(pro nějaký typ ) nebo v ()-generickém kontextuC, pak se D vyskytuje v C s(-)de dicto supozicí. • D v C s ()-intenzionální supozicí(pro nějaký typ ) nebo v -generickém kontextuC, pak se D vyskytuje v C s (-)de dicto supozicí. • D v C s (())-intenzionální supozicí(pro nějaký typ ) nebo v ()-generickém kontextuC, pak se D vyskytuje v C s (-)de dicto supozicí. • Výskyt D v [wt C]je stejný jako v C.

26. Extenzionální kalkul hyperintenzí • Existenční generalizace (do libovolného kontextu) • Substituce identit (Leibniz) v libovolném kontextu • Sekventový kalkul … Ale: -redukce ‘hodnotou’ pomocí substituční metody Dedukce v TIL

27. a) Existenční generalizace • Nechť F/(); a/. 1)extenzionální kontext. • Nechť je výskyt Kompozice […[0F 0a]…] extenzionální a tato Kompozice v-konstruuje pravdivostní hodnotu P. Pak následující pravidlo zachovává pravdivost: • […[0F 0a]…] |x […[0F x] …]; x v Př.: „Papež je moudrý.“ |= „Někdo je moudrý“. wt [0Moudrýwt0Papežwt] ╞ wt x [0Moudrýwt x]; Dedukce v TIL

28. a) Existenční generalizace 2) intenzionální kontext. • Nechť se [0F 0a] vyskytuje intenzionálně v konstrukci […y [ … [0F 0a] …]], která v-konstruuje P. Pak následující pravidlo zachovává pravdivost: […y [ … [0F 0a] …]] |f […y [ … [f 0a] …]]; fv() Př.: „b si myslí, že papež je moudrý“. |= „Existuje úřad takový, že b si myslí, že ten, kdo jej zastává, je moudrý“. (Myslet/(): intenzionální postoj k propozici; f v.) • wt [0Mysletwt0bwt [0Moudrýwt0Papežwt]] ╞ wt f [0Mysletwt0bwt [0Moudrýwt fwt]];

29. a) Existenční generalizace 3) hyperintenzionální kontext. • Nechť se [0F 0a] vyskytuje hyperintenzionálně v konstrukci [… 0[ … [0F 0a] …]], která v-konstruuje P. Pak následující pravidlo zachovává pravdivost: • [… 0[ … [0F 0a] …]] |c 2[0Sub c 00F 0[… 0[ … [0F 0a] …]]]; cvn; 2c v () Př.: „b si myslí*, že papež je moudrý“. |= „Existuje pojem úřadu takový, že b si myslí*, že ten, kdo jej zastává, je moudrý“. wt [0Myslet*wt0b0[wt [0Moudrýwt0Papežwt]] ╞ wt c [0Myslet*wt0b [0Sub c 00Papež 0[wt [0Moudrýwt0Papežwt]]]]; (Myslet*/(n): hyperpropoziční postoj; cvn;2c v.) Dedukce v TIL

30. b) Substituce identit (Leibniz) • V extenzionálním kontextuje substituce v-kongruentních konstrukcí platná. • Vintenzionálním kontextu (modality, pojmové postoje, …) je substituce ekvivalentních (ne však pouze v-kongruentních) konstrukcí platná. • V hyperintenzionálním kontextu (propoziční postoje, matematické věty, …) je substituce procedurálně isomorfních (ne však pouze ekvivalentních) konstrukcí platná. Dedukce v TIL

31. b) Substituce identit (příklady) • “President ČR je manžel Livie Klausové” “President ČR je ekonom”  “Manžel Livie Klausové je ekonom” • “President ČR je nejvyšší představitel ČR” “Tom chce být presidentem ČR”  “Tom chce být nejvyšším představitelem ČR’’ • “Tom si myslí*, že Sněžka je sopka”  “Tom si myslí*, že Sněžka je vulkán ” Dedukce v TIL

32. c) Kompozicionalita a neexistence Composition used in an extensional context: if F has no-value at a(value gap) then [0F 0a] is improper and so is any C occurring extensionally and containing [0F 0a] as a constituent; partiality is strictly propagated up: [… [ … [0F 0a] …] …] is improper until the context is raised up to hyper/intensional intensional:x… [… [ … [0F 0a] …] …] isproper hyperintensional:0[… [ … [0F 0a] …] …] isproper Dedukce v TIL

33. -redukce („jménem“), problémy: • -redukce:   y:[[x1…xmY] X1…Xm] ||   y:Y(X1…Xm/x1…xm); (Xi je substituovatelné za xi) • V logice parciálních funkcí transformace [[x1…xmY] X1…Xm]| Y(X1…Xm/x1…xm)není ekvivalentní, pokud je levá strana v-nevlastní(v sekvent kalkulu to nevadí díky systému shod), ale … • Může dojít ke ztrátě analytické informace Dedukce v TIL

34. -redukce („jménem“), problémy: V logice parciálních funkcí to není ekvivalentní transformace: [[x [y [0: yx]]] [0Cot0]][y [0: y [0Cot0]]] Typy: x, y  ; :/(), funkce dělení; Cot/(): funkce kotangens; /. Konstrukce na levé straně je nevlastní, nekonstruuje nic. Funkce konstruovaná Uzávěrem [x [y [0: y x]]] neobdrží argument, na který by mohla být aplikována. Konstrukce na pravé straně konstruuje degenerovanoufunkci (jakožto zobrazení) typu (), která je nedefinována na všech svých argumentech. Dedukce v TIL

35. -redukce („jménem“), problémy: Ztráta analytické informace(i v případě ekvivalentní -redukce): [x [0+ x 01] 03]  [0+ 0301] [y [0+ 03 y] 01] Která funkce byla aplikována na jaký argument? Dedukce v TIL

36. -redukce („jménem“), problémy: „mít rád svou ženu“ vs. „mít rád Janovu ženu“ wt x [0Rádwt x [0Ženawt x]] vs. wt x [0Rádwt x [0Ženawt0Jan]] „Jan má rád svou ženu“„Jan má rád Janovu ženu“ wt [x [0Rádwt x [0Ženawt x]]0Jan] =-redukce wt [0Rádwt0Jan [0Ženawt0Jan]] =-expanze wt [x [0Rádwt x [0Ženawt0Jan]] 0Jan] „a Petr také“ má rád svou (vzorný manžel) nebo Janovu ženu (trable na obzoru)? Dedukce v TIL

37. Řešení: -redukce ‘hodnotou’ Nechť xivi jsou navzájem různé proměnné a Divi konstrukce (1 i m). Pravidlo -redukce hodnotou: [[x1…xm Y] D1…Dm] |– 2[0Sub [0Tr1 D1] 0x1 … [0Sub [0Trm Dm] 0xm0Y]] Funkce Sub/(nnnn)operuje hyperintensionálně, na konstrukcích: [0Sub 0Co 0ZaCo 0Kam] konstruuje konstrukci D … Je to obecně platné a vždy použitelné pravidlo, které nevede ke ztrátě analytické informace. Dedukce v TIL

38. Řešení: -redukce ‘hodnotou’ „Jan má rád svou ženu“ wt [x [0Rádwt x [0Ženawt x]]0Jan] = wt 2[0Sub00Jan 0x 0[0Rádwt x [0Ženawt x]]] „Ostravský primátor také(má rád svou ženu)“ wt [takéwt0PMOwt] = wt 2[0Sub0[wt x [0Rádwt x [0Ženawt x]]]0také 0[takéwt0PMOwt]] =r wt [x [0Rádwt x [0Ženawt x]]0PMOwt] = wt 2[0Sub[0Tr 00PMOwt]0x 0[0Rádwt x [0Ženawt x]]] Dedukce v TIL

39. Závěr • Problémy: • Zjednodušení definic? • Vlastnosti kalkulu • Implementace kalkulu • Inferenční stroj pro TIL (TIL-Script) Dedukce v TIL