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Matemáticas

Matemáticas. Maestría en Politicas Publicas Dr. Favio Murillo García. Presentación del curso. Temario: Álgebra Cálculo diferencial Cálculo integral. Representación Gráfica (recta numérica). NÚMEROS NATURALES ( N ).

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  1. Matemáticas Maestría en Politicas Publicas Dr. Favio Murillo García

  2. Presentación del curso Temario: Álgebra Cálculo diferencial Cálculo integral

  3. Representación Gráfica (recta numérica) NÚMEROS NATURALES ( N ) 0 1 2 3 4 R Mediante un punto negro representamos el 1, el 3 y el 4 NÚMEROS ENTEROS ( Z ) - 2 - 1 0 1 2 R Mediante un punto negro representamos el - 1, el 1 y el 2

  4. Adición Sume los números 2 + 2 0 1 2 3 4 R Sume los números 2+(-3) - 2 - 1 0 1 2 R

  5. Ley de signos • En suma y resta: • Números con signo igual: SE SUMAN. • Números con signo diferente: SE RESTAN y prevalece el signo del mayor. • En multiplicación y división • Números con signo igual: el resultado es POSITIVO. • Números con signo diferente: el resultado es NEGATIVO.

  6. Lenguaje algebraico

  7. Expresión algebraica • EXPRESIÓN ALGEBRAICA • Una expresión algebraica es toda combinación de números y letras unidas por los signos de las operaciones aritméticas: Adición, sustracción, multiplicación, división y potencia. • A las letras se las llama variables, son cantidades desconocidas. Normalmente es la x, aunque puede haber más: y, z, etc. • Los términos son cada uno de los sumandos: Pueden ser literales si llevan variable, o independientes si no la llevan. • Al factor numérico, o número que multiplica o divide a una letra, se le denomina coeficiente. Si no está indicado vale 1. • Ejemplos(en la praxis el punto no se escribe): • 4.x + y/5 – z • El 4 es el coeficiente de x, el 1/5 el de y, y el -1 de z. • (4.x + y)/5 – 3.z • El 4/5 es el coeficiente de x, el 1/5 el de y, y el -3 de z.

  8. Utilidad del álgebra: Ejercicios • Escribe los enunciados y a continuación, con distinto color, las expresiones algebraicas que representan dichos enunciados: • a) Número de ruedas necesarias para fabricar x coches. • b) Número de patas de un corral con “a” gallinas y “b” conejos. • c) Un número menos 3. • d) La mitad de un número. • e) Restar la mitad de un número al 2. • f) Doble de un número menos 5. • g) Doble de un número, menos 5. • h) Cuadrado de un número más 7. • i) Cuadrado de un número, más 7.

  9. Utilidad del álgebra: Ejercicios • Escribe los enunciados y a continuación, con distinto color, las expresiones algebraicas que representan dichos enunciados: • j) La tercera parte de un número más su quinta parte. • k) Dos quinto de un número. • l) El triple de un número más 1. • m) La edad de Pedro hace cuatro años. • n) La edad de Juan dentro de 15 años. • o) Mi padre me da el doble del dinero que tenía. ¿Cuánto tengo ahora? • p) Dos números se diferencian en 5 unidades. • q) El cociente de dos números es igual a tres veces su suma. • r) El producto de dos números dividido por su suma es 5. • s) La diferencia de los cubos de dos números.

  10. Utilidad del álgebra: Ejercicios • Escribe los enunciados y a continuación, con distinto color, las expresiones algebraicas que representan dichos enunciados: • t) El área de un rectángulo. • u) El perímetro de un rectángulo. • v) El área de un cuadrado. • w) El perímetro de un cuadrado. • x) El área de un círculo. • y) El perímetro de un círculo. • z) La raíz cuadrada de un número menos 3. • z) La raíz cuadrada de un número, menos 3. • z) La diferencia de las raíces cuadradas de un número y de 3.

  11. Utilidad del álgebra: Ejemplo_1 • El IVA, en la mayoría de los artículos, es del 16%. • Si llamamos x al VP sin IVA, lo que pagaremos al comprar dicho artículo con factura será: • 16 • x + -----. x • 100 • El precio final será x+0,16.x • Hemos de pagar 1,16.x , siendo x el VP. • Valga lo que valga el artículo, la expresión algebraica la podemos utilizar siempre. • Si llamamos P al precio final, queda: • P = 1,16.x , que es lo que llamamos FÓRMULA.

  12. Utilidad del álgebra: Ejemplo_2 • Sea un rectángulo. • Llamamos b a lo que mide el lado de la base. • Llamamos h a lo que mide el lado de la altura. • El perímetro de un rectángulo es: • 2.b+2.h • El área de un rectángulo es: • b.h • Aunque tengamos millones de rectángulos distintos, la expresión algebraica la podemos emplear siempre, con independencia de lo que midan sus lados. • Si empleamos: • P = 2.b+2.h • A = b.h • Entonces las expresiones se convierten en FÓRMULAS.

  13. Utilidad del álgebra: Ejemplo_3 • La nota media de dos exámenes más la nota por su actitud en clase es la nota de la evaluación de un alumno: • Llamamos x a la nota de un examen. • Llamamos y a la nota del otro examen. • Llamamos z a la nota de clase. • Cualquiera que sean las notas de los exámenes y el alumno en cuestión, la nota de evaluación será siempre: • x + y • ------- + z • 2 • Si llamamos N a la nota de la evaluación, la expresión algebraica se convierte en la Fórmula: • x + y • N = -------- + z • 2

  14. Utilidad del álgebra: Ejemplo_4 • Al reparar un ordenador a domicilio, un técnico cobra 30 € por salida y 10 € cada media hora de trabajo. • Llamamos x a las horas que ha estado reparando el ordenador. • Nos cobrará al final: • 30 + 2.x . 10 • Si llamamos P al precio final, la expresión algebraica se convierte en la Fórmula: • P = 30 + 20.x • Nota: Hay que tener en cuenta que falta el IVA, y además se puede complicar la expresión si cambia alguna pieza.

  15. Suma de monomios • La suma ( o diferencia ) de dos monomios semejantes es otro monomio, que tiene como coeficiente la suma ( o diferencia ) de coeficientes y como parte literal la misma que la de los sumandos. • Si los monomios no son semejantes, el resultado es un POLINOMIO • EJEMPLOS • 4.x3 + 7.x3 - 5.x3 = ( 4 + 7 – 5 ).x3 = 6.x3  Monomio • 4.x3 + a.x3 - x3 = ( 4 + a – 1 ).x3 = ( 3 + a ).x3  Monomio • 4.x3 + 7.x3 - 5.x2 = ( 4 + 7).x3 - 5.x2 = 11.x3 - 5.x2 Polinomio

  16. EJEMPLOS • 4.x3 + 5.x3 = (4+5).x3 = 9.x3 • 3.x2 – 5.x2 = (3 – 5).x2 = – 2 .x2 • 2.x4 – 7.x4 + 8.x4 = (2 – 7 + 8).x4 = 3.x4 • 7.x3 + a.x3 = (7 + a).x3 • 5.x2 + a.x2 + x2= (5+a+1).x2 = (6+a).x2 • Nota importante: Como se ve la suma o resta de monomios semejantes es siempre un monomio, aunque su coeficiente sea mixto.

  17. EJEMPLOS • 4.x3 + 5.x = 4.x3 + 5.x • 3.x2 – 5.x2 + 4.x = (3 – 5).x2 + 4.x = – 2 .x2 + 4.x • 2.x4 – 7.x3 + 8.x4 = (2 + 8).x4 – 7. x3 = 10.x4 – 7.x3 • 7.x3 + a.x3 + 3.x – 5 = (7 + a).x3 + 3.x – 5 • 5.x3 + a.x2 + x3= (5+1).x3 + a.x2 = 6.x3 + a.x2 • Nota importante: Como se ve la suma o resta de monomios no semejantes es siempre un polinomio.

  18. Producto de monomios • El producto de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente el producto de los coeficientes, como variable la misma y grado la suma de los grados de los monomios factores. • EJEMPLO • Sea 4.x3 y 5.x2 • (4.x3 ). (5.x2 ) = 4.5. x3+2= 20.x5 • EJEMPLO • Sea 7.x3 y 5.a.x3 • (7.x3 ). (5.a.x3 ) = 7.5.a. x3+3= 35.a.x6

  19. PRODUCTO DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO • El producto de un monomio por un polinomio es el que resulte de multiplicar dicho monomio por todos y cada uno de los monomios del polinomio, reduciendo finalmente términos semejantes. • EJEMPLO • Sea el monomio 4.x3 y P(x) = 5.x4 + 4.x3 - 2.x • (4.x3).P(x) = ( 4.x3 ).(5.x4 + 4.x3 - 2.x ) = • = ( 4.x3 ).(5.x4 ) + ( 4.x3 ).(4.x3 ) + ( 4.x3 ).(- 2.x ) = • = 20.x7 + 16.x6 - 8.x4

  20. OTRO EJEMPLO • Sea el monomio 4.x.y P(x) = 5.y.x2 + 4.y2.x – 2.x.y + 3 • (4.x.y).P(x) = ( 4.x.y). (5.y.x2 + 4.y2.x – 2.x.y + 3 ) = • = (4.x.y).(5.y.x2 ) + (4.x.y).( 4.y2.x ) + (4.x.y).(– 2.x.y ) + (4.x.y).(3) = • = 20.x3.y2 + 16.x2.y3 - 8. x2.y2 + 12.x.y • UN EJEMPLO MÁS • Sea el monomio 4.a.x P(x) = 5.a.x2 + 4.a2.x • (4.a.x).P(x) = ( 4.a.x). (5.a.x2 + 4.a2.x) = • = (4.a.x).(5.a.x2 ) + (4.a.x).( 4.a2.x ) = 20.a2.x3 + 16.a3.x2

  21. División de monomios • La división de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente la división de los coeficientes, como variable la misma y grado la diferencia de los grados de dividendo y divisor. • EJEMPLO • Sea 20.x5 y 5.x2 • (20.x5 ) : (5.x2 ) = (20/5). x 5 – 2= 4.x3 • EJEMPLO • Sea 2.x3 y 5.x • (2.x3 ) : (5.x) = (2/5). x 3 – 1 = 0,4.x2

  22. COCIENTE DE MONOMIOS • El cociente de dos monomios ( semejantes o no ) es otro monomio, que tiene como coeficiente la división de los coeficientes, como variable la misma y grado la diferencia de los grados de los monomios factores. • EJEMPLO • Sea 4.x3 y 5.x2 • (4.x3 ) / (5.x2 ) = (4/5). x3 – 2 = 0,8.x • EJEMPLO • Sea 14.x5 y 7.a.x3 • (14.x5 )/ (7.a.x3 ) = (14/7.a). x5 – 3 = (2/a).x2

  23. Potencia de monomios • La potencia de un monomio es otro monomio, que tiene como coeficiente la potencia del coeficiente de la base, como variable la misma y grado el producto de las potencias. • EJEMPLO 1 • Sea (4.x3)2 • (4.x3)2 = (4)2. (x3)2 = 16. x3.2= 16.x6 • EJEMPLO 2 • Sea [ 3 . ( x 5) 2 ] 3 • [ 3 . ( x 5) 2 ] 3 = 33 . ( x 5x2) 3 = 33 . x 5x2x3 = 27. x 30

  24. EJEMPLO 3 • Sea [(1/2 ).x2 ]3 • (1/2)3. (x2 )3 = (1/8). x2.3= (1/8).x6 • EJEMPLO 4 • Sea (2.x4 )5 • (2)5. (x4)5 = 32.x4.5= 32.x20 • EJEMPLO 5 • Sea (2.x3 .y)4 • (2)4. (x3)4 .y4 = 16.x3.4 .y4 =16.x12.y4

  25. POLINOMIO • Es una expresión algebraica formada por la suma o diferencia de monomios. • Cada monomio que forma el polinomio se le llama TÉRMINO, • Aquel monomio que no contenga parte literal, sólo números, se le llama TÉRMINO INDEPENDIENTE. • EJEMPLOS • P(x) = 4.x3 + 7.x2 - 5.x • P(x) = - 7.x + 5 • P(x, y) = x3 + 7.y2 - 5.x.y

  26. GRADO DE UN POLINOMIO • Es el mayor grado de los monomios que lo forman. • EJEMPLOS • P(x) = 4.x3 + 7.x2 - 5.x  Grado de P(x) = 3 • Q(x) = - 7.x + 5  Grado de Q(x) = 1 • R(x, y) = x3. y + 7.y2 - 5.x.y  Grado de R(x, y) = 3 respecto x

  27. TIPOS DE POLINOMIOS • REDUCIDOS • Tiene sumados los términos semejantes • NO REDUCIDOS • Contiene dos o más términos semejantes. • COMPLETOS • Sus términos tienen todos los grados, desde el del polinomio a cero. • INCOMPLETOS • Falta algún término de grado menor que el del polinomio. • ORDENADOS • Sus términos están ordenados por el grado de la variable. • NO ORDENADOS • Sus términos están desordenados según el grado de los mismos. • Es muy importante que un polinomio esté REDUCIDO y ORDENADO DECRECIENTEMENTE para poder operar correctamente con él.

  28. EJEMPLOS DE TIPOS DE POLINOMIOS • REDUCIDOS • P(x) = 20.x3 + 31.x2 + 4.x – 6 • NO REDUCIDOS • P(x) = 2.x3 + 7.x - 31.x2 + 4.x – 6 • COMPLETOS • P(x) = x3 + 3.x2 + 4.x – 6 • INCOMPLETOS • P(x) = 3.x3 + 4.x – 6  Falta término en x2 • ORDENADOS • P(x) = x3 - 3.x2 – 6  Ordenado de forma decreciente. • NO ORDENADOS • P(x) = 7.x - 3.x3 + 6.x2 – 6

  29. Aclaración previa a la forma de operar • Los que tengan dificultad en sumar o multiplicar polinomios pueden hacer: • P(x) = 5.x4 + 4.x3 - 2.x • Q(x) = 3.x3 + 5.x - 3 • P(x) + Q(x) = 5.x4 + 7.x3 + 3.x – 3 • Pero es recomendable hacerlo así: • (5.x4 + 4.x3- 2.x) + (3.x3+ 5.x - 3) = • 5.x4 + 4.x3- 2.x + 3.x3+ 5.x - 3 = • = 5.x4 + 7.x3+ 3.x – 3

  30. SUMA DE POLINOMIOS • La suma de dos polinomios es otro polinomio, que se obtiene sumando primero los términos semejantes de ambos, y a continuación los no semejantes. • La operación de sumar los términos semejantes, expresando el resultado como un único término se llama REDUCIR TÉRMINOS SEMEJANTES. • EJEMPLO • Sea P(x) = 4.x3 + 7.x2 - 5.x y Q(x) = 7.x3+ 5.x2 - 3 • P(x) + Q(x) = ( 4.x3 + 7.x2 - 5.x ) + (7.x3+ 5.x2 – 3 ) = • = 4.x3+7.x2- 5.x +7.x3+ 5.x2- 3 = • = 11.x3+ 12.x2 - 5.x - 3

  31. DIFERENCIA DE POLINOMIOS • Para restar un polinomio a otro se suma al polinomio minuendo el opuesto al sustraendo. • Para ello se cambia de signo todos los monomios que forman el sustraendo. • EJEMPLO • Sea P(x) = 4.x3 + 7.x2 - 5.x y Q(x) = 7.x3+ 5.x2 - 3 • P(x) - Q(x) = ( 4.x3 + 7.x2 - 5.x ) - (7.x3+ 5.x2 – 3 ) = • = 4.x3+ 7.x2- 5.x - 7.x3- 5.x2+ 3 = • = - 3.x3+ 2.x2- 5.x + 3

  32. PRODUCTO DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO • El producto de un monomio por un polinomio es el que resulte de multiplicar dicho monomio por todos y cada uno de los monomios del polinomio, reduciendo finalmente términos semejantes. • EJEMPLO • Sea el monomio 4.x3 y P(x) = 5.x4 + 4.x3 - 2.x • (4.x3).P(x) = ( 4.x3 ).(5.x4 + 4.x3 - 2.x ) = • = ( 4.x3 ).(5.x4 ) + ( 4.x3 ).(4.x3 ) + ( 4.x3 ).(- 2.x ) = • = 20.x7 + 16.x6 - 8.x4

  33. OTRO EJEMPLO • Sea el monomio 4.x.y P(x) = 5.y.x2 + 4.y2.x – 2.x.y + 3 • (4.x.y).P(x) = ( 4.x.y). (5.y.x2 + 4.y2.x – 2.x.y + 3 ) = • = (4.x.y).(5.y.x2 ) + (4.x.y).( 4.y2.x ) + (4.x.y).(– 2.x.y ) + (4.x.y).(3) = • = 20.x3.y2 + 16.x2.y3 - 8.x.y + 12.x.y • UN EJEMPLO MÁS • Sea el monomio 4.a.x P(x) = 5.a.x2 + 4.a2.x • (4.a.x).P(x) = ( 4.a.x). (5.a.x2 + 4.a2.x) = • = (4.a.x).(5.a.x2 ) + (4.a.x).( 4.a2.x ) = 20.a2.x3 + 16.a2.x2

  34. PRODUCTO DE POLINOMIOS • El producto de dos polinomios es el que resulte de multiplicar todos y cada uno de los términos de uno de ellos por todos y cada uno de los términos del otro, reduciendo finalmente términos semejantes. • EJEMPLO • Sea P(x) = 4.x + 3 y Q(x) = 5.x2 + 4.x – 2 • P(x).Q(x) = ( 4.x + 3 ).( 5.x2 + 4.x – 2 ) = • = ( 4.x ). (5.x2 + 4.x – 2 ) + (3). ( 5.x2 + 4.x – 2 ) = • = (20.x3 + 16.x2 – 8.x) + ( 15.x2 + 12.x – 6 ) = • = 20.x3 + 16.x2 – 8.x + 15.x2 + 12.x – 6 = • = 20.x3 + 31.x2+ 4.x – 6

  35. Aclaración previa a la forma de operar • Los que tengan dificultad en multiplicar polinomios pueden hacer: • P(x) = 5.x4 + 4.x3 - 2.x • Q(x) = 3.x3 + 5.x • 25.x5 + 20.x4 – 10. x2 • 15.x7 + 12.x6 – 6. x4 • 15.x7 + 12.x6 + 25.x5 + 14.x4 - 10.x2 • Clave: Columnas de términos semejantes

  36. Nota al PRODUCTO DE POLINOMIOS • El número de términos resultantes al multiplicar dos o más polinomios entre sí es el producto del número de términos de cada polinomio que interviene. • Veamos algunos ejemplos: • (4.x).(5.x2 + 4.x )  1.2 = 2 términos • (4.x - 2).(5.x2 + 4.x )  2.2 = 4 términos • (5.x2 + 4.x ).(x2 + 4.x - 3)  2.3 = 6 términos • (5.x2 + 4.x + 7).(x2 + 4.x - 3)  3.3 = 9 términos • (x2 + 4.x ).(x3 + x2 + x - 3)  2.4 = 8 términos • (x2 + 4.x - 5).(x3 + x2 + x - 3)  3.4 = 12 términos • Sabiendo esto no omitiremos ningún producto parcial. • Ahora bien, una vez reducido el polinomio resultante, el número de términos, siempre menor o igual al expuesto aquí, será variable.

  37. DIVISIÓN DE POLINOMIOS • Las reglas operativas son : • 1.‑ Reducir dividendo y divisor. • 2.‑ Ordenador dividendo y divisor de forma decreciente. • 3.‑ Si el dividendo es incompleto, dejar huecos. • 4.‑ Aplicar el algoritmo correspondiente para dividir. • 5.‑ Terminar cuando el grado del resto sea menor que el grado del divisor. • 6.- Comprobar el resultado.

  38. Algoritmo de la división • Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. • Lo que da es el primer término del cociente. • Se multiplica el primer término del cociente hallado por el todo el divisor. • Lo que da hay que restárselo al dividendo. • Obtenemos así un nuevo dividendo. • Y se repiten las operaciones para conseguir los restantes términos del cociente.

  39. Ejemplo de división de polinomios • Sea P(x) = x3 + 4.x2 - 2.x + 5 • y Q(x) = x2 + 5 • Hallemos P(x) : Q(x) • 1.- Están ya ambos reducidos. • 2.- Están ya ambos ordenados decrecientemente. • 3.- Ambos son polinomios completos, luego no hay que dejar huecos. • 4.- Aplicamos el algoritmo para dividir:

  40. x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5 • x • Pues x3 : x2 = x • x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5 • - x3 - 5.x x • Pues se multiplica x. (x2 +5) • Y como vamos a restar lo que nos dé se cambia de signo.

  41. x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5 • - x3 - 5.x x • 4.x2 - 7.x + 5 • Se repite las operaciones: • x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5 • - x3 - 5.x x + 4 • 4.x2 - 7.x + 5 • - 4.x2 - 20 • - 7.x - 15

  42. x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5 • - x3 - 5.x x + 4 • 4.x2 - 7.x + 5 • - 4.x2 - 20 • - 7.x - 15 • 5.- Como el resto ( -7.x – 15) es de grado menor que el divisor (x2 + 5) se habrá terminado la división. • C(x) = x+4 y R(x) = - 7.x – 15 • 6.- Se comprueba que D(x) = d(x).C(x)+R(x)

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