1 / 38

Bölüm 2 Olasılık

OLASILIK ( 6B MHMAU102). Bölüm 2 Olasılık. Önemli Terimler. 3.1. R as sal D eney – belirsiz bir sonuca yol açan bir süreç Temel Sonuç – rassal deneyin muhtemel bir sonucu Örnek Uzayı – bir rassal deneyin muhtemel tüm sonuçlarının toplanması

onofre
Download Presentation

Bölüm 2 Olasılık

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. OLASILIK (6BMHMAU102) Bölüm2 Olasılık Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  2. Önemli Terimler 3.1 • RassalDeney– belirsiz bir sonuca yol açan bir süreç • Temel Sonuç –rassal deneyin muhtemel bir sonucu • Örnek Uzayı –bir rassal deneyin muhtemel tüm sonuçlarının toplanması • Olay –örnek uzayından olan temel sonuçların her hangi bir alt kümesi Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  3. Önemli Terimler (devam) • Olayların Arakesiti (Kesişimi) –Eğer A ve B bir örnek uzayındaki iki olay ise o halde A ∩ B kesişimi S’deki hem A ve hem de B’ye ait olan tüm sonuçların kümesidir S A AB B Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  4. Önemli Terimler (devam) • Eğer hiçbir ortak temel sonuca sahip değillerse A ve BBağdaşmaz (Karşılıklı Dışlamalı) Olaylar (MutuallyExclusiveEvents) dır. • Yani A ∩ B kümesi boş kümedir S A B Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  5. Önemli Terimler (devam) • Olayların Birleşimi –Eğer A ve B bir örnek uzayındaki iki olay ise o halde A U B birleşimi S’deki A veyaB’ye ait olan tüm sonuçların kümesidir S Pembe renkli (taralı) alan tümüyle A UB’i temsil etmektedir A B Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  6. Önemli Terimler (devam) • Eğer E1U E2U . . . UEk = S ise E1, E2, … Ekolayları Bütünü Kapsayan (Toplu Kapsamlı) (Collectively Exhaustive)olaylardır • Yani olaylar tamamen örnek uzayını kaplamaktadır. • Bir A olayının tümleyeni örnek uzayı içerisindeki A’ya ait olmayan tüm temel sonuçların kümesidir. Tümleyen ile gösterilmektedir. S A Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  7. Örnekler Örnek Uzayı bir zarın atılması sonucu elde edilen tüm muhtemel sonuçlar olsun: S = [1, 2, 3, 4, 5, 6] A“Atılan sayının çift olması” olayı olsun B“Atılan sayının en az 4 gelmesi” olayı olsun O halde A = [2, 4, 6] and B = [4, 5, 6] Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  8. Örnekler (devam) S = [1, 2, 3, 4, 5, 6] A = [2, 4, 6] B = [4, 5, 6] Tümleyenler: Arakesitler (Kesişimler): Birleşimler: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  9. Örnekler (devam) • Bağdaşmaz (Karşılıklı Dışlamalı): • A ve B bağdaşmaz (karşılıklı dışlamalı) değildir. • 4 ve 6 sonuçları her ikisi için ortaktır • Bütünü Kapsayan (Toplu Kapsamlı): • A ve B bütünü kapsayan (toplu kapsamlı) değildir. • A U B 1 veya 3’ü içermemektedir S = [1, 2, 3, 4, 5, 6] A = [2, 4, 6] B = [4, 5, 6] Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  10. Olasılık 3.2 • Olasılık –Belirsiz bir olayın meydana gelme şansıdır (daima 0 ile 1 arasındadır) 1 Belirli 0,5 0 ≤ P(A) ≤ 1 Herhangi bir olay için 0 İmkansız Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  11. Olasılığın Değerlendirilmesi • Belirsiz bir olayın olasılığını değerlendirmede üç yaklaşım mevcuttur: 1. klasik olasılık • Örnek uzayı içerisindeki tüm sonuçların eşit olasılıkta olduğu varsayılmaktadır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  12. Muhtemel Sonuçların Sayılması • Bir anda k kez alınan n nesnenin kombinasyonu sayısını belirlemek üzere Kombinasyonformülükullanılır • n! = n(n-1)(n-2)…(1) • 0! = 1 (tanım gereği) Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  13. Olasılığın Değerlendirilmesi Üç yaklaşım (devam) 2. nispi frekans olasılığı • Bir A olayının n adet büyük deneme sayısında meydana geldiği orantının limiti 3.öznel olasılık Meydana gelme olasılığı hakkındaki bir bireysel görüş veya inanç Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  14. Olasılık Önermeleri 1.Eğer A S örnek uzayında meydana gelen her hangi bir olay ise, o halde: • A, S’deki bir olay ve Oitemel sonuçları gösteriyorsa, o halde (notasyonA’daki tüm temel sonuçların toplamı olduğu anlamına gelmektedir) 3. P(S) = 1 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  15. Olasılık Kuralları 3.3 • Tümleyen Kuralı: • Toplam kuralı: • İki olayın birleşiminin olasılığı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  16. Bir Olasılık Tablosu İki A ve B olayı için olasılıklar ve bileşik olasılıklar bu tabloda özetlenmiştir: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  17. Toplam Kuralı (Örnek) 52 kartlık standart bir iskambil destesini dört takım ile ele alınız: ♥ ♣ ♦ ♠ A olayı =“kartın As olması” olayı olsun B olayı= kartın kırmız takımdan olma olayı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  18. Toplam Kuralı (Örnek) (devam) P(KırmızUAs) = P(Kırmızı) + P(As) - P(Kırmızı∩As) = 26/52 + 4/52 - 2/52 = 28/52 İki kırmızı ası iki kez saymayınız! Renk Tip Toplam Kırmızı Siyah 2 2 4 As 24 24 48 As olmayanlar 26 26 52 Toplam Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  19. Koşullu Olasılık • Birkoşullu olasılık is başka bir olayın meydana geldiğinin varsayıldığı bir olayın olasılığıdır: B olayının meydana gelmesi halinde A’ nın olasılığı A olayının meydana gelmesi halinde B’ nin olasılığı Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  20. Koşullu Olasılık (Örnek) • Bir arabanın K’sı olması halinde bir CD olması olasılığı nedir? yani, P(CD | K)’yi bulmak istiyoruz • Kullanılmış araba galerisinde %70’i klimalıdır (K) ve %40’ında (CD)vardır ve %20’sinde her ikisi de mevcuttur. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  21. Koşullu Olasılık (Örnek) (devam) • Kullanılmış araba galerisinde %70’i klimalıdır (K) ve %40’ında (CD)vardır ve %20’sinde her ikisi de mevcuttur. CD CD yok Toplam 0,2 0,5 0,7 K 0,2 0,1 K yok 0,3 0,4 0,6 1,0 Toplam Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  22. Koşullu Olasılık (Örnek) (devam) • Bahsi geçen K için, sadece en üst satırı ele alıyoruz (arabaların %70’i). Bunların %20’si CD okuyucuya sahiptir. %70’in %20’si % 28,57’dir. CD CD yok Toplam 0,2 0,5 0,7 K 0,2 0,1 K yok 0,3 0,4 0,6 1,0 Toplam Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  23. Çarpma Kuralı • İki A ve B olayının çarpımı: • ayrıca Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  24. Çarpma Kuralı (Örnek) P(Kırmızı∩As) = P(Kırmızı| As)P(As) Renk Tip Toplam Kırmızı Siyah 2 2 4 As 24 24 48 As olmayan 26 26 52 Toplam Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  25. İstatistiksel Bağımsızlık • İki olay istatistiksel olarak bağımsız eğer ve sadece ,: • Bir olay başka bir olay tarafından etkilenmediğinde A ve B olayları bağımsızdır • Eğer A ve B olayları bağımsızdır, o halde eğerP(B)>0 ise eğerP(A)>0 ise Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  26. İstatistiksel Bağımsızlık (Örnek) • Kullanılmış araba galerisinde %70’i klimalıdır (K) ve %40’ında (CD)vardır ve %20’sinde her ikisi de mevcuttur. • K ve CD olayları istatistiksel olarak bağımsız mıdır? Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  27. İstatistiksel Bağımsızlık (Örnek) (devam) CD CD yok Toplam 0,2 0,5 0,7 K 0,2 0,1 K yok 0,3 0,4 0,6 1,0 Toplam P(K∩ CD) = 0,2 P(K) = 0,7 P(CD) = 0,4 P(K)P(CD) = (0,7)(0,4) = 0,28 P(K∩ CD) = 0,2 ≠ P(K)P(CD) = 0,28 O halde bu iki olay istatistiksel olarak bağımsız değildirler Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  28. İki Değişkenli Olasılıklar 3.4 İki değişkenli olaylar için sonuçlar: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  29. Ortak (Bileşik) veTekil (Marjinal)Olasılıklar • A ∩ B, birleşik bir olayın olasılığı olmak üzere: • Bir tekil (marjinal) olasılığının hesaplanması: • Burada B1, B2, …, Bk k adet bağdaşmaz (karşılıklı dışlamalı) ve bütünü kapsayan (toplu kapsamlı) olaylardır. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  30. Tekil (Marginal)Olasılık (Örnek) Renk Tip Toplam Kırmızı Siyah 2 2 4 As 24 24 48 As değil 26 26 52 Toplam Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  31. Ağaç Diyagramının Kullanılması K olması veya K olmaması halinde: P(K∩ CD) = 0,2 CD’si var P(K)= 0,7 P(K∩ CD) = 0,5 CD’si yok K’sı var Tüm arabalar K’ya sahip değil P(K∩ CD) = 0,2 CD’si var P(K)= 0,3 CD’si yok P(K∩ CD) = 0,1 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  32. Bahisler • Özel bir olayın lehine bahisler olayın olasılığının onun tümleyenine bölünmesi ile elde edilen oran ile verilmektedir • A’ nın lehine bahisler; Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  33. Bahisler (Örnek): • Kazananlarının bahsinin 3’e 1 olduğu halde kazanma olasılığını hesaplayınız: • Pay ve paydayı 1 – P(A) ile çarpıp, P(A) için eşitliği çözünüz: 3 x (1- P(A)) = P(A) 3 – 3P(A) = P(A) 3 = 4P(A) P(A) = 0,75 Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  34. Aşırı Karışma Oranı (Overinvolvement Ratio) • B1 olayına koşullu A1olayının olasılığının A1 olayına koşullu B1olayının olasılığına bölünmesi aşırı karışma oranı olarak tanımlanmaktadır: • 1’den büyük bir aşırı karışma oranı A1olayının koşullu bahisler oranını B1lehine artırdığı anlamına gelmektedir: Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  35. BayesTeoremi 3.5 • burada: Ei = k bağdaşmaz (karşılıklı dışlamalı) ve bütünü kapsayıcı (toplu kapsamlı) olayların i’incisidir A = P(Ei)’yi etkileyebilecek olan yeni olaydır Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  36. BayesTeoremi (Örnek) • Bir sondaj şirketinin yeni bir kuyuda petrol bulma şansı %40’tır. • Daha fazla bilgi elde etmek üzere detaylı bir test planlanmıştır. Geriye dönük olarak başarılı kuyuların %60’ı, başarısız kuyuların %20’ı detaylı teste sahiptiler. • Bu yeni kuyuda detaylı test planlandığında, bu kuyunun başarılı olma olasılığı nedir? Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  37. BayesTeoremi (Örnek) (devam) • S = başarılı kuyu U = başarısız kuyu olmak üzere • P(S) = 0,4 , P(U) = 0,6 (ön olasılıklar) • Ayrıntılı testleri D olarak tanımlayınız • Koşullu olasılıklar: P(D|S) = 0,6 P(D|U) = 0,2 • Amaç P(S|D)’yi bulmaktır. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

  38. BayesTeoremi (Örnek) (devam) BayesTeoremini uygulayınız: O halde daha önce değerlendirilmiş olan başarı olasılığı (orijinal tahminlerde 0,4 olan) bir detaylı test için 0,667 olarak planlanmıştır. Yrd. Doç. Dr. İmran GÖKER

More Related