Das Problem der Museumswächter

1. Das Problem der Museumswächter Antje Gottschalk 04.01.2012 Proseminar „Das Buch der Beweise“

2. Einleitung Einleitung • Fragestellung der Algorithmischen Geometrie • tritt auf: • - in der Robotik • - in der digitalen Bildbearbeitung • - bei Beleuchtungsproblemen • - Beobachtung von Tierpopulationen • - Aufstellung der Infrastruktur für Wetterbeobachtung/ Warnung vor Naturkatastrophen • APX-Problem • aber es gibt scharfe obere Schranken für das Problem und seine Varianten • Im folgenden: • Museumswächterproblem von V. Klee und dessen Beweis von S. Fisk • drei Varianten Das Problem der Museumswächter

3. Die Fragestellung „Wie viele Wächter braucht man zur Überwachung eines Museums ?“ Victor Klee, August 1973, Konferenz in Stanford: Bedingungen: • die Wächter haben einen festen Standpunkt haben, • jeder Punkt ist im Sichtfeld eines Wächters, • die Wächter können sich um 360° drehen. Das Problem der Museumswächter

4. Die Fragestellung Grundriss des Museums = ein Polygon mit n Seiten WENN das Polygon konvex ist.  Ein Wächter reicht aus. ABER i.A. ist es ein beliebiges geschlossenes ebenes UND… Abb.1: Eine konvexe Ausstellungshalle [1] Das Problem der Museumswächter

5. Die Fragestellung … es gibt ziemlich verwinkelte Museen! Abb.2: Weisman Art Museum, Minneapolis, USA [1] [2] Das Problem der Museumswächter

6. Die Vermutung Die Vermutung Geg.: Museum mit n = 3m Wänden. Beobachtung: • Punkt 1 kann nur von einem Wächter beobachtet werden, der im schattierten Dreieck steht • (analog die Punkte 2,3,…,m) • alle Dreiecke sind disjunkt  man braucht mind. m Wächter. • Wächter an den oberen Kanten der Dreiecke postieren  m Wächter reichen aus • Vermutung: • Für jedes n gibt es ein Museum mit n Wänden, für das man n/3 Wächter braucht. • Diese obere Schranke ist scharf. Das Problem der Museumswächter

7. Der Museumswächtersatz Der Museumswächtersatz/ Art Gallery Theorem (Aufgestellt und bewiesen von Vašek Chvátal, 1975) Satz.Für jedes Museum mit n Wänden reichen n/3Wächter aus. Beweis von S.Fisk (1978): Schritt 1. Triangulierung des Polygons (Museumsgrundriss) Schritt 2. 3-Färbung der Triangulierung Schritt 3. Schlussfolgerung auf die obere Schranke Das Problem der Museumswächter

8. Fisk‘s Beweis; Schritt 1; Triangulierung des Polygons; Definition Fisk‘s Beweis Schritt 1. Triangulierung des Polygons P. Definition.Die Triangulierung T eines einfachen Polygons P ist ein planarer Graph, der dadurch gebildet wird, dass man die Ecken von P mit soviel wie möglich sich nicht-kreuzenden, in P liegenden Diagonalen verbindet, bis der Innenraum in Dreiecke aufgeteilt ist. Abb.3: Ein Museum mit n = 12 Wänden. [1] Abb.4: Triangulierung eines Museums mit n = 12 Wänden. [1] Das Problem der Museumswächter

9. Fisk‘s Beweis; Schritt 1; Triangulierung des Polygons; Beweis Satz.Für ein ebenes nicht-konvexes Polygon P existiert immer eine Triangulierung. Beweis. mittels Induktion über die Anzahl n der Ecken Induktionsanfang. n = 3  P ist ein Dreieck = P ist ein Triangulierung. Induktionsvorraussetzung. Der o.g. Satz gilt für ein n-Eck und alle Polygone mit weniger als n Ecken. Induktionsschritt. • Irgendeine Diagonale d finden, die das n+1-Eck P in zwei Teile P1 und P2 zerlegt • Existiert d, dann haben t1 und t2 jeweils weniger als n+1-Ecken •  P1 und P2 können nach IV in Dreiecke zerlegt werden •  P besteht aus allen diesen Dreiecken. •  P ist triangulierbar. Das Problem der Museumswächter

10. Fisk‘s Beweis; Schritt 1; Triangulierung des Polygons; Beweis Für den Induktionsschritt, Teil 1: Irgendeine Diagonale d finden, die dieses n+1-Eck P in zwei Teile t1 und t2 zerlegt • Suche eine konvexe Ecke A des Polygons • konvex = der innere Winkel an A ist kleiner als 180° • Innenwinkelsumme(P) = (n-2)*180°  es ex. mind. eine konvexe Ecke A • Nach Schubfachprinzip ex. sogar mind. drei konvexe Ecken ! • Betrachte Nachbarecken B und C von A • Wenn Strecke BC innerhalb von P liegt  Strecke BC ist Diagonale d. • Wenn nicht •  Dreieck ABC enthält weitere Ecken von P •  Verschiebung der Strecke BC Richtung A bis es die • letzte Ecke Z trifft, die in ABC liegt. •  Strecke AZ liegt im Inneren von P •  Strecke AZ ist Diagonale d. Abb.5:Diagonale d finden[1] Das Problem der Museumswächter

11. Fisk‘s Beweis; Schritt 1; Triangulierung des Polygons; 3D Kann man dies auf den 3-dimensionalen Fall verallgemeinern ??  Zerlegung in Tetraeder ohne zusätzliche Ecken Antwort:NEIN, denn es gibt ein Gegenbeispiel, das Schönhard-Polyeder. • Das Schönhardt-Polyeder: • entsteht aus einem Dreiecksprisma und Drehung des • Deckels • Triangulierung≙ Tetraeder muss das Bodendreieck • und eine weitere Ecke im Deckel enthalten • solch ein Tetraeder existiert nicht Abb.6: [1] Das Problem der Museumswächter

12. Fisk‘s Beweis; Schritt 2; Färbung der Triangulierung; Definition Schritt 2. 3-Färbung der Triangulierung T. Definition.Mit der 3-Färbung einer Triangulierung T ist die Zuordnung von Farben zu den Ecken von T gemeint, so dass zwei benachbarte Ecken niemals die gleiche Farbe haben. Farbe A Farbe B Farbe C Abb.7: Triangulierung eines Museums[1] Abb. 8: 3-gefärbte Triangulierung eines Museums Das Problem der Museumswächter

13. Fisk‘s Beweis; Schritt 2; Färbung der Triangulierung ; Beweis Satz.Jede Triangulierung T eines Polygons P ist 3-färbbar. Beweis (mittels Induktion). Induktionsanfang. n = 3  P ist ein Dreieck = P ist 3-färbbar. Induktionsvorraussetzung. Der o.g. Satz gilt für ein n-Eck und alle Polygone mit weniger als n Ecken. Induktionsschritt. • P wird trianguliert, P hat n+1 Ecken • Wahl zweier beliebiger Ecken u,v von P, die durch eine Diagonale uv verbunden sind • Die Diagonale uv teilt P in zwei kleinere triangulierte Graphen P1 und P2 • P1 und P2 enthalten jeweils weniger als n+1 Ecken • Nach IV sind P1 und P2 3-färbbar • In beiden Färbungen hat u Farbe A und v Farbe B • „Zusammenkleben“ von P • P ist 3-färbbar Das Problem der Museumswächter

14. Fisk‘s Beweis; Schritt 3; Schlussfolgerung auf die obere Schranke Schritt 3. Schlussfolgerung auf die obere Schranke Bisher gezeigt: Ein geschlossenes, ebenes Polygon mit n Wänden Schritt 1 ist triangulisierbar Schritt 2 3-färbbar. Das Problem der Museumswächter

15. Fisk‘s Beweis; Schritt 3; Schlussfolgerung auf die obere Schranke Farbe A Farbe B Farbe C Abb.8: 3-gefärbte Triangulierung eines Museums[1] • a, b, c entsprechen der Anzahl der Ecken pro Farbe (A, B, C), a, b, c   • n = die Gesamtzahl der Ecken, n   • n = a + b + c und a ≤ b ≤ c • 3a ≤ n  a ≤  n/3  • Jedes Dreieck enthält eine Ecke der Farbe A •  Volle Überwachung jeder Dreiecksfläche • Volle Überwachung der Grundfläche des gesamten Museums • Fazit: Die Anzahl der auf jeden Fall ausreichenden Wächter für ein • Museum mit n Ecken ist n/3 . Das Problem der Museumswächter

16. Variationen und Erweiterungen 1 Variationen und Erweiterungen 1. Die Wandwächter (G. Toussaint) Definition.Ein Wandwächter ist ein Wächter, der an einer Wand des Museums entlang läuft, und alles überwacht, was von irgendeinem Punkt der Wand aus zu sehen ist. Frage. Wie viele solche „Wandwächter“ brauchen wir, um das gesamte Museum zu überwachen? • Antwort. • I.A. können n/4 Wächter nötig sein (siehe Abb.) • Vermutung: Diese Anzahl reicht auch aus (außer für einige kleine Werte von n). Ein Beweis ist nicht in Sicht. Abb. 9: Dieses Polygon hat n = 28 Seiten/Ecken (und 4m Seiten i.a. Fall). [1] Das Problem der Museumswächter

17. Variationen und Erweiterungen 2 Variationen und Erweiterungen 2. Orthogonale Polygone (Kahn, Klawe, Kleitman. 1980) Definition.Ein orthogonales Polygon hat ausschließlich die Innenwinkel 90° und 270°. Satz.Zur Bewachung eines jedem überschneidungs- und lochfreien sowie planaren und orthogonalen Polygons mit n Seiten sind n/4 Wächterpunkte stets ausreichend und manchmal notwendig. • Beweis des Bedarfs. • siehe Abbildung • Beweis der Notwendigkeit. • basiert darauf, dass jedes orthogonale Polygon in konvexe Quadrilaterale zerlegt werden kann • zeigt dann, dass der resultierende Graph 4-färbbar ist • Platzierung der Wächter an den Ecken mit der ‘wenigsten’ Farbe m Abb.10: Orthogonaler Kamm hat n=4m Seiten/Ecken [3] Das Problem der Museumswächter

18. Variationen und Erweiterungen 2 Zusammenfassung Tab.1: Zusammenfassung [6] Benutzt man Wandwächter, braucht man ¼ weniger als feste Wächter. Das Problem der Museumswächter

19. Variationen und Erweiterungen 3 Variationen und Erweiterungen 3. Das Festungsproblem (D. Wood, J. Malkelvitch, 1970er, unabhängig voneinander) Frage. Wie viele feste „Eckwächter“ brauchen wir, um die gesamte äußere Umgebung einer Festung zu überwachen? • Antwort. • Einfache konvexe Polygone  höchstens n/2  Wächter • Allgemeine Polygone P  höchstens n/2  Wächter, denn • Trianguliere die konvexe Hülle von P • Verbinde alle äußeren Ecken mit einer neuen Ecke v∞ • Teile einen Knoten x in x‘ und x‘‘ • Bilde Triangulierung T des gesamten Graphen • 3-Färbung von T • Platzierung der Wächter in den Ecken mit der ‚seltensten‘ oder ‘zweitseltensten‘ Farbe • Orthogonale Polygone  höchstens n/4 +2 Wächter Abb. 11: Das Festungsproblem [6] Das Problem der Museumswächter

20. Quellen Quellen [1] M. Aigner, G. Ziegler, Das Buch der Beweise, 3. Auflage, Springer, 2009, S. 263-266 [2] www.hs-karlsruhe.de/fileadmin/hska/GOEM/Baum_Studieninteressierte/goem_mathe10_koerner.pdf [3] http://de.wikipedia.org [4] http://eric.gruver.net/ArtGalleryProblems.html [5] D. Avis, G. T. Toussaint, An efficient algorithm for decomposing a polygon into star-shaped polygons, Pattern Recognition, 13, Nr. 6, 1981, S. 395-398. [6] http://www.cs.purdue.edu/homes/aliaga/cs635-10/lec-artgallery.pdf [7] http://www.austms.org.au/Publ/Gazette/2004/Nov04/mathellaneous.pdf Das Problem der Museumswächter

21. Vielen Dank für Eure Aufmerksamkeit !

22. Fisk‘s Beweis; Schritt 1; Triangulierung des Polygons; Beweis Das Schubfachprinzip Informell.Falls man n Objekte auf m Mengen (n,m > 0) verteilt, und n größer als m ist, dann gibt es mindestens eine Menge, in der mehr als ein Objekt landet. [3] Vorstellung. Falls man eine bestimmte Anzahl von Schubfächern hat, und man mehr Objekte in die Fächer legt als Fächer vorhanden sind, dann landen in irgendeinem Schubfach mindestens zwei dieser Objekte. [3] Das Problem der Museumswächter

23. Fisk‘s Beweis; Schritt 1; Triangulierung des Polygons; Beweis Das Festungsproblem: Allgemeine Polygone 1. Trianguliere die konvexe Hülle von P 2. Verbinde alle äußeren Ecken mit einer neuen Ecke v∞ 3. Teile einen Knoten x in x‘ und x‘‘ • 4. Bilde Triangulierung T des gesamten Graphen • 5. 3-Färbung von T • 6. Platzierung der Wächter in den Ecken mit der ‚seltensten‘ oder ‘zweitseltensten‘ Farbe Das Problem der Museumswächter