Forza di Lorentz

1. Forza di Lorentz Sperimentalmente si ha evidenza della presenza di un campo magnetico sia in vicinanza di magneti permanenti sia in prossimità di correnti elettriche (Oersted 1820). Non c’è evidenza sperimentale dell’esistenza di monopòli magnetici. Nella realtà, si ha campo magnetico in presenza di flusso di cariche oppure in presenza di particelle dotate di un campo magnetico intrinseco. Per definire il campo magnetico B, consideriamo la forza magnetica FB esercitata su una carica in moto. Sperimentalmente si osserva che se v  B allora FB = 0 altrimenti FBv B sin f dove f è l’angolo tra v e B. Pertanto, la forza a cui è soggetta la carica q in moto con velocitàv in un campo B è data da: ed in modulo da FB= qv B sin f Tale relazione è nota come forza di Lorentz. La forza di Lorentz ha direzione perpendicolare al piano contenente v e B. Il verso è dato dalla regola del prodotto vettoriale e dal segno di q. Inoltre, tale forza è nulla quando v=0 o quando v  B (cioè quando f = 0), mentre è massima in modulo per f = p/2. Inoltre, il lavoro compiuto dalla forza di Lorentz durante lo spostamento della carica a cui è applicata è nullo: Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

2. Forza magnetica agente su una particella Tale relazione è nota come forza di Lorentz. La forza di Lorentz ha direzione perpendicolare al piano contenente v e B. Il verso è dato dalla regola del prodotto vettoriale e dal segno di q. Inoltre, tale forza è nulla quando v=0 o quando v  B (cioè quando f = 0), mentre è massima in modulo per f = p/2. Inoltre, il lavoro compiuto dalla forza di Lorentz durante lo spostamento della carica a cui è applicata è nullo: Ciò ha come conseguenza che la forza di Lorentz non può modificare l’energia cinetica di una particella (non compie lavoro!) ma può però modificarne la traiettoria. In presenza di campo elettrico e magnetico contemporaneamente la forza di Lorentz può essere generalizzata come: Qui il campo magnetico è uscente dal piano della pagina Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

3. Linee di campo magnetico Il campo magnetico B può essere rappresentato con linee di forza alle quali è tangente in ogni punto e la densità delle quali è proporzionale all’intensità di B. A differenza del campo elettrico, le linee di campo magnetico sono linee chiuse ed entrano dentro il magnete. Il campo è più intenso vicino alle estremità del magnete (come confermano gli esperimenti). Il polo magnetico da cui emergono le linee di campo è detto polo nord, l’altro polo sud. Poli magnetici opposti si attraggono, poli magnetici simili si respingono. Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

4. Scoperta dell’elettrone Quando B ed E hanno direzioni perpendicolari tra loro, si dicono campi incrociati. Nel 1897 J. J. Thomson (Università di Cambridge) scoprì l’elettrone usando un tubo a raggi catodici (schermo TV). In tale dispositivo, all’interno delle piastre del condensatore è presente sia un campo elettrico diretto dall’alto verso il basso, sia un campo magnetico ortogonale alla pagina ed entrante in essa. Regolando opportunamente il campo elettrico E è possibile imprimere una deviazione al fascio di elettroni, dovuta al fatto che tra le piastre il moto è parabolico. L’altezza raggiunta dalla particella sullo schermo vale: Regolando poi opportunamente il campo magnetico B, è possibile annullare l’effetto dovuto ad E: quando le due forze si bilanciano si ha q E = q v B cioè v = E / B da cui si ottiene: L=lunghezza dei piatti v=velocità della particella m=massa della particella E=campo elettrico q=carica della particella Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

5. Effetto Hall Nel 1879 E. H. Hall dimostrò che anche gli elettroni di conduzione (e qualunque portatore di carica in moto) risente degli effetti dovuti alla forza di Lorentz. In figura è riportata una lamina di Cu di larghezza d nella quale scorre una corrente i dall’alto verso il basso. I portatori di carica (elettroni) si muovono pertanto con velocità diretta dal basso verso l’alto (vd). Se si applica un campo magnetico esterno B perpendicolare al piano, ogni elettrone è soggetto alla forza di Lorentz FB diretta da sinistra verso destra. Gli elettroni si ammasseranno quindi verso destra generando un campo elettrico longitudinale E, diretto da sinistra verso destra. E avrà come effetto quello di generare una forza elettrica FE diretta da destra verso sinistra che si opporrà a FB. La situazione all’equilibrio sarà quella per cui FE = - FB e quindi gli elettroni si muoveranno rettilineamente. Ma sarà presente una d.d.p. tra il lato destro ed il lato sinistro della lastra, dato da V = E d Evidentemente, quando sono gli elettroni a muoversi, il lato sinistro avrà potenziale positivo, mentre se i portatori di carica sono positivi (es. semiconduttori) il lato destro avrà potenziale positivo. L’uguaglianza delle forze implica e E = e vd B da cui, sostituendo vd, si ha: Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

6. Cariche in moto circolare Quando una carica entra in una zona con campo magnetico ortogonale alla sua velocità iniziale v, essa è soggetta alla forza di Lorentz che a sua volta è ortogonale a v. Per quanto si è visto, il modulo di v rimane costante (la forza di Lorentz non compie lavoro) e quindi anche l’energia cinetica non varia: In tutti i casi in cui la forza è ortogonale alla velocità e l’energia cinetica si conserva, si ha moto circolare uniforme (a = accelerazione centripeta = v2/r) si può ricavare il raggio dell’orbita: Il periodo vale , la frequenza e la vel. angolare Si noti che frequenza e velocità angolare sono indipendenti da v, e dipendono solo dal rapporto q/m. Il raggio invece ha un segno dipendente dal valore di q, per cui guardando il verso di rotazione si deduce la carica q. Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

7. Traiettorie elicoidali Se la velocità della particella carica non è perpendicolare a B la particella sarà soggetta ad un moto rettilineo uniforme nella direzione di B ed ad un moto circolare uniforme nella direzione ad esso perpendicolare, per cui il moto risultante sarà elicoidale. Se il campo magnetico B non è omogeneo, la particella sarà soggetta ad un moto a spirale con raggio variabile. Se le disuniformità di B sono molto forti, la particella può rimanere imbottigliata nel campo magnetico ed essere riflessa avanti ed indietro. Un tale fenomeno si verifica nell’alta atmosfera terrestre, in prossimità dei poli, nelle fasce di Van Allen. L’addensarsi degli elettroni produce un campo magnetico che talora dà origine alle aurore polari. Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

8. Strumenti Gli spettrometri di massa misurano la massa degli ioni. Lo ione carico q, inizialmente fermo, viene accelerato da un campo elettrico fino a penetrare nella zona interessata dal campo magnetico, dove è soggetto ad una traiettoria circolare con raggio x = 2 R che, come si è visto, dipende da m / q. I ciclotroni sono dispositivi per accelerare le particelle costituiti da due semidischi a forma di D nei quali è presente un campo magnetico ortogonale al piano della figura e tra i quali è presente un campo elettrico che cambia segno ad ogni semirotazione delle particelle (che, come si è visto, hanno periodo di rotazione indipendente dal raggio dell’orbita). In questo modo, ad ogni passaggio tra le due D l’energia cinetica della particella aumenta e quindi il raggio R = m v / q B dell’orbita aumenta. Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

9. Forza magnetica agente su un filo percorso da corrente Un filo verticale in cui circoli una corrente è soggetto ad una forza in quanto tutti i portatori di carica all’interno del filo, in moto con velocità vd, sono soggetti alla forza di Lorentz. Nel tempo t tutti i portatori di carica compresi nel tratto L trasportano la carica q = i t = i L / vd attraverso una sezione del filo. La forza di Lorentz può essere scritta quindi come FB = q vd B sin 90° = i L B Se il campo magnetico B non è perpendicolare al filo, si avrà mentre se il filo non è rettilineo si avrà l’espressione: Osservazioni all’elemento di corrente è applicata una forza (forza magnetica) perpendicolare a I dl. Vi è un’unica direzione per cui all’elemento di corrente non è applicata alcuna forza: è la direzione di B. La forza è perpendicolare alla direzione di dl e alla direzione di B. L’intensità della forza è proporzionale alla lunghezza dell’elemento di corrente, all’intensità della corrente I e a sinq (q = angolo tra il vettore I dl e il vettore B): Unità di misura di B nel sistema SI tesla (T = N A-1 m-1) Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

10. Momento torcente Consideriamo una spira in un campo magnetico uniforme B. Ogni lato della spira quadrata è soggetto alla forza magnetica. F2 = i b B sin (90°-q) = i b B cos q Anche la forza sul lato 4 vale: F4 = i b B sin (90°-q) = i b B cos q ma è diretta nel verso opposto. Per le altre due si ha: F1 = F3 = i a B e costituiscono una coppia di forze. che provoca la rotazione della spira. Il momento meccanico vale: Cioè, sostituendo: Definendo il momento magnetico della spira comem = I A, si può scrivere t = m B sin q Oppure, in forma vettoriale,t = mB Questi fenomeni sono utilizzati nei galvanometri, misuratori di corrente molto sensibili che funzionano appunto misurando il momento torcente agente su una serie di spire. Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02

11. Momento di dipolo magnetico Da quanto si è visto, l’equazione t = m  B definisce il momento torcente agente su una spira percorsa da corrente mediante il vettore m = i A momento di dipolo magnetico. Nel caso più generale di una bobina con N spire, si scriverà m = N i A dove il verso di m è come indicato in figura (regola della mano destra). Il dipolo magnetico deve allora possedere un’energia potenziale magnetica che dipende dall’orientamento del dipolo nel campo. Essa vale: U(q) = - m B Ed è minima quando il dipolo è allineato con il campo magnetico, e massima quando è antiallineato. In caso di rotazione del dipolo magnetico, il lavoro compiuto sul dipolo dal campo magnetico vale: L = - DU = - ( Uf – Ui) E per ruotare il dipolo di un certo angolo: Corso di Fisica B, C.S.Chimica, A.A. 2001-02