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N=1* 行列模型と ２次元 Yang-Mills 理論の間の関係

N=1* 行列模型と ２次元 Yang-Mills 理論の間の関係. 伊敷　吾郎　（大阪大学・ KEK ）. arXiv:0711.4235[ hep-th ] arXiv:08**.****[ hep-th ] in preparation. 共同研究者. 島崎信二氏 ( 大阪大学 ) ・太田和俊氏 ( 東北大学 ) ・土屋麻人氏 ( 静岡大学 ). 超弦理論の非摂動的な定義として 提唱されている行列模型. IIB matrix model [ Ishibashi -Kawai-Kitazawa-Tsuchiya]

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N=1* 行列模型と ２次元 Yang-Mills 理論の間の関係

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  1. N=1*行列模型と２次元Yang-Mills理論の間の関係 伊敷　吾郎　（大阪大学・KEK） arXiv:0711.4235[hep-th] arXiv:08**.****[hep-th] in preparation 共同研究者 島崎信二氏(大阪大学)・太田和俊氏(東北大学)・土屋麻人氏(静岡大学)

  2. 超弦理論の非摂動的な定義として提唱されている行列模型超弦理論の非摂動的な定義として提唱されている行列模型 IIB matrix model [Ishibashi-Kawai-Kitazawa-Tsuchiya] BFSS Matrix model [Banks-Fischler-Shenker-Susskind] Matrix string theory [Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde] ：fields Nontrivial cycles ：matrices ？ Wilson loops 行列模型 曲った時空上の理論 曲った時空や、その上の位相不変量を、行列模型で記述できるのか?

  3. 多くの種類の多様体が行列模型で実現され得る多くの種類の多様体が行列模型で実現され得る [cf. Hanada-Kawai-Kimura] S3の行列模型による実現 [Kaneko-Kitazawa-Matsumoto] [GI-Shimasaki-Takayama-Tsuchiya] N=4 SYM on R×S3 Matrix T-duality/Large N reduction SYM on R×S2 Commutative limit of fuzzy sphere Plane wave matrix model 古典的な作用の等価性 [GI-Shimasaki-Takayama-Tsuchiya] [Ishii-GI-Shimasaki-Tsuchiya] (島崎氏の講演参照) 1-loop レベルでの等価性 2-loop, 3-loop, ‥‥, 数値計算

  4. 本講演の主題 ⇒ 位相的な場の理論の行列模型による実現 古典的な等価性 [Ishii-GI-Ohta-Shimasaki-Tsuchiya] Chern-Simons theory on S3 Matrix T-duality/ Large N reduction BF theory on S2 (2d YM on S2) Continuum limit of fuzzy sphere 我々の示したこと N=1* 行列模型 2dYMの分配関数は、N=1*行列模型の 分配関数の連続極限として得られる ⇒　非摂動的な等価性の検証 経路積分をExactに実行できる N=1*行列模型によってBFやCS の位相不変量を再現できるのか？ ⇒　行列模型による 　　 位相不変量の記述

  5. 我々の得た結果 N=1* matrix model BF+mass term (2 dim YM) on S2 N=1*行列模型の分配関数を fuzzy sphere 解の周りで求め、 これが Minahan-Polychronakosによって得られたBFの分配関数と 連続極限で一致することを確かめた。

  6. 計算の方法 (1) Fuzzy sphere 解の周りの理論 (2) 行列模型におけるモノポールの導入 (3) 経路積分の実行 (4) 連続極限をとる

  7. 計算過程(1): fuzzy sphere background 運動方程式 S2上のBF理論を再現するために、次のbackground周りの理論を考える。 ：SU(2)生成子の表現行列　(fuzzy sphere) 目標の式は S2上のモノポール磁荷についての足し上げ 行列模型においても、モノポールを構成する必要がある。

  8. 計算過程(2): 行列模型におけるモノポール Background として以下のような表現を考える。 角運動量のカットオフ モノポール磁荷 S2上の局所切断の基底 (monopole harmonics) 長方形行列の基底 （fuzzy spherical harmonics） map [Grosse-Klimcik-Presnajder, Baez-Balachandran-Ydri-Vaidya, Dasgupta-SheikhJabbari-Raamsdonk,] [Wu-Yang] 可約表現を考えることで、モノポール配位が実現される。

  9. 計算過程(3) : 経路積分の実行 連続極限での　Blau-Tompsonらの分配関数の計算と同様の方法で行われる。 全ての場は、作用において高々二次 ⇒ 積分可能 Fuzzy sphere 解周りの理論 と場を再定義すると、 [ⅰ]　行列をfuzzy spherical harmonics で展開する。 [ⅱ]　　　　を対角化するゲージをとる。 [ⅲ]　　　　　　　について積分する。

  10. 対角ゲージを取った際の ゴーストの積分からくる因子 の積分からくる因子

  11. 計算過程(4) : 連続極限 と再定義 N=1* 行列模型の分配関数から、二次元YM　の分配関数を再現された

  12. まとめ ◆ N=1*行列模型の分配関数を fuzzy sphere 解の周りで求め、 　 これが連続極限でS2上のYM理論の分配関数に帰着することを示した。 展望 ◆　Localization を用いた分配関数の導出 ◆　２DYM の演算子の期待値を行列模型から導出 ◆　Matrix T-duality/Large N reductionを用いれば、 S3(/Zk) 上の Chern-Simons 理論を行列模型から構成することができる。 CS の記述する位相不変量が行列模型から導けるかどうか。 N=1*行列模型における Wilson loop 演算子 [Ishii-GI-Ohta-Shimasaki-Tsuchiya]

  13. 行列模型におけるウィルソンループ [Ishii-GI-Shimasaki-Ohta-Tsuchiya] 非可換平面上のWilson loop 演算子 [Ishibashi-Iso-Kawai-Kitazawa] 我々は連続極限で S3上のウィルソンループ演算子に帰着する演算子を 行列模型において構成した。 （commutative limit） この演算子の期待値を求めることで、行列模型が位相不変量を再現 するかどうかを確かめることができる。

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