Lineære funktioner

Lineære funktioner Prøv selv at svare på spørgsmålene, fylde hullerne ud og tegne ind, før du klikker frem til svaret. AM/ Maj 2006

Hvad ved I? – og hvad vidste I alligevel? Hvad er en lineær funktion? En lineær funktion er en funktion, der har en graf, som er en ret linie i et almindeligt koordinatsystem. Hvordan ser forskriften for en lineær funktion ud? En lineær funktion har forskriften y = ax + b el. f(x) = ax + b Bevis

Tilvækster  er det græske bogstav "Delta", der svarer til vort D og benyttes til angivelse af tilvækster

Grafisk betydning af a • Hvad angiver tallet a? Hældningskoefficienten a er forholdet mellem y-tilvækst y og x-tilvækst x Dvs. a er tilvæksten i y = f(x), når x-værdien vokser med 1. 1  & a  • Hvordan kan man indse, at ? Tag to tilfældige x-værdier x1 og x2. x2 = x1 + x Indsæt x1 og x2 i forskriften y = ax + b ax1 + b y1 = f(x1) = og ax2 + b = a(x1 + x) + b = ax1 + ax + b y2 = f(x2) = Bestem f = y Eller se her y= ax  y2 – y1=

Grafisk betydning af b • Hvad angiver tallet b? b er værdien i 0 ”Startværdien” dvs. b = f(0) • Hvordan kan man indse, at b = f(0)? Indsæt x = 0 i f(x) = ax + b f(0) = a0 + b  f(0) = b • Hvilken viden giver det om linien, at b = f(0)? Linien går gennem punktet (0,b) – dvs. at b kan aflæses som 2.koordinaten til liniens skæringspunkt i et sædvanligt koordinatsystem

P Tegning af grafen for en lineær funktion y = f(x) = -2x + 3 b = 3 dvs. punktet ligger på linien (0,3) a = -2 , dvs. at man fra punktet (0,3) går 1 th og a = -2 op, dvs. 2 ned Der har man så et andet punkt på linien, som så kan tegnes. Kontrol: fx f(2) = -2·2 + 2 = -2 P(2,-2) ligger på linien Opgaver

6a 3 6 a 1 Bestemmelse af forskrift v/aflæsn. b = f(0) = 1 a: 1 th og a op eller 6 th og 6a op dvs. at a = ½ Forskriften er altså f(x) = ½x + 1 Kontrol: f.eks. f(4) = ½4 + 1 = 3

Bestemmelse af forskrift v/beregn. ud fra to pkt. (x1,y1) og (x2,y2) og b = y2 + a∙? = y2 - a∙x2 Eksempel:f er en lineær funktion med f(2) = 3 og f(-2) = 5Punkterne på linien er altså (2,3) og (-2,5) og b = 5 + 2∙a = 5 + 2∙(-½) = 4 a = Forskriften er altså f(x) = -½x + 4 Kontrol på det punkt, der ikke har været brugt til beregning af b f(2) = -½∙2 + 4 = -1 + 4 = 3 Opgaver

Skæring mellem rette linjer og g(x) = cx + d f(x) = ax + b g(x) f(x) Skæringspunktet S er fastlagt ved, at f(x) = g(x). 1. koordinaten x bestemmes ved at løse ligningen: S f(x) = g(x) f(x) = g(x)  ax + b = cx + d ax – cx = d – b x O (a – c)x = d – b d – b x = a – c

Eksempel f(x) = g(x)  2x – 1= -3x + 9  5x – 1 = 9  5x = 10  x = 2 f(2) = 2 2 – 1 = 3 eller g(2) = -3  2 + 9 = 3 Skæringspunktet er S(2,3) Opgaver

Lineære funktioner