58. ročník MO Soustředění řešitelů Kategorie A

1. 58. ročník MO Soustředění řešitelů Kategorie A Nadreálná čísla Jiřetín 2008

2. O čem budeme dnes večer hovořit? Seznámíme se s matematickou teorií, která: se zabývá některými hrami pro dva hráče, ukáže například, jak lze tyto hry „sčítat“, zavede např. kladné hry pomocí herní strategie, nazve jisté speciální hry čísly, vysvětlí, jak se hry-čísla násobí a odmocňují, a konečně odhalí, že tyto hry-čísla obsahují nejenom všechna reálná čísla, ale mnoho dalších nekonečně malých i nekonečně velkých čísel.

3. Úvod Důležité teorie, které předcházely teorii nadreálných čísel (Dedekind a Cantor)

4. Jak Dedekind tvoří iracionální čísla? Vychází z množiny všech racionálních čísel …Q. Při tvorbě nového (iracionálního) čísla rozloží množinu Q na dvě neprázdné podmnožiny A, B tak, že: pro každá dvě čísla a A, b  B platí, že a  b, množina A nemá maximum, množina B nemá minimum. Uspořádané dvojici množin (A;B) říká řez v množině Q.

5. Příklad jednoho iracionálního čísla: Definujme množiny A, B takto: B =  b  Q  b  0  b2  2  , A = Q – B • Jsou obě množiny neprázdné? • Proč tvoří rozklad množiny Q? • Proč pro každá dvě čísla a A, b  B platí, že a  b? • Opravdu nemá množina B své minimum? • Jak odůvodnit, že množina A nemá maximum? Tento řez (A;B) množině Q definuje iracionální číslo, kterému říkáme „druhá odmocnina ze dvou“ .

6. Jak Cantor tvoří přirozená a ordinální čísla? Ordinální čísla (mezi něž patří i přirozená čísla) jsou postupně vytvářena takto: Každé ordinální číslo je množina všech již dříve vytvořených ordinálních čísel. 0 =   1 = 0 2 = 0  1 3 = 0  1  2 atd.  =  0  1  2  3  ……  +1 =  0  1  2  3  …    +2 =  0  1  2  3  …    +1  atd.

7. Představa ordinálních čísel 0, 1, 2, …. , ω, ω+1, ω+2, .... , ω+ω = ω.2, ω.2+1, ω.2+2, ω.2+3, …. , ω.2+ω = ω.3, …. , ω.4, … , ω.5, ……., ω.ω = ω2, ω2+1, ω2+2, …. , ω2+ω, … , ω2+ω.2, ….. , ω2+ω.3, ….. , ω2+ω.ω = ω2+ω2 = ω2.2, ω2.2+1, ….. , ω2.3, … , ω2.4, … , ω2.ω = ω3, … , ω4 , … , ω5 , … , ωω, ωω+1, …. , ωω+ω, …. , ωω+ω.2, …. , ωω+ω2, …. , ωω+ω3, …. , ωω+ωω= ωω.2 , …. , ωω.3, …. , ωω.ω, …………………………………

8. Základní představa her Jakými objekty se vlastně budeme zabývat? Jaký význam pro nás bude mít slovo „hra“?

9. Pojďme si zahrát nějakou hru! Budeme hrát na „stromečkovém schématu“: L-hráč táhne vždy vlevo nahoru, R-hráč táhne vždy vpravo nahoru. Tahy na sebe navazují. Kdo nemůže dál táhnout, prohrává. R ► L L ► L tj. ► L

10. Hra a její subhry Hra x je zcela určena svými subhrami, píšeme x xL xR. Je-li ve hře x na tahu levý hráč, může táhnout do libovolné subhry xL, analogicky pravý hráč může táhnout do libovolné subhry xR.

11. Hry jako matematické objekty Základní konstruktivní definice Induktivní důkazy Opačné hry Sčítání her

12. Konstruktivní definice her Jestliže jsou dány dvě libovolné množiny her (prvky první množiny budeme označovat xL a prvky druhé množiny xR ), pak můžeme zkonstruovat novou hru x xL xR . Všechny hry jsou konstruovány tímto způsobem. 0. den našeho „tvoření nemáme k dispozici zatím žádnou hru, ale můžeme vytvořit hru, která bude mít obě své podmnožiny subher prázdné! Později ukážeme,že je vhodné označit: 0  

13. A co dál? 1. den našeho tvoření již máme k dispozici jednu hru 0 a můžeme tedy vytvořit tři nové hry: 1 0 -1  0*00 2. den našeho tvoření již máme k dispozici čtyři hry a můžeme vytvořit řadu dalších nových her, například: 1/2 0 1 0*0; 1; *-1;*atd.

14. Jak budeme dokazovat tvrzení o hrách? Protože všechny hry x xL xRjsou vytvořeny ze svých subher xL a xR, a proces „tvoření“ začíná hrou 0, můžeme obecná tvrzení o hrách dokazovat indukcí. Pro důkaz věty tvaru „pro každou hru x platí tvrzení T(x)“ stačí ukázat, že platí: (1) tvrzení T(x) platí pro hru 0, (2) platí-li tvrzení T(x) pro všechny subhry xL a xR, platí i pro hru x xL xR.

15. Opačné hry Vymění-li si levý a pravý hráč své role, projeví se to na stromečku tak, jakoby se otočil kolem svislé osy o 1800. Definice Ke hře x xL xR definujeme opačnou hru takto: -x -xR -xL .

16. Zahrajme si „simultánku“! Hraje se na dvou stromečcích zároveň. Je-li hráč na tahu, dělá dovolený tah buď v jednom anebo v druhém stromečku.

17. Součet her Je zřejmé, jaké má nová hra subhry, nazveme ji součtem her x a y . x + y  xL + y ;x + yL xR + y;x + yR 

18. Některé jednoduché věty Dokažme například následující věty: x + 0  x - (-x)  x x + y  y + x - ( x + y )  (-x) + (-y) Důkaz první věty: 0 + 0  +    0 x + 0 xL xR +  xL + 0  xR + 0  xL xR  x

19. Strategická interpretace relací Které hry jsou kladné či záporné? Které hry jsou rovny nule? Můžeme každé dvě hry porovnat podle velikosti?

20. Vztahy her k nule x > 0 EVS pro levého hráče x < 0 EVS pro pravého hráče x = 0 EVS pro druhého hráče x || 0 EVS pro prvního hráče Definujme následující relace: Pak třeba snadno dokážeme: 0 = 0 , *|| 0 , > 0 ,-1 < 0 (x) x + (-x) = 0 atd.

21. Relace mezi hrami Definice x R y  x + (-y) R 0 Speciálně:x > y  x + (-y) > 0 x < y  x + (-y) < 0 x = y  x + (-y) = 0 x || y  x + (-y) || 0 Pak můžeme třeba dokázat, že platí 1/2 + 1/2 = 1 atd.

22. Nadreálná čísla Které hry budeme nazývat nadreálnými čísly? Jak definovat součin čísel? Jak čísla postupně vznikají?

23. Které hry nazveme „nadreálnými čísly“ ? Definice Hru x xL xR budeme nazývat (nadreálným) číslem právě tehdy, když (i) každá její subhra je nadreálné číslo, (ii) (xL) (xR) xL <xR . Příklady: Hry 0 , 1 , -1 , 1/2 , atd. jsou nadreálnými čísly, hry *, , atd. nejsou nadreálnými čísly. Věta Pro každé nadreálné číslo x xL xR platí: (xL) (xR) xL <x<xR .

24. Definice násobení čísel Motivace: Víme, že pro každá dvě čísla x xL xR a y yL yR a jejich subhry platí tyto nerovnosti: x –xL  0 ,x – xR < 0 , y –yL  0 ,y – yR < 0 . Odtud pak plyne, že by „mělo být“ (x –xL).(y – yL)  0 x.y  xL.y + x.yL – xL.yL, (x –xL).(y – yR)<0 x.y <xL.y + x.yR – xL.yR, atd. x.y xL.y + x.yL – xL.yL , xR.y + x.yR – xR.yR xL.y + x.yR – xL.yR , xR.y + x.yL – xR.yL

25. Některé věty a výpočty x.y xL.y + x.yL – xL.yL , xR.y + x.yR – xR.yR xL.y + x.yR – xL.yR , xR.y + x.yL – xR.yL x.0 xL xR.    0 x.y  y.x 0.1  .0   0 x.1 xL xR.0  xL.1 + x.0 – xL.0xR.1 + x.0 – xR.0 xL xR x 2 . 1/2 1.0 1 = 1 , atd.

26. Historie vzniku čísel  =  0  1  2  3  …   =  0  1  1/2  1/4  … 

27. Na závěr několik příkladů Podivuhodné formule pro nekonečně malá a nekonečně velká čísla

28. Formule pro nekonečně velká čísla +1=     -1=  0  1  2  3  …   +1/2 =   +1 -1/2 =  -1  2. =    +1  +2  +3  …   2 =    2. 3. 4.  … /2 =  0  1  2  …   -1  -2  …  /4 =  0  1  … /2  /2 -1  …   =  0  1  …   /2  /4  …  Například:

29. Formule pro nekonečně malá čísla  = 1/  /2 =  0   /4 =  0  /2  2 =  0    /2   /4  … 2. =    1  1/2  1/4  …  3. =  2.  1  1/2  1/4  …   =    2.  3.  … 1  1/2  1/4  …  Například: Představme si strukturu nadreálných čísel !

30. Kde se můžete dozvědět více? Conway J.H. : On Numbers and Games, Academic Press, London 1926 Cihlář J., Vopravil V. : Hry a čísla, PF UJEP, Ústí nad Labem 1983 http://mathworld/wolfram/com

31. Závěr Seznámili jsme „letmo“ s Conwayovou teorií her a nadreálných čísel. Ukázali jsme, jak lze hry porovnávat podle velikosti a jak je můžeme sčítat. Dozvěděli jsme se, že některé hry můžeme považovat za čísla, která jdou násobit či odmocňovat, atd. Zjistili jsme, že mezi těmito čísly jsou i čísla nekonečně malá a nekonečně velká, a že i s „nekonečnými“ čísly lze provádět výpočty. Reálná čísla jsou jenom malou částí čísel nadreálných.

32. Děkuji vám za pozornost.