Download
1 / 19
190 likes | 422 Views
Gravitatie en kosmologie FEW cursus. Jo van den Brand & Mark Beker Metrische tensor: 6 oktober 2009. Einsteins sommatieconventie. Vector en 1-vorm geven een scalar Sommatie index is een dummy index, want uiteindelijk krijgen we een getal Problemen.
E N D
Gravitatie en kosmologie FEW cursus Jo van den Brand & Mark Beker Metrische tensor: 6 oktober 2009
Einsteinssommatieconventie • Vector en 1-vorm geveneen scalar • Sommatie index is een dummy index, want uiteindelijkkrijgen we eengetal • Problemen Vrije indices horenovereentekomen Nu tel je appels en peren op Links een 1-vorm, rechtseen scalar Sommatie index maar 1x gebruiken Verschillendeobjecten Gradient is een 1-vorm
Euclidischeruimte • Vlakkeruimte met afstandtussenpuntenals invariant • Pythagoras Evenzo in 3 dimensies Stel we hebben vector Wat is dan de 1-vorm ?
Minkowskiruimte • Lichtgedraagtzichonafhankelijk van de waarnemer • Golffrontenzijnbehoudenvoorbewegendewaarnemers • Beschouwbolgolvenvanuit de oorsprong We hebben nu ruimtetijd en weereen invariant (een scalar). Trouwens, elke is een scalar en dus invariant!
Minkowskiruimte • Metrische tensor • Beschrijft de vlakke (hyperbolische) ruimte van de specialerelativiteitstheorie Beschouw 2D hyperbolischeruimte, cdt en dx Stel we hebben vector Wat is dan de 1-vorm ? Wat is de lengte van ? Kan positief, nul of negatiefzijn! Metriekheeftsignatuur 2: een pseudo-riemannsevariëteit
Minkowskiruimte ct C C’ • Ruimtetijdgeometrie B’ A B Welkezijde van driehoek ABC is het langst? Welk de kortste? Watzijn de lengten? A’ |AB| = 5, |BC| = 3, |AC| = wortel(-32 + 52) = 4 x Wat is het kortste pad tussenpunten A en C? De rechtelijntussen A en C, of het pad ABC? Rechte pad AC is kortste pad tussen A en C Tweelingparadox Idem voordriehoek A’B’C’ |A’B’| = |B’C’| = wortel(-32+32) = 0 en |A’C’| = 6 Kortste pad is A’B’C’ met lengte 0.
Euclidisch versus minkowskiruimte • Afstands2tussenoorsprongO en P Euclidisch Minkowski ct y x x
Minkowskiruimte – wereldlijnen ct deeltje in rust deeltje met willekeurigesnelheid deeltjenaarrechtsbewegend met constantesnelheid deeltje met lichtsnelheid 45o x
Minkowskiruimte – dopplerfactor Waarnemers A en B hebbengeijktestandaardklokken en lampjes ct t = tijdtussenpulsen van lampje van A, gemeten met de klok van A waarnemer A t’= tijdtussenpulsen van lampje van A, gemeten met de klok van B waarnemer B met dopplerfactork 45o x
Minkowskiruimte – dopplerfactor Vanuit punt P bewegenwaarnemers A en B ten opzichte van elkaar (constantesnelheid v van B tov A) waarnemer A R Lampje van A flitstnatijdtgemeten met de klok van A (in E) B ziet de flits van A natijdkt(in Q) waarnemer B B flitstzijnlampje in Q. Waarnemer A zietdat in R, op tijd Afstand van Q tot A: (vluchttijdradarpuls x lichtsnelheid)/2 Q M M is gelijktijdig met Q als E P
waarnemer Minkowskiruimte – inproduct O We kennen de vector toe aan de geordende events P en Q Q P Definitie: Afspraak: tijdenvoor P negatief tijdenna P positief E P Q Q Q Q Q P P P P P en Q gelijktijdigals
Minkowskiruimte – causalestructuur tijdachtig: ds2negatief lichtachtig: ds2 = 0 toekomst ruimteachtig: ds2positief P Binnen de lichtkegelkunnengebeurtenissencausaalverbondenzijn met gebeurtenis P. Erbuitenkangeencausaalverbandbestaan. verleden
Minkowskiruimte • Bewegendewaarnemers Voor de x’ as: stelct’=0. Dan volgtct = bx. Voor de schaal op de x’ as: stelx’=1 en ct’=0. Dan volgtx=g. Voor de ct’ as: stelx’=0. Dan volgtct = x/b. Voor de schaal op de ct’ as: stelct’=1 en x’=0. Dan volgtct=g.
Gelijktijdigheid, tijddilatatie Gebeurtenissen A en B zijngelijktijdigvoorwaarnemer O, maarnietvoor O’.
Lentecontractie Beschouw de wereldlijnen van de uiteinden van de lat
Metriek in de kunst – M.C. Escher Hyperbolisch: vectorenzijnlangerbij de buitenrand Geodetenzijncirkelbogen Euclidisch
Metriek van eenruimte • Metrische tensor in 2D minkowskiruimte • Ricci tensor voor het algemene geval van een 2 – dimensionele ruimte met axiale symmetrie Ricci tensor is eencontractie van de krommingstensor en bevat de tweede-ordeafgeleiden van de metrische tensor
... en danditnog Dit is eenalgemeneuitdrukkingvoor de Ricci tensor Rmn in twee dimensies, met axialesymmetrie (van Larry Smarr, Univ. of Illinois). Probeer nu eenseenvoorstellingtemaken van alledrie de ruimtelijkedimensies plus de tijd!
