Integral Oleh : Sudaryatno Sudirham

1. Integral Oleh: SudaryatnoSudirham

2. CakupanBahasan Integral Tak-Tentu LuasSebagaiSuatu Integral Integral Tentu LuasBidang Volume SebagaiSuatu Integral

3. Integral Tak Tentu

4. Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian Pengertian-Pengertian Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untuk mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi xseperti ini disebut persamaan diferensial. Contohpersamaan diferensial

5. Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian Tinjau persamaan diferensial Suatu fungsidikatakan merupakansolusi dari persamaan diferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat diturunkan dan dapat memenuhi Karena maka fungsi jugamerupakan solusi

6. Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian dapat dituliskan Integrasi ruas kiri dan ruas kananmemberikansecara umum Jadi integral dari diferensial suatu fungsiadalah fungsi itu sendiri ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral tak tentudi mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari

7. Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian Contoh-1: Cari solusi persamaan diferensial ubah ke dalam bentuk diferensial Kita tahu bahwa oleh karena itu

8. Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian Contoh-2: Carilah solusi persamaan kelompokkan peubah sehingga ruas kiri dan kanan mengandung peubah berbeda Jika kedua ruas diintegrasi

9. Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah ini dapat memperingan upaya pendugaan tersebut. 1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstantaK. 2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan 3. Jika bilangan n1, maka integral dari yndy diperoleh dengan menambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya dengan (n + 1).

10. Integral Tak Tentu, Penggunaan 100 100 K3 50 50 K2 yi= 10x2+Ki y = 10x2 K1 y y -5 -3 -1 1 3 5 -5 -3 -1 1 3 5 x x kurva kurva adalah kurva bernilai tunggal adalah kurva bernilai banyak Penggunaan Integral Tak Tentu Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakan bilangan nyata sembarang. Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal melainkan banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang dimiliki oleh K.

11. Integral Tak Tentu, Penggunaan kecepatanpercepatanwaktu Posisi benda pada waktu t = 0 adalah; tentukanlah posisi benda pada t = 4. Kecepatan adalah laju perubahan jarak, Percepatan adalah laju perubahan kecepatan, Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal. Contoh-3: Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagai . Kondisi awal: pada t = 0, s0 = 3 sehingga pada t = 4 posisi benda adalah

12. Luas Sebagai Suatu Integral

13. Integral Tak Tentu, Luas Sebagai Suatu Integral Kita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurvasumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q. Contoh-4: Apx Apx y y = f(x) =2 2 x 0 p x x+x q atau Kondisi awal (kondisi batas) adalah Apx = 0 untuk x = p atau Luas Sebagai Suatu Integral

14. Integral Tak Tentu, Luas Sebagai Suatu Integral Kasus fungsi sembarang dengan syarat kontinyu dalam rentang f(x+x) y f(x) y = f(x) x 0 p x x+x q Apx Apx Apx bisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan Apx = f(x)xatau Apx = f(x+x)x x0adalah suatu nilai x yang terletak antara x dan x+x Jika x 0:

15. Integral Tentu

16. y y y = f(x) y = f(x) x x 0 0 p x2xkxk+1xnq p x2xkxk+1xnq Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk)xk Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk+x)xk y y = f(x) Integral Tentu, Pengertian x 0 p x2xkxk+1xnq Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas. Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai suatu limit. Bidang dibagi dalam segmen-segmen Luas bidang dihitung sebagai jumlah luas segmen Dua pendekatan dalam menghitung luas segmen

17. y y = f(x) Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk)xk Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk+x)xk x 0 p x2xkxk+1xnq y y = f(x) Integral Tentu, Pengertian x 0 p x2xkxk+1xnq Jika x0k adalah nilai x di antara xk dan xk+1maka Jika xk 0 ketiga jumlah ini mendekati suatu nilai limit yang sama Nilai limit itu merupakan integral tentu

18. y y = f(x) x 0 p x2xkxk+1xnq Integral Tentu, Pengertian Luas bidang menjadi

19. Luas Bidang

20. 20 Apxadalah luas bidang yang dibatasi olehdan sumbu-x dari p sampai x, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di atas sumbu-x dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x. 10 Luas antaradan sumbu-x darix = 3 sampai x = +3. x 0 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 - 10 - 20 Integral Tentu, Luas Bidang Definisi Contoh-5:

21. Integral Tentu, Luas Bidang Contoh di atas menunjukkan bahwa dengan definisi mengenai Apx, formulasi tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di bawah sumbu-x y y = f(x) A2 p A4 A3 q x A1

22. Integral Tentu, Luas Bidang Antara Dua Kurva berada di atas Rentang y y1 dibagi dalam n segmen x x+x x q 0 p y2 Apx jumlah semua segmen: Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga x menuju nol kita sampai pada suatu limit Luas Bidang Di Antara Dua Kurva

23. Integral Tentu, Luas Bidang Antara Dua Kurva Contoh-6: Jika dan berapakah luas bidang antara y1 dan y2 dari x1 = p = 2 sampai x2 = q = +3. dan Jika y2 4 y y2 di atas y1 y1 x 2 0 -2 -1 0 1 2 Contoh-7: berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2. Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada perpotongan antara y1 dan y2.

24. Integral Tentu, Luas Bidang Antara Dua Kurva Contoh-8: dan Jika berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2. Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva 4 y y1 2 0 x -2 -1 0 1 2 y2 -2 -4 y1 di atas y2

25. Integral Tentu, Penerapan Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan energi diberi simbol w, maka yang memberikan Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8 jam adalah Penerapan Integral Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan 200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8 jam ? Contoh-9:

26. Integral Tentu, Penerapan Contoh-10: Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai i(t) = 0,05 tampere. Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampait = 5 detik ? Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q. sehingga Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah

27. Volume Sebagai Suatu Integral

28. Integral Tentu, Volume Sebagai Suatu Integral x Berikut ini kita akan melihat penggunaan integral untuk menghitung volume. Balok Jika A(x)adalah luas irisan di sebelah kiri dan A(x+x) adalah luas irisan di sebelah kanan maka volume irisan V adalah Volume balok V adalah luas rata-rata irisan antara A(x)dan A(x+x). Apabila x cukup tipis dan kita mengambil A(x) sebagai pengganti maka kita memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu: Jika x menuju nol dan A(x) kontinyu antara p dan q maka :

29. Integral Tentu, Volume Sebagai Suatu Integral P y x Q O x Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x A(x) adalah luas lingkaran dengan jari-jari r(x); sedangkan r(x) memiliki persamaan garis OP. m: kemiringan garis OP h : jarak O-Q. Jika garis OP memotong sumbu-y maka diperoleh kerucut terpotong

30. Integral Tentu, Volume Sebagai Suatu Integral f(x) y 0 a x b x f3(x) f2(x) y f1(x) 0 a x b x Rotasi Bidang Sembarang Rotasi Gabungan Fungsi Linier Fungsi f(x) kontinyu bagian demi bagian. Pada gambar di samping ini terdapat tiga rentang x dimana fungsi linier kontinyu. Kita dapat menghitung volume total sebagai jumlah volume dari tiga bagian.

31. Courseware Integral SudaryatnoSudirham