INTEGRAL TAK TENTU

1. INTEGRAL TAK TENTU

2. Rumus umum integral f(x) = integran (fungsiygdiintegralkan) a dan b = bataspengintegralan a = batasbawah b = batasatas dx = faktorpengintegral C = konstanta F = hasil integral dari f(x)

3. Integral tentu bilangan Integral tak tentu fungsi Perbedaan integral tentu dan tak tentu

4. Penerapan Integral dalam Ilmu Sains Jika V(t) adl volume air dlm waduk pada waktu t, maka turunan V’(t) adl laju mengalirnya air ke dalam waduk pada waktu t. perubahan banyaknya air dalam waduk diantara t1 dan t2

5. Jika [C](t) adl konsentrasi hasil suatu reaksi kimia pd waktu t,maka laju reaksi adl turunan d[C]/dt [C](t2)-[C](t1) perubahan konsentrasi C dari waktu t1 ke t2 Jika massa sebuah batang, diukur dari ujung kiri ke titik x adalah m(x), maka kerapatan linier adalah (x)=m’(x) massa dari ruas batang yg terletak diantara x=a dan x=b

6. Jika laju pertumbuhan populasi adl dn/dt, maka pertambahan populasi selama periode waktu t1 ke t2 Percepatan benda adl a(t)=v’(t) sehingga perubahan dlm kecepatan dari waktu t1 ke t2

7. Daftardiferensialdasarvs integral baku

8. Rumusdasar Sifat-sifat :

9. Jika g suatu fungsi yg bisa dideferensialkan dan r suatu bilangan rasional bukan -1, maka Contoh :  x4dx = ???? g(x) = x r = 4

10. Teknikpengintegralan INTEGRAL SUBSTITUSI Integral substitusiyaitumenggantikansuatuvariabel dg variabelbarudalamoperasipengintegralan Aturansubstitusi Jika U = g(x) adlfungsiterdiferensialkan yang daerahnilainyaberupaselangIdan f kontinupadaI, maka f (U) du = f (g(x)) g’(x) dx u du

11. 1. Hitunglah

12. 1. Hitunglah u=2x+1 du=2 dx dx=1/2 du

13. INTEGRAL PARSIAL Bila integral substitusi GAGAL  integral parsial Integral parsial : suatu metode yg didasarkan pd pengintegralan rumus turunan hasilkali dari dua fungsi Andaikan u=u(x) dan v=v(x), maka Dx[u(x) v(x)] = u(x) v’(x) + v(x) u’(x) dengan mengintegralkan dua ruas, diperoleh u(x) v(x) =  u(x) v’(x) dx +  v(x) u’(x) dx

14. atau  u(x) v’(x) dx = u(x) v(x) -  v(x) u’(x) dx krndv=v’(x) dxdandu=u’(x)dx, persamaanmenjadi: • PengintegralanParsialTakTentu  u dv = u v - v du • Pengintegralan Parsial Tentu

15. Gambar diagram u dv=uv-vdu

16. 1. Tentukan

17. 1. Tentukan u = ln x du = 1/x dx dv = dx v = x

18. INTEGRAL TRIGONOMETRI

19. INTEGRAL TRIGONOMETRI Strategi untuk menghitung  sinmx cosnx dx • Jika pangkat kosinusbil.ganjil (n=2k+1), • simpan satu faktor kosinus dan gunakan cos2x=1-sin2x utk menyatakan faktor yg tersisa dalam sinus • sinm x cos2k+1 x dx = sinmx (cos2x)k cos x dx = sinmx (1-sin2x )k cos x dx kemudiansubstitusikanu=sinx du=cosxdx

20. 2. Jika pangkat sinusbil.ganjil (m=2k+1), simpan satu faktor sinus dan gunakan sin2x=1-cos2x utk menyatakan faktor yg tersisa dalam kosinus • sin2k+1 x cosn x dx = (sin2x)k cosnx sin x dx = (1-cos2x)k cosnx sin x dx kemudiansubstitusikan u = cosx du= -sin x dx NB : Jikapangkat sinus maupunkosinusadalahganjil, gunakan point (1) atau (2)

21. 3. Jika pangkat sinus maupun kosinus adalah bilangan genap, gunakan persamaan sudut-paruh sin2x = ½ (1-cos 2x) cos2x = ½ (1+cos2x) sinx cosx = ½ sin 2x

22. 1. Tentukan cos3x dx

23. 1. Tentukan cos3x dx untuk mempermudah dijabarkan menjadi: cos3x = cos2x . cos x = (1-sin2x) cos x cos3x = cos2x . cos x dx = (1-sin2x) cos x dx misal : u = sin x du= cos x dx cos3x =  (1-u2) du = u - 1/3 u3 + C = sin x – 1/3 sin3x + C

24. Strategi untuk menghitung  tanmx secnx dx • Jika pangkat secan bil.genap (n=2k), • simpan satu faktor sec2x dan gunakan sec2x=1+tan2x utk menyatakan faktor yg tersisa dalam tan x • tanm x sec2k x dx = tanmx (sec2x)k-1 sec2 x dx = tanmx (1+ tan2x )k-1 sec2x dx kemudiansubstitusikan u = tan x du=sec2 x dx

25. 2. Jika pangkat tangenbil.ganjil (m=2k+1), simpan satu faktor sec x tan x dan gunakan tan2x=sec2x-1 utk menyatakan faktor yg tersisa dalam sec x • tan2k+1 x secn x dx = (tan2x)k secn-1 x sec x tan x dx =  (sec2x-1 )k secn-1x sec x tan x dx kemudiansubstitusikan u = sec x du=tan x sec x dx

27. ingat, sec2x = 1 + tan2x misal u=tan x du = sec2x dx