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MAC-499 - Projeto

MAC-499 - Projeto. Algoritmos Aproximados para o Problema do Corte Circular Restrito Rubens Altimari. CC : Constrained Circular Problem. Cortar uma chapa retangular R de dimensões WxL no maior número possível de círculos

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Presentation Transcript

  1. MAC-499 - Projeto Algoritmos Aproximados para o Problema do Corte Circular Restrito Rubens Altimari

  2. CC: Constrained Circular Problem • Cortar uma chapa retangular R de dimensões WxL no maior número possível de círculos • Problema Circular Restrito(Constrained Circular Problem): há n círculos de tamanhos diferentes, com raios ri, i = 1, …, n, e “lucro” (ou peso) ci

  3. Motivação • Empacotamento: seção transversal de um container onde se colocam tubos de um mesmo comprimento (maximizar uso do espaço) • Corte: chapa onde se realizam cortes circulares (minimizar desperdício de material)

  4. Convenções Matemáticas • Convenções genéricas

  5. Convenções Matemáticas, cont. • Convenções específicas

  6. Formulação Matemática • Formulação do Problema • n variáveis de decisão, 2n + ½ n(n-1) restrições

  7. Características • Espaço de solução é descontínuo • Vários ótimos locais, raros ótimos globais • NP-difícil (Lenstra e Rinnooy Kan, 1979)

  8. Proposta do Trabalho • Estudar e implementar duas heurísticas para o problema, tal como propostas por M. Hifi et al em [1]: • Construtiva (CH: Constructive heuristics) • Baseada em algoritmo genético (GA-BH: Genetic Algorithm-based heuristics) • Ambas utilizam uma abordagem construtiva (CA: Constructive Approach) como parte do processo

  9. CA: Constructive ApproachABLP para peças circulares • BLP: Best Local Position, desenvolvido por Hifi et al em [2] • ABLP: Adapted BLP, para peças circulares • Dada uma ordenação de peças, cada peça é colocada na posição mais alta à esquerda possível dentre um conjunto finito de opções, obtido em relação às peças já colocadas, tirando-se as posições repetidas e impossíveis (overlaps) • Verificação de eficiência é empírica, comparando-se com resultados da literatura • Tem ótimo desempenho • Utilizada em ambas as heurísticas, seja como algoritmo de aproximação (CH), ou como operador de verificação de viabilidade (GA-BH)

  10. CA: Constructive ApproachPosições relativas

  11. CA: Constructive ApproachExemplo de construção

  12. CH: Constructive Heuristics • Utiliza CA como algoritmo de aproximação • Boa ordenação das peças (demonstrada experimentalmente): peças em ordem não-crescente da razão ci / ri; em caso de igualdade, peças com ci maior vêm primeiro • Favorece peças menores com retorno maior

  13. GA-BH: Genetic Algorithm-Based Heuristics • Simula evolução natural das espécies, gerando uma população inicial de indivíduos e aplicando operadores genéticos em cada reprodução • Cada indivíduo é uma possível solução (cromossomo), com aptidão dada por uma função objetivo • Indivíduos altamente aptos se reproduzem, com incidência de crossover e mutação • Descendentes substituem toda a população (método geracional) ou os indivíduos menos aptos (método incremental)

  14. GA-BH: Genetic HeuristicCromossomo • Cromossomo P: sequência ordenada, resultado da concatenação de uma solução factível S para o problema CC e de um conjunto U = P \ S de peças que não puderam ser posicionadas em R. • ex.: P = (P1,P2,P2,P3,P3,P3,P4,P3,P4,P4),com S = (P1,P2,P2,P3,P3,P3,P4) e U = (P3,P4,P4) • Aptidão de P: ∑iЄS ci = ∑iЄSπri2 • Utiliza CA como operador de verificação de viabilidade de P ou, mais ainda, como operador de mutabilidade de P (mutaciona P não-factível em factível, determinando S e U)

  15. GA-BH: Genetic HeuristicSeleção de pais • Atribuição de oportunidades reprodutivas a cada indivíduo: • Seleção por torneio: escolha determinada por concurso • Seleção proporcional: parcela fixa é escolhida para se reproduzir • Escalação por aptidão: cada um dos indivíduos mais aptos é escolhido sucessivamente para ser o primeiro pai; o segundo é escolhido aleatoriamente entre os mais aptos; implementação eficiente; cara a cada pai apto a chance de se reproduzir ao menos uma vez com certa diversidade, promovendo a escolha do melhor enquanto minimza os riscos de duplicação e estagnação em um mínimo local

  16. GA-BH: Genetic HeuristicCrossover • Combinação de pedaços de dois pais aptos em busca de filhos promissores • Variação do crossover OX Davis two points: • Um trecho (j,k) de genes, 1 ≤ j ≤ k ≤ n, escolhido aleatoriamente, é transmitido de Pai1 para Filho1 e de Pai2 para Filho2 • O restante dos genes de cada filho é preenchido com os genes do outro pai, segundo certos critérios para evitar repetição de genes • Este crossover chama-se de dois pontos em referência aos intervalos (1,j-1) e (k+1,n) que terão crossover

  17. GA-BH: Genetic HeuristicMutação • Dois tipos: • Aplicação de CA em todo novo filho, transformando cromossomo não-factível em factível.ex.: P = (P1, P2, P3, P3, P3, P4, P4, P4, P4) -> (P1, P2, P3, P3, P4) U (P3, P4, P4) • Swap de duas subsequências de genes ou inversão de ordem de subsequência de gentes em cromossomos factíveis, para aumentar o espaço de busca, evitando convergência prematura

  18. GA-BH: Genetic HeuristicSubstituição da população • População inicial: 1º indivíduo obtido com CH; m-1 gerados aleatoriamente; estes m sofrem mutação-2; dos 3m indivíduos gerados, os m mais aptos constituem a população inicial • Método incremental: escolhe-se os m mais aptos de uma população de 5m: m pais, 2m filhos por crossover e 2m cromossomos obtidos por mutação-2 destes 2m filhos

  19. Comparação: CH x GA-BH • Comparação com dados de [3], exemplo SY1 • CH: uso de 79.582%, desvio de 4.25% do ótimo (1s) • GA-BH: uso de 80.960%, desvio de 2.59% do ótimo (100s)

  20. Conclusão • Heurística construtiva gera boas soluções em curtíssimo tempo computacional • Heurística baseada em algoritmo genético gera soluções de alta qualidade, frequentemente ótimas, em tempo razoável • Pode ser facilmente paralelizada, e deve convergir rapidamente

  21. Bibliografia • Hifi, Mhand; Rym, M'Hallah. Approximate algorithms for constrained circular cutting problems. Computers & Operations Research, 31, pp. 675-694, 2004. • Hifi, Mhand; Rym, M'Hallah. A best-local position procedure-based heuristic for two-dimensional layout problems. Studia Informatica Universalis, International Journal on Informatics, 2(1):1-32, 2002. • Stoyan, Yu.G.; Yas'kov, G. Mathematical model and solution method of optimization problem of placement of rectangles and circles taking into account special constraints. International Transactions in Operational Research, 5(1): 45-57, 1998. • Stoyan, Yu.G.; Yas'kov, G. A mathematical model and a solution method for the problem of placing various-sized circles into a strip. European Journal of Operational Research, 156, pp. 590-600, 2004. • George, John A.; George, Jennifer M.; Lamar, Bruce W. Packing different-sized circles into a rectangular container. European Journal of Operational Research, 84, pp. 693-712, 1995. • Wang, Huaiqing; Huang, Wenqi; Zhang, Quan; Xu, Dongming. An improved algorithm for the packing of unequal circles within a larger containing circle. European Journal of Operational Research, 141, pp. 440-453, 2002. • Goldberg, David E. Genetic algorithms in search, optimization, and machine learning. Addison Wesley, 1989.

  22. Perguntas?

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